SO RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

multiplication des nombres entiers, quelques procédés d'abréviation à l'aide desquels on obtient rapidement, dans certains cas particuliers, le produit de la multiplication de deux nombres entiers. Comme ces procédés méritent d*être connus et ne se rencontrent dans aucun Traité d'Arithmétique (bien que le Talkhys les ait donnés il y a près de six siècles), il nous paraît utile de les exposer rapidement ici* .

Soit à multiplier par lui-même un nombre composé de phiflres tou4 égaux à g, par exemple 99999 par 99999.

Règle. — Il Suffit d'écrire le chiffre 8, de le flanquer à gauche d'autant de 9 et à droite d'autant de o qu'il y a de chiffres moins un dans l'un quelconque des facteurs, puis d'écrire à l'extrême droite du nombre qui en résulte, le chiffre i .

Cette règle appliquée à l'exemple proposé donne comme produit.

Autre exemple. Soit 9999999 à multiplier par 9999999. A gauche du chiffre 8, j'écris (7 — i) ou 6 chiffres tous égaux à 9 et à sa droite, 6 chiffres tous égaux à o, ce qui donne

9999 998000 oo<5

Puis à l'extrême droite de ce nombre, on pose le chiffre i, ce qui fournit le produit cherché

Autre exemple. Si l'on proposait de multiplier 9 par 9, le produit, en appliquant la règle, serait 81.

Dans ce cas, en effet, le nombre des chiffres de l'un quelconque des facteurs étant i, ce nombre diminué de i, devient égal à zéro,

Rome, à Vimprimerie des Sciences Mathématiques et Physiques, par les soins du Prince Balthàsar Boncompagni.

L -extfait que nous éontiùM ici est emprunté aux No»>eUeâ AHHàlts dé Malhémait^tiéS, lÉ-jg, p. sôa, 263. ,

mSTOIRE DBS MOMBRBS 3t

et cela signifie que le chiffre 8 apparatt ici sans son escorte habituelle de 9 à gauche et de o à droite, et seulement accompagné du chiffre i.

Soit maintenant à multiplier un nombre composé de chiffres tous égaux à g par un nombre composé de chiilres tous égaux entra eux, inais tous différents de g.

On applique la règle suivante : on fait d*abord le produit d'un

des chiffres du multiplicande par un des chiffres du multiplicateur,

le chiffre des unités de ce produit préliminaire sera le chiffre des

unités du produit demandé; quant au chiffre des ditaines de ce

même produit préliminaire, il devra être flanqué à gauche d^autant

de fois le chiffre du multiplicateur qu'il y a de chiffres moins un

dans l'un quelconque des facteurs proposés, et à droite d'un même

nombre de chiffres tous égaux à la différence entre le chiffre (9) du

multiplicande et le chiffre du multiplicateur. C'est à l'extrême

droite du nombre ainsi obtenu qu'on écrira le chiffre des unités du

produit préliminaire, et l'on aura ainsi le produit demandé.

Exemple proposé

Le produit préliminaire 9x6 étant 54, il suffit d*éorire à I4 gauche du chiffre (5) des dizaines autant de fois le chiffre (6) du multiplicateur qu'il y a de chiffres moins un dans l'un ou Tautra facteur, c'est-à-dire deux fois, et à sa droite deux fois le chiffra (0) qui exprime la différence 9 — 6, ainsi ;

puis de compléter ce nombre, en écrivant à l'extrême droite le chiffre (4) des unités du produit préliminaire (b4)i 6t l'on auru ainsi pour le produit cherché

Autre exemple. Soit 9999999 à multiplier par 3333333. Lé produit préliminaire est 9 X 3 == 27*

32 RÉGRÉATïOTfS MATHÉMATIQUES

On écrit à la gauche du chiffre 2, chiffre des dizaines du produit préliminaire (7 — i) ou 6 chiffres tous égaux à 3, puis à droite de ce même chiffre (2), 6 chiffres tous égaux à la différence (9 — 3) ou

6 des chiffres des deux facteurs. On complète le produit en écrivant à Textrème droite du nombre 3 333 33a 666 666 ainsi formé, le chiffre

7 des unités du produit préliminaire, ce (|ui donne le nombre

Autre exemple. Soit à multiplier 99 par 22.

Produit préliminaire 9 X a = 18,

Produit cherché 2178.

On peut remarquer que la première règle est un cas particulier de la seconde : celui où la différence entre le chiffre du multiplicande et le chiffre du multiplicateur devient nulle.

Le nombre dix. — Les disciples de Pythagore regardaient ce nombre comme le tableau des merveilles de TUnivers, renfermant autant de nombres impairs que de nombres pairs.

Pour marquer qu'une chose surpassait de beaucoup une autre, ils disaient qu'elle était 10 fois plus grande, 10 fois plus admirable. Pour marquer simplement une belle chose, ils disaient qu'elle avait 10 degrés de beauté. D'ailleurs ce nombre passait pour un signe de paix, d'amitié, de bienveillance ; et la raison qu'en donnaient les disciples de Pythagore, c'est c[ue, quand deux personnes veulent se lier étroitement, elles se prennent les mains l'une à l'autre. Or, disaient -ils, deux mains jointes ensemble, forment 10 par le moyen des doigts.

Il résulterait de ce raisonnement que 5 serait le chiffre représentatif de la discorde; car, lorsqu'on donne un soufflet k autrui, ce sont bien les doigts de la main qui se font sentir.

Mais il ne faut pas trop demander de logique aux philosophes, même à Platon qui, parlant de la fondation d'une cité modèle dont il bannissait les poètes, voulait qu'elle n'eût pas plus de 5 0^0 défenseurs, parce quié» disait-il, ce nombre est divisible pat les 10 premiers

nombres. On ne s'explique pas bien le rapport que les propriétés du nombre 5o4o pouvaient avoir avec la fondation d'une cité.

Le chiffre lo est rarement hiératique; cependant dans l'Apocalypse, on trouve la béte aux dix cornes ou lo rayons représentant les lo commandements de Dieu, le Décalogue de Moïse.

Dix est le seul nombre triangulaire égal à la somme des carrés de deux impairs consécutifs.

Proposons nous, en effet, de trouver les solutions entières de

??>^ = {2y - 1)» + (ay + i)» = 8/4- 2.

Multiplions des deux côtés par 8 et ajoutons i aux deux membres, il vient :

ou

(aac -h 8y 4- i) (aaj — 8;^ + i) = 17.

Donc

ao? H- 8y -h I = 17,

et

d'où l'on tire Alors

Le nombre onze. — Ce nombre ne donne lieu à aucune observation particulière.

Nous ferons cependant quelques remarques sur les multiplicateurs II, III, I III, ..., etc.

Récréations Mathématiqaes. B

34 RiClÉATIOltS MiTHlMATiQUES

Pour mullipliet un iiombré pAv i ï , dn peut opérer coniftïè il suit :

On suppose un zéro à la droite du multiplicande et uti zéro à sa gauche, puis commençant par Id droite, on ajoute lés chiffres, 2 à a, en tenant compte des retenues.

Soit, par eiempiè, 36a8 à multiplier par ti.

On suppose opérer sur le nombre dSGsSb et Ton dit : d et 8, 8 que je pose ; 8 et 2 font 10, je pose o et je retiens t ; 1 de rètetiuë et a, 3, et 6 font 9 que j 'écria; G et 3 donnent 9 que j'êcrià, et enfih 3 et o donnent 3 que j'écris.

Le produit est donc

De même, pour trtultiplier un nombre par 1 1 1 , on peut supposer deux zéros écrits à la droite du multiplicande et deux zéros écrits à sa gaucho, puis, commençant par la droite, faire successivement la somme de 3 chiffres consécutifs en tenant compte des retenues.

Par exemple, pour multiplier 3728 par m, on est supposé opérer sur le nombre 00373800 et l'orl dit. s

o 4- o -h 8 = 8 que je pose ; o + 8 -h a = 10,, je pose o «I je retiens 1 ; i et 8, 9 ; 9 4- 2 H- 7 = 18, je pose 8 et je retiens i ; i de retenue et7, 8;8 4-5 + o=lt,je pose i et je retiens i ; i et 3, 4;4-i-o4-o = 4 que j'écris.

Le produit est donc

On formulerait des règles identiques pour iiii, iiiii, ... etc.

Quand il s'agit de multiplier par lui-même un nombre composé de chiffres tous égaux à l'unité, oii applique avantageuseihént la règle suivante extraite du Talkhys (*).

Il suffit d'écrire le nombre des chiffres de l*un des facteurs, nombre qui pour que la règle s'applique doit être inférieur à 10, et de le flanquer symétriquement, à sa gauche et à sa droite, de la suite naturelle décroissante des chiffres moindres que lui. Par exemple,

(*) Voir la note de la page ag.

pour multiplier nui par uni, on écrira 5, nombre des chiffres de Tun quelconque des facteurs, et symétriquement à droite et à gauche de 5, la sUite naturelle décroissante des chiffres moindres que 5, c'est-à-dire 4> 3, 2 et i, ce qui donne comme produit

On forme ainsi le tableau suivant ;