NOMBRE DES SOLUTIONS

Au lieu de se donner cinq villes initiales, on peut en prendre un nombre différent. La méthode de M. Hermary permet de ré-

2i8 Septième récréation.

soudre le problème dans tous Jes cas et de déterminer le nombre des solutions. On trouve ainsi que l'on peut tracer trente routes cycliques différentes sur le dodécaèdre: c'est le nombre des solutions du problème d'Hamilton quand on suppose que Ton se donne un sommet; on trouve ensuite vingt routes pour deux sommets et ainsi de suite. Ces résultats sont consignés dans le tableau suivant.

Nombre des sommets. Nombre des solutions.

4 6 ou 4,

5 4 ou 2 ,

6 3,2, I ou o,

7 2, I ou o,

8 ou plus I ou o.

A partir de huit sommets, il n'y a jamais plus d'une solution, et les cas d'impossibilité deviennent de plus en plus nombreux au fur et à mesure que le nombre des sommets augmente.

On voit, par ce qui précède, que, dans cette question et dans d'autres du même genre, le nombre des conditions à fixer pour les données d'un problème sont loin d'être déterminées comme dans les problèmes de Géométrie.

Le nombre de cinq sommets a été choisi d'une manière rationnelle, parce que c'est celui qui donne le plus petit nombre de solutions sans qu'il y ait cependant aucun cas d'impossibilité.

Remarque i. — Lorsque l'on a tracé une route cyclique, les dix autres arêtes non parcourues du dodécaèdre forment un système complémentaire d'une route cyclique. Il possède cette propriété que ces dix lignes n'ont aucun sommet commun. On peut donc remplacer la définition du jeu de l'icosien parcelle-ci :

Le jeu d'Hamilton. 219

On trace sur la surface du dodécaèdre une, deux, trois, quatre,... arêtes consécutives; cela posé, trouver, dans l'ensemble des autres arêtes, un système de dix arêtes n'ayant aucun point commun. A toute solution de l'icosien correspond une solution et une seule dans ce nouveau jeu ; ainsi il existe trente systèmes différents de dix arêtes isolées ; puis, si l'on choisit une arêre (qui correspond à deux sommetsj^ il y a vingt systèmes de dix arêtes isolées parmi vingt-neuf arêtes données du dodécaèdre ; il y a dix systèmes de dix arêtes isolées, parmi le système des arêtes du dodécaèdre diminué de deux arêtes consécutives et données; etc.

Remarque ii. — On peut aussi remplacer l'icosien par une partie déterminée d'un jeu de dominos du double-as au double -vingt ; en effet, si l'on remplace les consonnes B, G, D,..., Z, par les nombres i, 2, 3,..., 20, à toute arête telle que BG correspond un domino, tel que 1-2 ; et ainsi aux trois arêtes BG, BG, BZ correspondent les dominos 1-2, i-5 et 1-20. On remplace ainsi les arêtes par trente dés de ce jeu de dominos, et il s'agit de former, avec vingt d'entre eux, une disposition, d'après la règle du jeu, de telle sorte qu'un point soit répété deux fois, et pas davantage. Les autres problèmes d'Hamilton que nous allons considérer conduisent encore à des problèmes analogues sur ce jeu de dominos.