RÈGLE PRATIQUE

Le mobile qui décrit une route cyclique, ayant parcouru deux côtés consécutifs tels que FGet GH, peut continuer sa route suivant HJ ou suivant HX. Dans le premier cas^ il reste sur le pen-

(\"i Cette convention est parfaitement justifiée, car on peut choisir <3i libitum la face sur laquelle on a rabattu les pentagones de chaque segment; d'ailleurs on peut aussi bien supposer l'observateur à l'intérieur ou à l'extérieur du dodécaèdre. Quant à la trajectoire dont il est ici question, on doit la considérer comme l'analogue d'un grand cercle de la sphère.

2i6 Septième récréation.

tagone dont faisaient partie les deux premiers coies; nous dirons alors qu'il y a permanence ; dans le second cas, le mobile passe sur un autre pentagone, et nous dirons qu'il y a variation. Dans ce qui suit, nous désignerons ces deux genres différents de déplacement par les lettres initiales p et v.

Reprenons la route cyclique de Isifig. 97. Ayant décrit BCD, le déplacement sur DF sera désigné par p, ainsi que le déplacement sur FG; mais le déplacement sur GH sera noté par v. Cela posé, en plaçant^ entre chaque lettre et au-dessous de la notation de la route cyclique, l'une des deux lettres p on v qui convient, on a

BCDFGHJKLMNPQRSTVWXZBCD

On observera que nous n'avons pu noter le genre du déplacement sur BCD qu'à la fin de la route. La seconde ligne du tableau précédent se compose de deux parties égales composées de dix termes. La période de dix termes est écrite ci-dessous avec un Numéro d ordre correspondant, pour chaque déplacement I. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. p. p. V. p. p. V. V. V. V. v; c'est'-d-d'iredeux permanences, une variation^ deux permanences., cinq variations. Si l'on écrit la double série de ces lettres sur une circonférence, la période se reproduit lorsqu'on la renverse^ mais en commençant à un endroit différent ; il suffit donc de considérer cette série dans un seul sens ( •).

Lorsque l'on donne les cinq villes initiales, les deux derniers

(*) On voit immédiatement l'explication de ce fait, si Ton observe que les lettres inscrites le long des périmètres des deux segments se succèdent en sens inverses et avec des points de départ différeius

Le jeu d'Hamilton.

côtés donnent deux déplacements qui peuvent être notés d'après les conventions précédentes. Par suite, pour trouver les solutions qui correspondent à chaque cas particulier, il suffit de chercher en quels points de la période se présentent deux déplacements consécutifs pouvant être identifiés avec ceux du problème. Pour donner un exemple, reprenons la première solution; les deux premiers déplacements sur DF et FG sont notés par la suite pp\ or, dans la période cyclique précédente, on ne trouve que deux fois la smlQ pp) donc le problème comporte deux solutions.

Lorsque l'on donne cinq villes initiales, on ne peut rencontrer que quatre cas, qui sont les suivants :

pp, pv, vp, vv; en appliquant la méthode précédente, on trouvera facilement les nombres de solutions que nous résumons dans le tableau suivant, avec les numéros de la période qui correspondent au troisième côté de la route.

Nombre des routes cycliques commençant par^cinq sommets.

Cas.

Notation.

Nombre.

Numéros.