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(^) Histoire des Mathématiques de W.-W. Rousb-Ball. Traduction française de L. Frelrd. Paris, Hermann 1906.
(*) A.LéVT. — Curiosités scientifiques. Hachette, i884«
l6 RECREATIONS MATHEmATIOUES
Ce mot, qui vient probablement du mot abraxas, était gravé 6ur une pierre ou écrit sur un morceau de papier carré. « Il fallait, dans ce dernier cas, plier le papier de manière à cacber Técriture et le piquer en croix avec un fil blanc. Puis le malade suspendait cette amulette à son cou et la portait pendant neuf jours. Au bout de ce temps il devait aller en silence, de grand matin, sur le bord d'une rivière qui coulait vers Torient, détacber de son cou le morceau de papier et le jeter derrière lui sans l'ouvrir ! »
Lucas mentionne la figure mystérieuse et magique formée par le mot A6RAGADA6RA, mais en récrivant sous la forme suivante :
Li.vi.Li.Li.lj A..iV./V..i\../V,.iV.
qui, pense-t-il, représentait pour les initiés, les propriétés du triangle arithmétique et des combinaisons.
U montre que le nombre de manières de lire le mot ABRACA- DABRA en commençant par la ligne supérieure et descendant après chaque lettre à Tune des deux lettres voisines de la ligne située immédiatement au-dessous est égal à 2^^, Q)
i et 5 sont les deux seules sommes consécutives de deux carrés d'entiers consécutifs dont le produit égale une somme de deux carrés d'entiers consécutifs,
(*) LccAS. — Théories dc$ Nombres, Paris, Gauthier- VîUars, i8qi. T. I p. i3.
La question revient h résoudre Féquation
[aj3 4- (x + ly] [(x -h jY -4- (a; 4- a)"] = y^ -{- {y ~{- i)\ Cette équation peut s'écrire
4a;* 4- i6x^ -h 24ic* -h i6x -|- 5 = a;^* + aj' h- i,
ou, en retranchant i des deux côtés et divisant par a,
a(r* + 8a;^ -f- iaa;' + 8a5 + a==;y'(y-i- i), ou enfin
a(aj-+- iy=y(y 4- i).
Les facteurs y et (y -h i) étant premiers entre eux, il faut que Fun soit une quatrième puissance, et l'autre le double d'une quatrième puissance.
On peut donc poser
y = m* et y -f- I = a n*
d'où
x 4- I = mn.
Il en résulte
I = a n* — m* ou 1 4- m* = a A*.
Mais la somme de deux bicarrés n'est jamais égale au double d'un bicarré, à moins qu'ils ne soient égaux ; donc
m = n=i, X ==: o, y=i, d'où la solution
Nous n'avons pas à examiner l'hypothèse j^ = a m* et j 4- i == ri* qui conduirait à considérer des entiers négatifs;
Récréations Mathématiques. à
l8 RéCRiiLTIOHS MATHEMATIQUES
i et b sont les deux seuh nombres entiers joaissant de la double propriété d'être à la fois somme des carrés de deux nombres consécutifs et d'avoir pour carré la somme des carrés de deux nombres consécutifs.
Proposons nous, en effet, de trouver un nombre qui soit, ainsi que son carré la somme des carres de deux entiers consécutifs.
Il s*agit de résoudre Téquation
qui peut s'écrire
= [r + Cr -^ ^^^] [ï — iy-^ v/=~îj
si le premier membre est le carré d'un nombre premier, ses deux facteurs sont premiers entre eux, ainsi que les facteurs du second membre, qui sont alors nécessairement dei carrés. On doit donc avoir
ou
( y + (7 ^~ ^ — i==2x-4-i— ax(x-i-i) / — I
[y — (y ~^.A ^ — i==2xH-i-i-2x(x-hi) y/— i
Le premier système donne
d'où
a?2 = I , ic = db I
cb = -^ î donne [(— ly H- o^]* = o« -h I* ou bien (o^ + 1^)2 = o^ -h t*
mSTOlRB DBS KOMfiAISS I9
» î^ I donne
Le second système (2) conduit à des valeurs irrationnelles de x. D'autre part
Le nombre six. — Le nombre 6, au rapport de Vitruve, devait tout son mérite à l'usage où étaient les anciens géomètres de diviser toutes les figures, soit qu'elles fussent terminées par des lignes droites, soit qu'elles fussent terminées par les lignes courbes, en six parties égales; et comme l'exactitude du jugement et la rigidité de la méthode sont essentielles à la géométrie, les Pythagoriciens, qui eux-mêmes faisaient beaucoup de cas de cette science, employèrent le nombre 6 pour symboliser la justice, marchant toujours d*un pas égal, ne se laissant séduire ni par le rang des personnes» lii par Téclat dos dignîtéa, ni par Tâttrait des richesses.
Le nombre 6 est le premier des nombres désignés sous le notn de nombres parfaits et que nous étudions un peu plus loin.
Comme ouriosité relative au chiffre 6, nous citerons le nombre formé parla réunion de trois six, 666, qui désigne dans VApocalypie^ suivant les procédés cabalistiques du temps, un personnage ayant exercé à Rome Tempire souverain, ayant succombé & une fin violente, et devant revenir ultérieurement, à la tète d'une formidable coalition et en qualité d'Antéchrist, pour réduire Rome en cendres. Tout indique que le personnage désigné ne pouvait être que Néron (^).
A la fin du $ecûnd siècle, la signification du nombre 666 n'était pas eiicore tout à fait oubliée. Quelques uns y savaient encore lire le nom de Néron. Mais, plus tard, le sens du passage donnant la description de l'Antéchrist se perdit, en même temps que celui du
(^) Goniùltèr rintéreasant Artiele de Mauricb Virils dans la Grande Encyclopédie, Tome III, p. 34o-34i»
I %aBrcr Ta^èse. Les pron.:TTir-3iiCi:a tt£ date d'Irénéc et, z IL. i LMtuwa^ c'cd-4-dire le pape.
«t préâcnté le docteur Les pîéiisles anglais, ^î- .. i - ^v -r-rrr ^ :scm. de Bonaparte, etc. = . -. s- TirrzL s*ç3B& 3i3L BciBB à Strasbourg, rr. ..TUT- & 3c:ia. Frftsdhe à Halle, ont
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" - -•■•--. -«f^Tranfi. PSms, 1870) que
:- ->*. — A ÀTc^e dê^nation de Rome
^— A 2t ^^.^ ccmme l'Antéchrist, —
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> jt..^ ::'.'*-^w jtt 3>«n« k tnœ de cérémonies - .> .-ïs^ti.ii' «i î^t'Oii 7 «ilds et sacrifiait 7 vic-
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• âtfefe^ :uM» ^ pibis assjriens, s*élevait,
-« . ..'?-.f. -.^ «lïm* -iJ^tt oa fjnande k sept étages,
^ ^ ^-^\ «O!» .^iJL j« i«afes«r« H disposés en retrait
^ »>-*-î^ .•..•t\ ^cr««^«u» Txta stec coloré difiéremment
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-\x«or» ^«lir Les XamÊellts Annales de
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des sept corps sidéraux superposés de manière à commencer en bas par celle du moins important, et à Gnir, en haut, par celle du premier de tous. Blanc (Venus), Noir (Saturne), Pourpre (Jupiter), Bleu (Mercure), Vermillon (Mars), Argent (Lune) et Or (le Soleil). C'était, ajoute F. Lenormant [Histoire ancienne), l'antique pyramide à étages du premier empire sémitique de Chaldée, adoptée par les Assyriens, et très légèrement modifiée dans sa forme, par une extension moins grande de sa base et un retrait un peu moins prononcé des étages les uns sur les autres^ de manière à être plutôt désormais une tour qu'une pyramide.
Dans la vallée de Mina où se passait, dès la plus haute antiquité, un des actes principaux du pèlerinage des peuples syro-arabes, se dressaient 7 pierres sacrées ou bétyles.
C'étaient également des bétyles ou pierres aérolîthiques les 7 termes entre lesquels Hérodote dit que les Arabes de son temps prêtaient leurs serments pour leur donner un caractère plus solennel et plus saint.
Le nombre des pierres sacrées, dans ces deux exemples, est important à noter, car c'est celui des planètes. Il prouve que le culte des bétyles avait, chez les arabes antiques, une liaison étroite ^vec le côté sidéral et planétaire de la religion. Il en était de même dans le bassin de TEuphrate et dans la Syrie.
Les Chaldéens d'Ereth avaient eux aussi leur temple des sept pierres noireSy dont nous parlent les inscriptions cunéiformes (*).
Lorsque vint Mahomet, il ne laissa subsister que trois des pierres debout de la vallée de Mina, prétendant qu'elles marquaient les trois places où le diable était apparu à Adam. Ayant ainsi réduit le nombre des pierres, il décida que le nombre des cailloux que Ton jetterait désormais h chacune d'elles serait de sept; prescriptions que les pèlerins suivent encore de nos jours et qui a maintenu le nombre total au chififre sacré de 21 ou 7 X 3.
Dans la mythologie brahmique, Indra est le chef de sept autres
(*) F. Lb:toriiart. — Histoire ancienne.
21 a RéCRiATIOHS MAT0Jlf47IQUES
Yasous et de sept iwacgas ou sphères célestes » et Tolympe védique xnenlionne que le nombre des adityas a été porté à i a afin de leur faire représenter les douze formes solaires ou signes du zodiaque.
On sait que Pythagore accordait une place importante au septe^ naire ou période de sept années.
Dans le songe de Scipion, Giceron dit textuellement ! « il n'y a presque rien dont le nombre 7 ne soit le nœud. »
On connaît les sept merveilles et les sept sages des anciens.
On voit les Athéniens envoyer chaque année sept enfants pour être dévorés par le Minotaure.
Dans Rome, la ville aux 7 collines, on croyait que le Styx faisait 7 fois le tour de Tenfer divisé par Virgile en 7 demeures ; dans les jeux du cirque, le vainqueur dans la course des chars était celui qui avait fait 7 fois le tour de la borne surmontée de 7 dauphins et de 7 œufs.
C'est surtout chez les Hébreux et plus tard chez les Chrétiens que le nombre 7 prit un caractère sacré. Dès les premières lignes de la Bible on voit Dieu créer le monde en 7 jours ; le 7® jour de la semaine était le sabbat, jour de repos; la 7" année était consacrée au repos de la terre, et les 7 semaines de 7 années précédaient le jubilé qui se célébrait tous les 5o ans. De Pâques, la grande fête juive, il y avait 7 semaines jusqu'à la Pentecôte.
L'ancien testament parle des 7 vaches grasses et des 7 vaches maigres, des 7 plaies d'Egypte. Les amis de Job offrirent un sacrifice de 7 veaux et 7 béliers. Abraham fit présent de 7 brebis à Abimelech pour les immoler. Les trompettes font tomber les murailles de Jéricho en en faisant 7 fois le tour. David, dans la translation de l'arche sainte, sacrifie aussi 7 victimes. On connaît le chandelier à 7 branches qui brûlait dans le temple, les 7 psaumes de la pénitence (*).
(1) A. l'Esprit. — Histoire des chiffres et des i3 premiers nombres, Men-> del, 1893, p. 79.
RtStOIRB DBS HOMBkBS ^ sS
L'Historien Josèphe raconte qu'un nommé Jésus, fils d''Amanns, annonça la prise de Jérusalem en répétant sans cesse pendant 7 ans : malheur à Jésusalem !
Remarquons avec le poëte qu'il y a 7 lettres dans le nom de Jéhovah.
Bt dans rimmensité sept lettres tombèrent.
(V. IIuGO. — Conlemplations.)
C*est avec ces antécédents que ce nombre entra dans la religion chrétienne où la plupart des choses vont par 7. On compte 7 péchés capitaux, 7 sacrements, 7 dons de l'esprit, {*) 7 douleurs de Marie, les 7 parties de TOffice, ou heures canoniales.
On connaît 7 princes de l'Enfer ; Aziel, Ariel, Marbucl, Méphîslophélès, Barbuel, Aziabel et Arifel.
Saint-Pierre demande à son maître : « Lorsque mon frère aura péché contre moi, combien de fois faut-il que je lui pardonne ? » et Jésus de répondre : < Je ne vous dis pas jusqu'à 7 fois, mais jusqu'à 77 fois 7 fois ». — C'est-à-dire toujours.
Remarquons que ce nombre 7 s'employait dans le sens d'une quantité indéterminée, mais considérable ; ainsi on lit dans le livre de Ruth : (( Ce vous est plus avantageux que d'avoir 7 enfants )). Ce qui veut dire : que d'avoir un grand nombre d'enfants (^).
Ce sens de beaucoup, donné au 7, se retrouve aussi chez les Arabes ; on connaît leur proverbe : Avant de parler, tourne ta langue 7 fois dans ta bouche ».
Puisque nous parlons des Arabes, disons que Mahomet admet 7 cieux et les houris qui les peuplent ont toutes des perfections ou des qualités marchant par 70. Il leur suppose 70 robes, 70 tentes, 70000 esclaves, etc. Le Coran ordonne de jeûner pendant le 7* mois de Tannée.
L'enfer de Mahomet est divisé en 7 étages destinés à recevoir autant de sortes de damnés, dans l'ordre suivant, à partir du
(^) Les rabbins comptaient 7 degrés de félioité céleste. (*) A. l'Esprit. — Ouvrage déjà cité.
34 e£cb£aTI0N8 MATHéHATIQUES
premier étage : mahométans, juifs, chréUens, sabeens, mages, idolâtres, hypocrites.
Dans la liltératare, le 7 joue un certain rôle et nous renvoyons à ce sujet au chant X de V Enfer de Dante et à la scène 3 de l'acte i de Macbeth.
Sept est le seul nombre entier qui, augmenté de i, donne le double d'un carré, et dont le carré, augmenté de i , donne également le double d'un carré.
Soit N un nombre entier tel que Ton ait :
N = ax* — 1.
Il vient en élevant les deux membres au carré
N2 = lix^ — 4ic' + I = (2ic« + 0* — 8x* ou encore
N^ = 2 (3 a;* 4- I — a a?)* — (3 X* 4- I — 4 ic)*. Si donc Ton pose (i) 2x^+1 — 3a;=j et 2x^-^-1 — 4^=1 (2)
on aura
et la seconde condition sera remplie.
Or (i) peut s'écrire
y = a;2 ^ j |^ /ç2 — 2X =:^{X — iy -\' X^
et (3) donne également
,. = ?<l±2=(ïii)V('i=i)',
et le nombre N étant impair, il en résulte que y et y^ sont des sommes de carrés de deux nombres entiers consécutifs.
HISTOIBE DES If OMBRÉS â5
Donc, d après ce qui a été démontré plus haut au nombre 5
il en résulte a; = a et N = 7.
Les équations (i) et (2) nous conduisent d'ailleurs aux mêmes valeurs
X = 2 et y = 5.
Le nombre huit. — Le nombre 8 était en vénération chez les Pythagoriciens, parce qu'il désignait, selon eux, la loi naturelle, cette loi primitive et sacrée qui suppose tous les hommes égaux.
C'est ce principe d'égalité qu'appliquait d'une si singulière façon Héliogabale quand il invitait à sa table 8 boiteux, 8 chauves, 8 borgnes et 8 bègues qu'il livrait ensuite aux bètes féroces.
Aux jeunes gens désireux d'étudier les divers systèmes de numé-^ ration, leurs avantages et leurs inconvénients, et en particulier la numération à base huitt nous conseillons la lecture d'un ouvrage fort bien écrit intitulé : Le système octoval ou la numération et les poids et mesures réformés par Colenne» a* édit. Paris, i845.
Nous ne pouvons mieux faire que de citer en passant un ouvrage publié en 1867 et dans lequel l'auteur, Aimé Mariage, s'efforce de démontrer que les nombres primitifs mentionnés dans les ouvrages chinois, dans la Bible, dans les livres d'Hésiode, d'Homère, d'Héro* dote, etc. , étaient exprimés dans l'origine suivant la numération à base huit, 11 estime établir que les heures, les jours, les semaines» les mois, les ans et toutes les périodes des temps anciens existaient suivant la numération octovale. L'auteur donne également l'explication, d'après ce système, des 64 combinaisons de lignes des 8 figures constituant le Je-kim dont il a été question plus haut au nombre deux, et il faut avouer que son explication semble assez naturelle.
Faisons encore remarquer, à propos du chiffre 8 que dans une
opération les multiplicateurs 8, 98, 998,...
peuvent être remplacés par 10, 100, 1000, ...
96 RécaiATioifS mathématiques
plus forts de deux unités. On obtient alors le résultat exact en retranchant du produit obtenu, deux fois le multiplicande. Voici enfin quelques exemples curieux :
donne 9
Le nombre neuf. — Le nombre neuf était considéré avec crainte comme désignant la fragilité des fortunes humaines, presqu'aussitôt renversées qu'établies. C'est pour cela que les Pythagoriciens conseillaient d'éviter tous les nombres où le 9 domine, et principa^ lement 81, produit de 9 par lui*méme.
Le nombre 9 se retrouve dans les idées religieuses judaïques et chrétiennes : le 5® jour de la fête des expiations, les Hébreux devaient sacrifier 9 veaux. A cette superstition juive et païenne, la dogmatique chrétienne donne une plus grande force par suite de la croyance à la Trinité. Ce dogme, dit Larousse, fut violemment attaqué par les hérétiques et TEglise affecte, par cela même» do l'affirmer et d'en multiplier l'expression dans ses cérémonies. De là* par exemple, le Trisagion^ ou 3 fois saint, chanté dans la liturgie, les signes de croix répétés 3 fois; c'est en l'honneur de ce nombre qu'on dit 3 fois Kyrie eleison, 3 fois Chrisle eleison, 3 fois Kyrie eleison, soit 9 fois, c'est-à-dire 3 fois pour chaque personne divine. Ce doit être aussi l'origine des neuvaines, de none, office de la 9^ heure, etc.
Les anges forment 9 chœurs devant FËternel, et le Dante, nourri des idées religieuses de son époque, suppose 9 cercles dans Tenfer,
BI9TQlfiS P8S HOMBaSS $7
Le livre sacré des anciens Persans prétend qu'il y a 99999 maladies produites par la puissance du diable.
Le 9 était aussi chiiïre cabalistique. Chez les anciens Gaulois,
File de Sein donnait asile à 9 prophétesses dites Vierges de Sein.
Shakespeare met le nombre 9 dans la bouche de ses sorcières.
A propos du nombre 9 faisons remarquer que multiplier un
nombre par 9 revient k le multiplier par 10 et à retrancher du
résultat le multiplicande.
De même les multiplicateurs 99, 999. 9999» ••• se remplacent par les nombres 100, 1 000, 10000, ... et des résultats obtenus on retranche une fois le multiplicande.
La division par 9 peut s'effectuer assez promptement au moyen du procédé suivant.
Soit» par exemple, à diviser 734 par g.
On écrit le nombre 724 en séparant, par un trait vertical 72 un chiffre à droite. 7
Au dessous on écrit, comme pour faire upe addition, le nombre 7a, le chiffre 2 étant placé sous le 4> à la droite du gg trait vertical.
EnQn, sous le a on écrit le dernier chiffre qui reste 7. On additionne les nombres ainsi écrits.
La partie à gauche du trait vertical représente le quotient. Si la somme des chiffres contenus dans la première colonne verticale à droite du trait est moindre que 10, elle représente le reste de la division, si elle est supérieure à 10, cette somme doit être augmentée de la retenue.
Dans notre exemple 80 est le quotient et 4 là reste. On a, en effet
734 = 72 dizaines -h 4 = 72 fois 9 + 72-1-4 73 = 7 dizaines -h 2 = 7 fois 9 H- 74-2.
Donc
724 = 7a fois 94-7 fois 9-+-4H-7-t-a=5 79 fois 9 H- i3 = 80 fois 9 -h 4.
2 8 REGRÊATIONS M4Th£mATIQUES
3 Prenons comme second exemple le nombre 8287.
2 En opérant comme on vient de l'expliquer, on trouve
^ giS pour quotient et 2 pour reste.
Un procédé identique s^appliqueau diviseur 9g, mais dans ^^ ce cas on sépare, par un trait vertical, deux chiffres (au ^
lieu d'un) sur la droite du dividende.
Prenons pour exemple, le nombre 56834* 574 07
On trouve "comme quotient 674 et pour reste 7 H- la retenue = 8.
574oi5
74 Divisons encore 66827491 par 99.
Le quotient de la division est 57401 5 et le reste 3 -f- la retenue 3 = 6.
On peut étendre le procédé aux diviseurs 999, 426348
9 999... etc. 426
Divisons pa? exemple le nombre 4268489 1 7 par 999.
On trouve pour quotient 426776 et pour reste 691 426775 -h la retenue i = 692.
Le même procédé de division peut être étendu à des nombres qui diffèrent très peu de 100, 1 000, ... etc., comme 98, 998, 996, ... etc.
Soily par exemple à diviser 67634 par 98.
98 = 100 — 2. Séparons par un trait vertical deux chiffres sur la droite de 67684 et multiplions 576 par 2.
Le produit 1162 s'écrit sous 67684 en plaçant les deux premiers chiffres à droite sous 84.
Additionnons les nombres qui se trouvent des deux côtés du trait vertical, on trouve d'une part 687 et de Tautre 108 qui s'écrit en plaçant le chiffre i sous le chiffre 7. Multiplions 1 par 2 et écrivons le produit dans la première colonne verticale. L'addition ûnale nous donne le quotient 688 et le reste 10.
Soit encore à diviser 864835 par 996.
Qg& = I 000 — 4» H faut donc séparer 3 cliififres à droite
et multiplier par 4 les nombres qui restent. Lc^quotîent de 867
la division est 868 et le reste So^, ï
Ces divers procédés de division sont, croj'ons-nous, plus curieux que pratiques.
Nous terminerons en donnant quelques résultats de multiplications par 9 présentant une symétrie et une simplicité remarquables.
+ 2 donne 11
