PROCEDE GENERAL DE RECIPROCITE

Nous avons donné plus haut la solution du solitaire pour la case initiale 73, et nous avons obtenu la boule finale 42. Par conséquent on peut, par une marche renversée de coups additifs, remplir le solitaire, en prenant pour case initiale 42, mais la case finale 73 restera vide. Nous avons vu que l'on obtient l'écriture de cette solution en coups additifs: i° en renversant l'ordre des fractions; 2° en échangeant les termes de chaque fraction.

Cela posé, considérons deux solitaires complémentaires, c'està-dire tels que les cases pleines de l'un correspondent toujours aux cases vides de l'autre, et réciproquement; alors les coups tidditifs de l'un correspondent aux coups soustractifs de l'autre.

Par conséquent, si l'on part d'une boule initiale 42, et qu'on remplisse le solitaire par coups additifs, à l'exception de la case 73, on obtient une réussite ordinaire, par coups soustractifs, sur le solitaire complémentaire ne contenant que la case vide 42; il reste la boule finale 73.

Pour déduire immédiatement la réussite de case initiale 42 et de boule finale 73, de la réussite de case initiale 73 et de boule finale 42, il suffit de renverser, dans la solution de cette dernière, l'ordre des fractions, mais sans renverser les termes de chacune d'elles. Ainsi, la réussite de case initiale 42, déduite de la réus- .site 73, sera

C'est en cela que consiste le procédé général de réciprocité.

E. Lucas. — Récréations mathém.

1 14 Cinquième récréation.

PROCÉDÉ GÉNÉRAL d'ÉCHANGE.

Nous avons vu que la réussite de case initiale 73 peut se terminer indifféremment par la case 42 ou par la case 45. Par conséquent, la réussite de case initiale 45 a pour solution

Elle ne diffère de la précédente que par le premier coup.

En général, désignons par a, è, c, d quatre cases consécutives,

et supposons que la réussite se termine par le coup -; on pourra

tout aussi bien terminer par le coup --i' De même, si une réussite

commence par le coup -, sur l'ensemble de quatre cases consécutives A, B, C, D. on pourra échanger la case A par la case D, et la réussite ne différera de la précédente que par le premier

coup yr» au Heu de — • C'est en cela que consiste le procédé

général d'échange des cases initiales ou des cases terminales.

Il résulte de ces considérations de symétrie, de réciprocité et d'échange, que nous avons donné les réussites possibles du solitaire de trente-sept cases, en prenant successivement pour case initiale toutes les cases convenables.