LE NŒUD DE CRAVATE

On trouve dans tous les Traités de Géométrie la construction du pentagone régulier à l'aide de la règle et du compas. On sait encore que Mascheroni a donné le moyen de construire le pentagone à l'aide du compas seul. Enfin, on peut obtenir le pentagone régulier en faisant le nœud de sa cravate de la manière suivante ( * ) . Avec la cravate, un ruban ou une bandelette de papier à bords parallèles, on fait un nœud simple et serré, sans froisser l'étoffe ou le papier, ainsi que nous l'avons représenté dans Isijîg. 91 ;

Fig. 91.

les traits fins désignent les bords du papier; les traits plus forts

sont les plis ; les parties blanches comprises dans le périmètre formé

(') On trouve ce procède', sans démonstration, dans l'Ouvrage d'UnsANO d'Aviso, Trattato délia sfera e Pvattiche per iiso di essa. Col modo di fare la figura céleste. Opéra cavata delli manoscritti del P. Bonaventura Cavalieri, etc., p. 255 (Rome, 1682). On y trouve aussi la construction de l'hexagone.

Le jeu cCHamilton. 2o3

par les traits pleins appartiennent à Tcndroit, et la partie ombrée appartient à l'envers. Il s'agit de démontrer que la figure ABGDE représente un pentagone régulier, lorsque Ton suppose le papier sans épaisseur.

En développant la bande de papier sur le prolongement du trapèze ABCD, on trouve trois autres trapèzes

D'E"AB, GDE'A', E'A'B'C,

dans lesquels les lettres pareilles viennent coïncider lorsque Ton reforme le nœud; de telle sorte que

A et A' sont symétriques par rapport à la droite CD,

D et D' AB,

G et G' A'E'.

De l'égalité des angles A'E'D et AE"D', il résulte que AB est parallèle à A'E'; par suite A'E' = D' E" et l'on a

(i) AE = AE"r=A'E'r= DE=rrDE' = D'E";

de l'égalité des angles ABG et A'B'G', il résulte AB — B'G', et aussi