LES NOMBRES PARFAITS

La progression double conduit à la connaissance des nombres parfaits; on appelle ainsi tout nombre entier qui est égal à la somme de ses diviseurs, ou préférablement, comme on disait autrefois, à la somme de ses parties alignâtes , attendu que cette dénomination exclut le nombre lui-même du rang de ses diviseurs. De plus, on appelait nombre déficient, tout nombre plus grand que la somme de ses parties aliquotes ; et nombre abondant, un nombre plus petit que la somme de celles-ci.

La théorie des nombres parfaits impairs n'est pas complètement connue; quant aux nombres parfaits pairs, ils sont, sans exception, donnés par la formule

La numération binaire.

ibg

dans laquelle le second facteur doit être un nombre premier; ainsi, dans cette formule, il ne faut pas donner à a toutes les valeurs entières, mais seulement toutes celles pour lesquelles le nombre ?„= 2' — i est premier. Cette règle était connue d'Euclide ; mais ce géomètre ne savait pas démontrer que l'on obtenait ainsi tous les nombres parfaits pairs.

On voit facilement que Pa ne peut être premier que si l'exposant a est lui-même un nombre premier ; mais cela ne suffit pas. Il faudra s'assurer que 2' — i est un nombre premier; c'est là une théorie très difficile, et, dans l'état actuel de la science, l'Arithmétique supérieure est impuissante à résoudre cette question lorsque l'exposant a est un nombre premier supérieur à 100. Les nombres parfaits connus actuellement sont les huit nombres du tableau suivant :

Tableau des nombres parfaits.