LE CAVALIER- LOTO

Nous avons vu que, pour réaliser la course ou le circuit du cavalier, il est commode de se servir des 64 premiers numéros d'un jeu de loto. Supposons que Ton exécute ainsi une marche quelconque du cavalier; d'après la règle des sauts, la couleur des cases change avec chacun d'eux et passe du blanc au noir, et inversement. Par conséquent, si l'on a posé le n** i sur une case blanche, le n° 2 sera sur une case noire, le n° 3 sur une blanche, et ainsi de suite; donc, en général, quelle que soit la marche du cavalier sur un nombre arbitraire de cases de l'échiquier, les cases parcourues de même couleur sont garnies de numéros de même

220 Note /.

parité. Par exemple, si la case initiale est blanche^ toutes les cases blanches parcourues seront recouvertes de numéros impairs, et les cases noires de numéros pairs ijig. i52).

Supposons que toutes les cases de Téchiquier soient parcourues, alors chacune des colonnes contient quatre numéros pairs et quatre numéros impairs; onadonc cette proposition formulée par Euler :

Dans l'échiquier ordinaire^ la somme des numéros des cases d*une même ligne ou d'une même colonne, dans la course ou le circuit du cavalier, est toujours un nombre pair.

Il en est de même pour Téchiquier carré dont le côté est un multiple de quatre. On voit encore que cette somme est toujours impaire pour Téchiquier carré dont le côté est double d'impair comme pour les échiquiers de 6, lo, 14 cases de côté. Enfin, cette somme est alternativement paire et impaire pour les échiquiers dont le côté renferme un nombre impair de cases.

D'autre part, on observera que le nombre des sauts d'une course sur un échiquier de forme quelconque esttoujours égal au nombre des cases diminué de l'unité; par suite, il n' existe aucune course sur les échiquiers de forme quelconque, lorsque la différence entre le nombre des cases blanches et celui des cases noires n^ est pas égale à o ou à i .

De plus, dans le circuit, le nombre des sauts, toujours égal au nombre des cases, est nécessairement pair, puisque la case initiale coïncidant avec la case finale est de même couleur que celle-ci; par conséquent, il n'existe pas de circuit sur les échiquiers dont le nombre des cases est impair.

Sote l. 2 21

LES RESEAUX GEOMETRIQUES.

Si Ton joint deux à deux les centres de toutes les cases conjuguées d'un échiquier d'étendue quelconque, on trace ainsi un réseau géométrique. En général, nous appellerons réseau géométrique la figure formée par un nombre quelconque de points ou sommets, dans le plan ou dans Tespace, réunis entre eux pardes lignes droites ou courbes en nombre quelconque. Pour plus de clarté, on suppose que les lignes de jonction ne se rencontrent pas en de nouveaux points, et en les traçant sur un plan, nous admettrons qu'elles sont placées les unes au-dessus des autres.

Nous appellerons points doubles, triples, quadruples, ceux oïl aboutissent deux, trois, quatre lignes de jonction. Ainsi le réseau de l'échiquier ordinaire comprenant tous les sauts de cavalier contient 64 points dont 4 doubles, 8 triples, 20 quadruples, 16 sextuples et 16 octuples. Comme dans le jeu icosien d'Hamilton (* ), le problème du cavalier revient à suivre certaines lignes du réseau, en passant une seule fois par tous les sommets. Cette considération générale sur les réseaux donne lieu aux problèmes suivants qui comprennent un grand nombre de jeux et se rattachent à la Géométrie de situation.

Problème I. — Un réseau géométrique étant donné, parcourir toutes les lignes du réseau, une seule fois, par le nombre minimum de trajets continus (*).

(*) K. Lucas, Récréations mathématiques y t. Il, p. 210 (Paris, Gauthier- Villars; i883).

(») E. Lucas, Récréations mathématiques, t. I, p. 238 [Problème des ponts de la Pregel). (Paris, Gauthier-Villars; i883).

222 Note I.

Problème II. — Un réseau géométrique étant donné, parcourir deux fois toutes les lignes du réseau par un seul trajet continu (*).

Problème III. — Un réseau géométrique étant donné et ne contenant que des points d'ordre pair, quel est le nombre des manières distinctes de le décrire d*un trait continu? (*).

Problème IV. — Un réseau géométrique étant donné, de combien de manières peut-on visiter une seule fois tous les sommets par un trait continu? (Jeu (THamilton, problème du cavalier. ]

Problème V. — Un réseau géométrique est donné avec les sommets numérotés dans un ordre quelconque; on place sur tous les sommets des cubes portant les mêmes numéros, dans un ordre arbitraire. On enlève l'un des cubes, et Ton fait glisser les autres sur les lignes de la figure, jusqu'au sommet libre. Replacer tous les cubes mobiles sur les numéros correspondants des sommets [Jeu du taquin et du taquin continental (')]. Nous n'avons traité ce problème que dans le cas où la figure contient un qua drilatère [garage) en communication, sans isthme, par les deux extrémités d'un côté avec toutes les autres cases.

Problème VI. — On couvre avec des jetons tous les sommets

(*) E. Lucas, Récréations mathématiques ^ t. I, p. 46 et 240 {Jeu des labyrinthes, théorie des Ramifications et des Arbres géométriques), (Paris, Gauthier-Villars; i883).

(■) E. Lucas, Récréations mathématiques, t. II, p. 229 (Jeu de dominos).

(*) E. Lucas, Récréations mathématiques, t. I, p. 189 et 229.

Note l. 223

d'un réseau géométrique, à Texceptioii d'un seul; on enlève successivement tous les jetons, tels que a, en plaçant celui d'un sommet adjacent b, sur un autre sommet adjacent de a supposé vide. Enlever ainsi tous les jetons [Jeu du solitaire, solitaire icosien (*)].

La solution de ces problèmes, ignorée dans le cas général, donne naissance à des fonctions arithmétiques dont la nature est encore inconnue, malgré les recherches de Leibniz et d*EuIer, de Vandermonde et de Legendre; et nous pouvons dire que ces théories ne semblent habituellement délaissées qu'en raison de leur extrême difficulté.

{») E. Lucas, Récréations mathématiques, jt. I, p. 89; t. II, p. 227 (Paris, Gauthier-Villars; i883).

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-42 i. Note IL