AB = A/B' = BG^B'G

enfin, de l'égalité des angles BAE" et B' A' E', il résulte AB =z AE. Donc les dix longueurs contenues dans les égalités ( i ) et (2) sont égales entre elles ; mais, dans le parallélogramme A B A'E', on a BG= DE'; doncAD = GA', et le parallélogramme A G A' D est un losange.

On en déduit l'égalité des quatre trapèzes; par conséquent la figure ne contient que deux sortes de lignes de longueurs différentes; par suite les triangles ABG, BGD GDE sont égaux, et

Septième recréation.

la figure ABCDE est un pentagone régulier, puisque tous ses angles sont égaux entre eux, ainsi que les côtés.

LE DODECAEDRE CONVEXE.

On trace sur une feuille de carton un pentagone régulier; puis on construit sur chacun des côtés un pentagone extérieur égal au premier, et l'on découpe le contour de la figure.

Si l'on replie la figure ainsi tracée autour des côtés du premier

Fig. 92.

pentagone, et si l'on réunit, par une bandelette de papier, les arêtes issues d'un même sommet, pour les pentagones extérieurs, on forme ainsi une sorte de corbeille (fig. (^2]. On construit une seconde corbeille égale à la première ; ces deux corbeilles peuvert s'emboîter l'une dans l'autre, le long des arêtes extérieures, et l'on forme un polyèdre régulier que Ton nomme dcdécaèdre régii-

Le jeu d Hamilton.

lier convexe (^) [fig. 93). Il est limité par douze pentagones réguliers; il a vingt sommets et trente arêtes.

On peut encore obtenir le dodécaèdre régulier avec deux longues bandes de papier. Pour cela, on fait successivement, avec

une bande, trois nœuds pentagonauxdansle même sens {fig. 98), puis trois nœuds pentagonaux dans le"sens inverse; on fait une seconde bande égale à la première ; il ne reste plus qu'à réunir ces deux bandes, après les avoir pliées le long des côtés communs des pentagones, en les engrenant l'une dans l'autre, comme les corbeilles dont nous venons de parler, ou mieux encore, comme les deux morceaux de la peau qui recouvre une balle élastique.

(') Cette figure et les autres figures ombrées de cette récréation sont extraites du Traité de Géométrie de MM. Rouché et de Comberousse. -^ Paris, Gauthier- Villars et fils, i8gi.

Septième récréation.

LES DODECAEDRES ETOILES

Si l'on prolonge les côtés d'un pentagone régulier, on obtient une nouvelle figure régulière que l'on appelle pentagone étoile. Par des procédés analogues, on peut déduire du dodécaèdre ordinaire trois autres solides ou polyèdres réguliers que l'on appelle dodécaèdres étoiles.

Fig. 94.

En prolongeant, dans le dodécaèdre ordinaire, les arêtes qui forment les côtés des douze pentagones, on obtient le dodécaèdre étoile de troisième espèce^ à faces étoilées [fig. 94).

Le jeu d'Hamilton. 207

Si, dans le dodécaèdre ordinaire, on prolonge le plan qui contient chaque face jusqu'à la simple rencontre des plans des cinq

laces qui entourent la face opposée, on obtiendra le dodécaèdre étoile de troisième espèce, à faces convexes [fig. gS).

Enfin, si Ton prolonge les arêtes qui, dans ce dodécaèdre de troisième espèce, forment les côtés des douze pentagones, on obtient le dodécaèdre de septième espèce [fig. 96).

Les polyèdres réguliers d'espèces supérieures ont été découverts par Poinsot [Journal de l'Ecole Polytechnique, T. IV) ; ils ont été rattachés aux polyèdres convexes par Cauchy (même Journal, T. IX) ; leur théorie a été considérablement simplifiée par M. J. Bertrand [Comptes rendus de V Académie des Sciences, T. XLVI). En ajoutant la sphère aux cinq polyèdres réguliers

Septième récréation.

convexes j et aux quatre polyèdres étoiles [voir plus loin]., on

Fig. 96.

remarque ainsi qu'il existe, dans l'espace à trois dimensions, dix corps réguliers.