MOSAÏQUES DE M. LAISANT

On peut obtenir d'autres parquets réguliers composés de carrés blancs et noirs, et plus généralement de carrés de plusieurs couleurs, par divers autres procédés. Nous indiquerons, en particulier, des dessins obtenus par M. Laisant, et qu'ila déduits de considérations sur l'Algèbre et sur la théorie des Quaternions (^). Désignons par A un échiquier quelconque formé de

(*) Laisant. — Sur les développements de certains produits algébriques. (Association Irançaise pour ravancement des Sciences. Congrès d'Alger; 1881). L'idée de cette étude tire son origine du problème suivant, proposé par

Le jeu de parquet.

cases noires et blanches, par B l'échiquier complémentaire obtenu en échangeant les couleurs des cases. Avec ces deux échiquiers A et B, on formera deux échiquiers complémentaires quatre fois plus grands {fig. 89 ).

Puis, si l'on remplace A et B par A' et B' dans la fi g. 3 9, on

Fig. 3g.

Carré A'. Carré B'.

obtient des mosaïques complémentaires quatre fois plus grandes, et amsi de suite. Si Ton suppose d*abord que A et B représentent respectivement un seul carré blanc et un seul carré noir, on for-

M. Catalan aux lecteurs delà Nouvelle Correspondance mathématique (T. VI, p. 141) : « Dans le développement du produit

effectué dans Tordre ordinaire, savoir :

i— a — b-hab — c-hac-^bc~ abc ~d v ..., quel est le signe d'un terme de rang donné: »

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Quatrième récréation.

mera ainsi les mosaïques de 4, 16, 64 cases [Jig. 40), ainsi que leurs complémentaires.

On observe que chacun des échiquiers de la fig. 40 possède la propriété d'une table de Pythagore, c'est-à-dire que, pour avoir la couleur d'une case quelconque, il suffira de regarder la première case de sa colonne, et la première case de sa ligne. Si elles sont de même couleur, la case considérée sera blanche; si elles sont de couleurs contraires, elle sera noire. Ce serait Tinverse pour les échiquiers complémentaires. De plus, entre deux colonnes ou deux lignes quelconques de l'échiquier, les cases correspondantes sont toutes de même couleur, ou toutes de couleurs contraires.

Pour former des dessins réguliers de mosaïques à trois couleurs, désignons par A un échiquier quelconque tricolore, par B Féchiquier obtenu en remplaçant dans A la première couleur par la seconde, la seconde par la troisième, et la troisième par la

Carré A'

Carré B'.

Carré C

première; par C l'échiquier déduit de B, comme B a été déduit de A. Nous dirons que les trois échiquiers sont associés; avec ces trois échiquiers A, B et G, nous formerons trois échiquiers associés neuf fois plus grands [fig, 41 ).

MOSAIÇUES DE M. LAISANT.