DEFINITION

Les dominos sont des jetons ayant la forme d'un prisme rectangle dont la largeur est double de l'épaisseur, et dont la longueur est double de la largeur. La partie inférieure est habituellement en bois noir, en ébène; la face supérieure, en os ou en ivoire, est divisée en deux carrés sur lesquels sont marqués les points. Le jeu se compose de vingt-huit dominos formant les combinaisons complètes des sept nombres

pris deux à deux. Le domino se désigne par les deux points qu'il porte; par exception, le 0 s'appelle blanc j et le 1 s'appelle <^5; quand les numéros sont égaux, le domino s'appelle un double. Nous représenterons souvent les dominos de la manière suivante :

Fig. 6.

Si l'on fait la somme de tous les points contenus dans le jeu, on trouve i68 points; puis, si Ton divise cette somme par le

Le jeu de dominos. 41

nombre des dominos, on obtient la moj^enne de chaque dé, qui est égale à six, et reste la même, si l'on enlève tous les doubles.

On rencontre quelquefois dans le commerce des jeux complets de dominos qui finissent au double-sept, au double-huit, au double-neuf, etc. Dans ce cas, on peut démontrer que la moyenne de chaque dé est égale à sept, à huit, à neuf, etc.; il nous suffira d'indiquer le mode de démonstration pour le jeu ordinaire ; il sera facile de Tétendre ensuite à un jeu complet quelconque. Dans le jeu qui se termine au double-six, nous appellerons dominos complémentaires, deux dominos qui peuvent être accouplés de telle sorte que les points contenus dans chacun des carrés du premier ajoutés respectivement aux points contenus dans les carrés du second forment une somme égale à six. Ainsi, par exemple, le deux-cinq et le quatre-as sont complémentaires; il peut arriver qu'un dé soit égal à son complémentaire; il en est ainsi pour quatre dés du jeu ordinaire, pour le blanc-six, Tascinq, le deux-quatre et le double-trois. Si Ton prend les dés complémentaires de tous les dés d'un jeu ordinaire, on forme, dans un autre ordre, le même jeu. La somme des points d'un jeu et de son complémentaire est donc égale à 12 fois le nombre des dés, et la somme de chacun d'eux en est la moitié, ou six fois le nombre des dés. Par suite, la moyenne des dominos est égale à six, et ne change pas, lorsque l'on enlève un dé dont la somme des points vaut six, ou deux dés complémentaires. La moyenne est donc encore égale à six, si l'on ne tient pas compte des doubles.

Dans le cas général, si l'on suppose que le jeu se termine au double ?/, le nombre des dominos est éiial à

Deuxième récréation.

et le nombre total des points est égal à

Ce nombre représente le triple du nombre des boulets d'une pile triangulaire ayant n boulets sur chaque côté. Nous donnerons à ce sujet les énoncés des trois théorèmes suivants, dont les deux derniers soupçonnés à la suite d'une visite à l'arsenal de Rennes, en 1870, furent le point de départ des recherches de l'auteur sur divers points de la théorie des nombres.

Théorème I. — Le nombre total des points d'un jeu complet de dominos n'est jamais égal au carré d'un nombre entier.

Théorème II. — Le nombre total des boulets d'une pile à base carrée n'est jamais égal au carré d'un nombre entier, en exceptant les cas où la pile contient i ou 24 boulets sur le coté de la base.

Théorème III. — Le nombre total des boulets d'' une pile à base triangulaire n'est jamais égal au carré d'un nombre entier, en exceptant les cas oit la pile contient i, 2 om 48 boulets sur le côté de la base.