LES ROUTES FERMEES
On peut se proposer, sur le jeu d'Hamilton, un certain nombre d'autres problèmes dont il reste à perfectionner la théorie. M. Hermary pense que sa méthode pourrait s'appliquer au problème des routes fermées,^ mais elle exigerait quelques tâtonnements
220 Septième vccréation.
Problème. — On donne trois villes initiales, placer tons les autres pions suivant une route nécessairement différente d'une route cyclique, pour s'arrêter à une ville donnée.
On suppose encore qu'il n'est permis de passer qu'une seule fois par toutes les villes. Ce deuxième problème d'Hamilton comporte o, 1 , 2 ou 4 solutions, suivant les cas.
Exemple I. — On donne les trois villes initiales BGD ; terminer le trajet en T.
Il n y a qu'une solution
BCDFGHXZQPNMLKJVWRST.
Exemple II. — Mêmes initiales; finir en W. Il n'y a que deux solutions.
I FGHXZQPNMLKJVTSRW, / MLTVJKFGHXZQPNSRW.
Exemple III. — Mêmes initiales; finir en J. Il n'y a que deux solutions.
! MLTVWRSNPQZXHGFKJ, ] MNPQZXHGFKLTSRWVJ. On trouve ce même nombre de deux solutions pour les mêmes initiales, lorsqu'on finit en K, L, N ou V.
\ FGHJVTSRWXZQPNxMLK,
( FGHXZQPNMLTSRWVJK.
o^T^ ( MNPQZXHGFKJVWRSTL,
j MNPQZXWRSTVJHGFKL.
MLKFGHJVTSRWXZPQN,
MLTSRWVJKFGHXZQPN.
BGD
FGHJKLMNPQZXWRSTV, MNPQZXWRSTLKFGHJV.
Le jeu d'Hamiltou.
Exemple IV. — Mêmes initiales; finir en R. Il y a quatre solutions.
I FGHJKLMNPQZXWVTSR, ) MLKFGHJVTSNPQZXWR, 1 MLTSNPQZXHGFKJVWR, ( MNPQZXWVJHGFKLTSR.
Exemple V. — Mêmes initiales; finir en M.
Le problème est impossible ; il l'est encore en prenant pour la fin du trajet l'une des villes F, H, P, Q, S, X.
On peut toujours supposer que les trois premières villes initiales sont B G D, sur ledodécaèdre^ à cause de la symétrie. Nous avons donné les solutions pour quinze villes finales, en exceptant les villes M et F qui donnent des routes cycliques; le problème est donc résolu. En se donnant M ou F, pour la fin du trajet, en retrouverait le premier problème d'Hamilton avec quatre villes initiales, et l'on aurait alors quatre ou six solutions.
LES LMPASSES.
Dans le troisième problème d'Hamilton, on donne plusieurs villes initiales consécutives; il s'agit de placer un certain nombre de pions, donné d'avance, de manière qu'il soit impossible, d'après la règle ordinaire du jeu. d'en placer un de plus. Voici quelques exercices.
Exemple I. — On pose les pions 1,2, 3,4, sur les villes B G D M ; on doit se trouver arrêté après avoir posé le dixième pion.
Une solution. — BGDMLKJHGF.
222 Septième récréation.
Exemple IL— On pose les pions i, 2, 3,4, sur les villes XWVT; on doit se trouver arrêté après avoir posé le dixième pion.
Une solution. - XWVTLKFGHJ.
Exemple III. — On pose les pions 1,2,3,4,5, sur les villes SNPQR ; tracer une route cyclique avec les seize premiers pions.
Unesolution. — SNPQRWVJHGBGDMLT.
Dans le quatrième problème d'Hamilton, on suppose qu'il est défendu de passer par une certaine ville, que l'on bouche avec le pion portant le n° 20. Il faut alors couvrir le reste du casier, d'après certaines conditions analogues aux précédentes.
Exemple IV. — On donne les trois villes initiales BCD sur lesquelles on place les pions 1,2, 3 ; on interdit le passage dans la ville P que l'on couvre du n° 20 ; il s'agit de couvrir le reste de l'icosien d'après la règle ordinaire, en terminant au sommet F.
Il y a deux solutions
MNSTLKJVWRQZXHGF,
^^^ ' MNSRQ.ZXWVTLKJHGF.
Exemple V. — On donne les mêmes initiales ; on place le n° 20 sur la ville L ; placer tous les autres pions d'après la règle ordinaire en finissant sur une ville non-adjacente à L. Le problème comporte deux solutions
( MNPQZXWRSTVJKFGH, ^^^ j MNPQZXHGFKJVTSRW.
TRANSFORMATIONS DE L ICOSIEN.
On peut remplacer le dodécaèdre par d'autres polyèdres réguliers; mais, si l'on conserve les règles de l'Icosien, il faut, pour appliquer la théorie, que le nombre des arêtes qui aboutissent
Le jeu d'Hamilton.
aux sommets soit égal à trois. Cette condition est remplie dans le tétraèdre [fig. loo) et dans le cube [fig. loi).
Fig. loo.
Vis,. lor.
Mais alors le jeu devient très simple, soit qu'on l'exécute sur
Fig. 102.
des solides en carton, soit sur leurs perspectives; cependant on
Septième récréation.
peut projeter le cube de telle sorte que le problème présente une certaine difficulté.
Hamilton a indiqué lui-même une transformation de Tlcosien. Si l'on joint les centres de toutes les faces du dodécaèdre aux centres des cinq faces adjacentes, on détermine les arêtes d'un autre polyèdre régulier, qu'on appelle icosaèdre {fig. 102); sa surface se compose de vingt triangles équilatéraux réunis cinq par cinq aux douze sommets; le nombre des ai êtes est égal à trente,
Fig. io3.
comme dans le dodécaèdre. Ainsi le nombre des sommets ou des faces de Ticosaèdre est égal au nombre des faces ou des sommets du dodécaèdre, et le nombre des arêtes est le même. D'ailleurs, si Ton joint les centres de toutes les faces de l'icosaèdre aux centres des trois faces adjacentes, on détermine les arêtes d'un nouveau dodécaèdre, que l'on déduit ainsi de l'icosaèdre, comme on déduit l'icosaèdre du dodécaèdre [voir la note IV).
Le jeu d'Hamilton. 225
On obtient l'icosaèdre étoile, que l'on appelle icosaèdre de septième espèce {fi g. io3),en prolongeant chaque face de l'icosaèdre ordinaire jusqu'à la rencontre des plans des trois triangles qui entourent la face opposée à celle que l'on considère (^) .
TnK TRAVELLERS ICOSAHEDRON.
Le jeu que nous avons décrit précédemment sous le nom du voyage autour du monde ou The Trauellers Dodecahedron se transforme facilement dans le suivant, en remplaçant les sommets du dodécaèdre par les faces de l'icosaèdre. Dans ce nouveau jeu, il s'agit de traverser successivement une seule fois chacune des vingt faces de l'icosaèdre, en franchissant par le milieu vingt des trente arêtes de ce polyèdre, tandis que, dans l'autre jeu, il s'agissaitde traverser successivement une seule fois chacun des sommets, en suivant vingt des trente arêtes du dodécaèdre. On peut donc se proposer les mêmes problèmes; si l'on désigne par la lettre b la face de l'icosaèdre qui réunit les centres des trois pentagones qui contiennent le sommet B du dodécaèdre et si l'on fait la même convention pour les autres faces, toutes les solutions du jeu de l'icosaèdre se déduisent des solutions du jeu icosien, en remplaçant les grandes lettres par les petites.
Ces considérations rentrent dans une théorie générale des propriétés de rétendue, connue sous le nom de loi de la dualité de Vespace^ loi qui a été merveilleusement exposée dans les travaux de trois illustres géomètres français de ce siècle, Brianchon, Poncelet, Chasles.
(') Cauchy, Journal de V École Polytechnique, T. IX, p. 6S. E. Lucas. — Récréations mathém., II. i5
Septième récréation.
LE SOLITAIRE ICOSIEN.
On peut transformer l'Icosien en un jeu analogue à celui du solitaire. On couvre de pions les vingt cases [fig. 97), et l'on enlève un pion ; il s'agit ensuite de prendre successivement tous les autres, en profitant de la case vide, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un seul. Ainsi, si Ton enlève le pion B, le pion Q ou X peut prendre le pion Z, et venir se placer en B, ce que nous indi-
querons par la notation -tt ou -^- Nous allons démontrer que la
réussite est toujours possible, en prenant pour cases initiale et finale deux cases quelconques; d'abord on peut toujours supposer, à cause de la symétrie du dodécaèdre, que B est la case initiale et que la case finale est l'une des douze
On joue d'abord les treize premiers coups :
il reste les six pions G, D, F, G, S, N. Dans le tableau suivant
DM
MN
Le jeu d'Hamilton.
la première colonne contient les quatre coups qui suivent le treizième, la seconde colonne désigne l'arête qui joint les deux derniers pions, et la troisième l'une des quatre cases finales qui correspond au dernier coup.
On peut se proposer d'autres problèmes, en terminant par un certain nombre de pions appartenant à une figure donnée de forme et de position ; mais il peut alors se présenter des cas d'impossibilité.
