LA PROGRESSION DOUBLE

Nous donnons, dans le tableau suivant, les trente-deux premiers nombres obtenus en doublant continuellement le nombre précédent, à partir de 2; ces nombres forment les puissances successives du nombre 2 ; dans le système binaire, on écrit ces nombres en faisant suivre l'unité de un, deux, trois,..., soixante-quatre zéros; en Algèbre, on fait suivre le chiffre 2 d'un autre en plus petit caractère, placé au-dessus, nommé exposant, qui indique combien de fois le nombre 2 a été pris comme facteur.

Ce tableau représente ce que Fermât appelait Idi progression double.

On observera que pour multiplier les puissances de 2, la neuvième et la onzième, par exemple, il suffit d'ajouter les exposants 9 et 1 1 , ce qui fait 20 ; on a ainsi :

29 ^ 2i'=22o, ou 5i2 X 2048 = I 048 5;6.

La numération binaire.

En général, l'exposant du produit de deux puissances d'un même nombre est égal à la somme des exposants des deux puissances; de même, l'exposant du quotient de deux puissances est égal à la différence des exposants du dividende et du diviseur.

Tableau des puissances de 2.

C'est sur l'observation et sur la généralisation de ces propriétés des puissances que repose, comme l'on sait, la théorie des logarithmes. Ainsi encore, si l'on veut calculer rapidement la soixante-quatrième puissance de 2, il faut multiplier par elle-même la trente-deuxième puissance, ce qui donne

i58 Sixième recréation.

On raconte que l'inventeur du jeu d'échecs avait demandé^ comme récompense de sa découverte, un grain de blé pour la première case de l'échiquier, deux pour la seconde, quatre pour la troisième, et ainsi de suite en doublant, jusqu'à la soixantequatrième, qui aurait dû recevoir 2*' grains de blé. On a, d'après une formule bien connue dans la théorie des progressions géométriques, et que l'on peut vérifier sur le tableau,

Dans l'exemple précédent, le nombre total des grains de blé eût été de 2" — I ; c'est le nombre de vingt chiffres que nous avons écrit plus haut, et que l'on diminue d'une unité.