C. Canton, J. Jeddo, P. Paris, V. Vienne

D. Delhi, K. Kaschmir, Q.. Québec, W. Washington,

F. Francfort, L. Londres, R. Rome, X. Xérès,

G. Genève, M. Moscou, S. Stockholm, Z. Zanzibar,

Les trente arêtes du dodécaèdre sont marquées par des traits noirs, et représentent les seules routes par lesquelles le voyageur peut passer pour aller d'une ville à l'autre.

On suppose que deux voyageurs partent en même temps de la même ville, voyagent de compagnie sur les routes tracées, pour visiter quatre autres villes voisines sur le parcours. Alors le premier voyageur revient sur ses pas pour s'arrêter au point de départ, tandis que l'autre doit continuer son chemin et ne rejoindre son camarade qu'après avoir visité toutes les autres villes, mais une seule fois. Supposons, par exemple, que les deux voyageurs partent de Bruxelles, en passant successivement par Canton, Delhi, Francfort et Genève. Le premier revient à Bruxelles et le second doit passer successivement une seule fois par les quinze autres villes et revenir à Bruxelles (M.

Si l'on écrit, sur un dodécaèdre en carton ou en bois, les vingt consonnes dans l'ordre représenté dans les diverses figures, on voit que l'on obtient immédiatement une première solution en suivant Tordre alphabétique.

Pour réaliser cette promenade dodécaédrique, et pour se rappeler les diverses villes traversées, l'un des joueurs prend une ficelle qu'il fixe par l'une de ses extrémités à l'aide d'une boucle

(1) Ce jeu a été suggéré à Hamilîon par cette remarque de M. Kirkmann qu'un circuit d'arêtes passe évidemment par tous les sommets du dodécaèdre [Mémoire sur les Polyèdres {Philosophical Transactions, i858, p. i6o)l.

E. Lucas. — Récréations mathém., IL 14

Septième récréation.

sur l'un des sommets, et la guide successivement le long des arêtes en tournant autour des sommets. D'après la règle du jeu, on ne peut donc entourer deux fois l'un des clous placés aux sommets, et l'on doit revenir au départ. Ce premier problème, que nous appellerons le problème des routes cycliques^ est toujours possible, et comporte, comme nous le ferons voir, deux ou quatre solutions^ d'après les positions respectives des cinq villes initiales.

Ainsi, en donnant comme initiales les cinq villes BGDFG, on a, en dehors de la solution alphabétique, une seconde solution

BGDFGHXWRSTVJKLMNPQZ.

LE JEU ICOSIEN.

Le jeu nommé The Icosian Game se compose d'une planchette en bois sur laquelle on a dessiné la^^. 97. Les sommets sont percés de trous, dans lesquels il s'agit de placer vingt pions numérotés, en porcelaine ou en ivoire. Les pions sont numérotés de I à 20 et doivent être placés dans l'ordre numérique, d'après les diverses conditions exigées par Tun des deux joueurs.

Ge jeu ne diffère du précédent que par la forme extérieure; en effet, si l'on suppose l'œil d'un observateur placé en dehors d'un dodécaèdre à une petite distance du centre delà face opposée à BCDFG, la perspective des sommets et des arêtes du dodécaèdre sur le plan de la face BCDFG donne précisément la figure du jeu icosien. Il résulte évidemment de cette remarque que l'on peut varier la forme du réseau des lignes de l'icosien, en faisant la

Le jeu d'Hamilton.

perspective du dodécaèdre d'un point quelconque sur un plan quelconque, pourvu que deux sommets ne coïncident pas dans cette perspective.

En rétablissant, par la pensée, la figure du dodécaèdre dans l'espace, on retrouvera la symétrie qui disparaît dans les différentes perspectives.

Pour familiariser le lecteur avec la pratique de Picosien, nous

Fig. 97.

donnerons encore les exemples suivants :

Exemple I. — On donne les cinq villes initiales BCPNM; tracer une route cyclique.

Ce problème ne comporte que les deux solutions

KLTSRQZXWVJHG,

BGPNMDF

GHXWVJKLTSRQZ,

Septième récréation.

Exemple IL — On donne les cinq villes initiales LTSRQ; tracer une route cyclique.

Ce problème comporte quatre solutions

/ZXWVJHGBCPNMDFK, ZBCPNMDFGHXWVJK, ZBGHXWVJKFDGPNM, PNMDGBZXWVJHGFK.

Exemple III. — On donne les cinq villes initiales JVTSR; tracer une route cyclique.

Ge problème n'a que les deux solutions

ZQPNMLKFDGBGH,

LTSRQ

JVTSRWX

HGFDGBZQPNMLK.

THEORIE DE M. HERMARY.

Parmi les diverses théories de ce jeu, nous exposerons celle qui nous a été communiquée par M. Hermary, chef d'escadron d'artillerie. Gette méthode nous paraît encore plus ingénieuse que la théorie du solitaire donnée par le même auteur [voir le Tome L).

Lorsqu'un mobile parcourtles arêtes d'undodécaèdrede manière à revenir à son point de départ sans passer plus d'une fois par le même sommet, sa trajectoire divise la surface en deux segments. On peut supposer que cette surface soit réalisée matériellement, en carton mince, par exemple, et qu'elle se trouve découpée suivant la trajectoire; on obtiendra ainsi deux segments séparai les.

Posons la condition que le mobile devra visiter tous les sommets et cherchons quelle en sera la conséquence pour la nature des

Le jeu d'Hatnilton.

segments. Un pentagone quelconque de l'un des segments ne pourra toucher ses voisins que par des côtés non consécutifs ; car, si deux côtés de contact se trouvaient consécutifs, le sommet où ils se réunissent ne pourrait être visité par le mobile. Donc chaque pentagone touche ses voisins par deux côtés au plus, c'est-à-dire que ces pentagones se succèdent comme les anneaux d'une chaîne. Par suite, les deux segments sont susceptibles d'être rabattus dans un plan quelconque par des rotations successives autour des côtés de contact.

Les fijg'- 98 et 99 représentent le développement des deux

Fig.

segments que l'on trouve dans la première solution que nous avons donnée plus haut, en suivant l'ordre alphabétique. Ces deux segments sont assujettis à pouvoir s'emboîter de manière à reproduire la surface du dodécaèdre; les lettres de même nom indiquent les sommets qui doivent coïncider. Quelle que soit la route cyclique, les périmètres des deux segments présentent donc le même nombre de côtés, et puisque Tadjonction d'un pentagone à l'un des segments, quelle que soit sa forme, augmente le nombre

214 Septième récréation.

des sommets de trois unités, le nombre des pentagones est le même dans les deux segments. Ainsi donc chacun des deux segments d'une route cyclique est nécessairement formé de six pentagones. Dans la Jîg. 98, les lettres C, D, F désignent des sommets simples ; B, G, H des sommets doubles; cette dénomination n'a pas besoin de commentaire. Les sommets doubles de l'un des segments correspondent aux sommets simples de l'autre, et réciproquement, puisqu'après l'emboîtement tous les sommetsdoivent être triples. Or, dans chaque segment, il y a nécessairement deux

Fig. 99-

pentagones extrêmes ayant chacun trois sommets simples consécutifs; donc il doit se présenter aussi deux fois trois sommets doubles et consécutifs. Par un procédé analogue, on démontre que chacun des segments ne peut avoir deux ou quatre sommets simples consécutifs.

En examinant toutes les dispositions que l'on peut donner à une chaîne de six pentagones consécutifs, en tenant compte des conditions que nous venons d'indiquer, l'on se convaincra facilement qu'on ne peut trouver d'autres segments que celui des fig. 98 et 99, ou la disposition symétrique. Or cette dernière étant tracée sur un papier transparent devient identique à la première

Le jeu d'Hamilton. 1 1 5

lorsque le lecteur retourne la feuille pour l'examiner à l'envers. Donc, si l'on convient que la figure peut être envisagée par l'une ou l'autre des faces ( ^ ) ^ on pourra formuler la proposition suivante .

Théorème. — La trajectoire d'un mobile qui a visité tous les sommets du dodécaèdre et qui est revenu à son point de départ, sans avoir passé plus d'une fois par le même sommet, peut toujours être représentée par le périmètre d'un assemblage de six pentagones disposés comme ceux de lajîg, 98.

Il est évident que ce théorème permet toujours de trouver les solutions du premier problème d'Hamilton. En effet, il suffit de rechercher de combien de manières le début donné peut être identifié avec une certaine partie de la trajectoire qui a été définie ci-dessus. Cette méthode résout donc la question; nous invitons le lecteur à l'appliquer aux exemples déjà donnés; c'est le meilleur moyen de se rendre maître du jeu. Cependant nous devons faire observer qu'elle n'est pas commode pour déterminer le nombre des solutions qui conviennent dans chaque cas. Nous donnerons donc une règle pratique fort ingénieuse imaginée encore par M. Hermary.