III X III = Î232I
iiiiXiiii = I 234321
miixiii'i = 1 23454321
iiiiii'x iiiiii = 12345654321
IIIIIII X TIIIIII = 1234567654321
iiiiiiiT X iiriiiii == 12345678765432 I
IIIIIIIII X IIIIIITII = I234567898765432I
Garaotèt'e de divisibilité par onze. — Un nombre est divisible par 1 1 si en ajoutant les tranches de deux chiffres qail contient (en commençant p^r la droite)^ on obtient un nombre divisible par 11.
N étant un nombre entier quelconque dont les chiffres sont de gauche à droite
abcdefghkli
Partageons-le en tranches de deux chiffres, à partir de la droite, et écrivons ces tranches les unes au-dessous des autres afin de pouvoir les additionner :
kl
éd àb
La somme a pour expression
{l -h h -hf H- d H- 6) 4- 10 (fc + ^ -4- « -f- c -h a).
Gela posé, représentons par S celte somme, par S| la somme (l-hh-^f-hd-^b) des chiffres de rang impair, et par S^ la somme des chiffres de rang pair»
On a :
S = Si -i- lo.Sy = Si -h I i.Sp — Sp.
d'où
S I !• bp = bi — Sp.
Or, si N est divisible par 1 1, S» — Sp =: multiple de 1 1 et on a alors S = multiple de 1 1 .
La condition est donc nécessaire.
Elle est d'ailleurs suffisante, car si S. est un multiple de ii, on a Si — Sp = multiple de 1 1 et le nombre N est divisible par 1 1 .
Remarque. — On formulerait un théorème identique pour les diviseurs 9 et 99.
Le nombre douze. — Ce nombre se rattache à l'Astronomie à cause des 12 signes du zodiaque, que les anciens rattachaient aux 12 travaux d'Hercule.
L'ancien et le nouveau testament font mention des 12 tribus d'Israël et des la apôtres. Saint Jean parla de 12 mille hommes marqués du sceau dans chacune des 1 2 tribus. Il dépeint la femme apocalyptique comme couronnée de 12 étoiles.
Sur la montagne de Sion, il vit i44ooo personnes (t2 X 12000) marquées sur le front du nom de TEternel; la nouvelle Jérusalem avait 12 portes, S à chacun des 4 points cardinaux, gardés par 12 anges; les murs avaient 12 fondements; la ville était carrée et avait 1 2 000 stades de côté ; la muraille avait i44 (12') coudées de hauteur et au milieu était l'arbre de la vie avec 12 fruits.
La théologie reconnaît 12 vertus.
tItSTOIRË DES KOMBBES 87
Rappelons les la principales erreurs zoologiques populaires ayant une apparence de vérité :
La chauve- souris est un oiseau.
La baleiiie est un poisson.
L'écrevisse est un poisson rouge qui marche à reculons,
La piqûre de la vipère.
La langue de la vipère prise pour emblème de la calomnie.
Les deux ailes de Tabeille.
La souris est la femelle du rat.
La grenouille est la femelle du crapaud.
La guenon est la femelle du singe.
La corneille est la femelle du corbeau.
La colombe est la femelle du pigeon.
La perruche est la femelle du perroquet.
Le nombre 13 est particulièrement intéressant à cause de la discussion à laquelle il a donné lieu à propos de ses avantages comme base d'un système de numération.
Simon Stevin, de Bruges, avait imaginé le système de numération duodécimale, se rapprochant beaucoup plus de notre manière de compter les mois de Tannée, les heures du jour et les degrés de la circonférence. On a fait justement remarquer, à ce sujet, les avantages du nombre i!i comme base du système de numération à cause de ses nombreux facteurs.
Le choix presque unanime du nombre dix comme base de la numération, provient fort probablement de la conformation de la main. De même, la plupart des unités, chez les anciens peuples, dérivent ordinairement des dimensions du corps humain : ainsi, par exemple, le doigt, le pied, le pouce, la coudée, etc.
Il faut également remarquer que nos pères se sont souvent servis de la douzaine pour compter : le sou valait 12 deniers, le gros, 72 ('a X 6) grains; le carat est la vingt-quatrième partie (12 X 2) du fin d'une matière précieuse. Bien des peuples, les Anglais par exemple, ont des mesures se rapprochant du système duodécimal.
Le pied se divisait en i a pouces, le pouce en i ^ lignosi h ligpe en 13 poinls. On avait même été, dans ce spns, jusqu'au» unités de troisième ordre; après la douzaine venait la grosse (12 x 12 = i44)» mot et mesure qui s'emploient encore journellement dans le commerce, malgré toutes les défenses législatives.
Auguste Comte a remarqué que la structure de la main, composée de quatre doigts à trois phalanges, ou de douze phalanges, permet de représenter avec les deux pouces posés sur deux phalanges, tous les nombres jusqu'à i3 fois 13 ou cent cinquante six; alors les phalanges de la main gauche représentant les unités, celles de la main droite représenteraient les grosses.
Ce système, si ingénieux qu'il puisse paraître, n*a pas détrôné la manière ordinaire de compter sur les doigts qui date de Charlemagne, et il n*en reste plus guère aujourd'hui que la comparaison faite par Auguste Comte, des quatre doigts et du pouce de la main, au peloton des quatre hommes et du caporal (*).
Cependant Ch. Fourier et son disciple Transon ont fortement préconisé le système duodécimal naturel.
Le nombre treize. — Les Romains tenaient pour malheureux le lendemain des Ides, c'est-à-dire les i5 mars, i5 mai, 1 5 juillet et i5 octobre et le i3 pour les autres mois. Chez nous, cette superstition s'est accrue de ce fait d'ordre religieux qu'il y avait i3 personnes à table le jour de la Cène et que Jésus fut crucifié quelque temps après.
Bien des personnes ne veulent pas s'asseoir à une table où il y a i3 convives, parce que, dans ce cas, une des personnes présentes doit mourir dans l'année.
Autrefois un cultivateur n'osait même pas aller aux champs un i3. Quand des savants (?) annonçaient la fin du monde, c'était toujours pour un i3. Ainsi, un docteur écossais et un autre docteur
(*) Lucas. — Arithmétique Amusante, Paris, 1896, p. 161.
allemand avaient prédit qu'vin caificlysme épouvantable anéantirait notre pauvre Terre le i3 juin 1857.
Dans les livres cabalistiques le i3 correspondait au mot prince. On ne saurait trop réagir contre ces superstitions. Louis XIII, qui n'était pas superstitieux, ét^it le traigième roi de France de ce nom. Il s'appelait Luys de Bourbon, sa fempie Anne d'Autriche; chacun de ces noms avait i3 lettres et, lorsqu'ils furent mariés, les époux avaient chacun i3 an». Il choisbsait volontiers les vendredis et les i3 pour entreprendre quelque chose d'important, et le dernier souci de ce prince à son lit de mort, un jeu4i» fut de prier son médecin de faire tout son possible pour le prolonger jusqu'au lendemain afin de mourir un vendredi (*).
i3 est le seul nombre entier qui soit, ainsi que son bicarré, la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
Un nombre N égal à la somme de deux carrés peut être représenté par a^ -h 6', ou, en introduisant les imaginaires
N = a2 -f- 62 = (a 4- 6 \/^^i) (a — 6 v^^^l") ; son bicarré
N* =r= (a» -h b^y = (a + 6 v/^^^)* {a — b v/^^^)S et, d^api^ès rbypQlhèsc)
N* = A^ ■+■ B2 = (A 4- B \nri) (A - B /^^),
On peut donc poser
A H- B sf^^ = (a 4- fc /=n)*,
A — B v'^nr = (a - 6 v^^nf)*.
(*) A. l'Esprit. — Histoire des Chigrén et des i3 Premiers Nombres, Paris, 1893, p. i34.
4o RÉCnfXTIOSS H&TB£HATIQtrBS
Ces deux dernières équations donnent (0 A = a* — 6o'6* + fr',
(a) B = 4a'fc — ia6'.
Mais a et 6 étant deux nombres entiers consécutirs, ce» relations deviennent en y remplaçant 6 par o + i
(4) B = 8a' — 12a' — ia,
Ponr que A et B soient, comme a et fc deui nombres entiers consécutifs, il suffit qu'on ait A — B = i, ou, en tenant compte des équations (3) et (4)
4a* — laa» — 80 = 0.
Les racines de cette équation sont a ^ o, a = 3, a = — I, a = — I.
La valeur a ^ a convient seule à la question. 11 en résulte
6 = 3, A = — 119, B :^ — lao a' = 4, 6' = 9. N = a' + 6* = i5.
N* = A' + B*= 119»-)- iao»= a856i = t3*.
Le nombre quatorze. — Ce nombre a joué un grand rôle dans l'histoire de Henri IV,
Ce prince est né le 14 décembre i553, à très-peu près: i4 siècles, plus i4 décades d'années et i4 ans après Jésus-Christ.
La somme des chilTres de l'année de sa naissance donne l4-
'1 est mort le i4 mai 1610, et ce millésime est divisible par i4-
1 meurt assassiné à très peu près au bouldu quadruplede i4t>ns,
s 14 semaines, plus i4 jours.
Ion nom était composé de i4 lettres (Henri de Bourbon).
1 a été roi de France et de Navarre 3 fois i4 ans.
1 a été blessé par Cbâtel i4 jours après le t4 décembre, en
HISTOllVE DES NOMBRES ^1
Tannée iSg^. Si on ajoute les chiffres de 1694 et si on retranche du total la somme i -f- 4 = 5 de cette date i4, on retrouve encore le nombre i4>
Entre ce jour (i4 décembre 1694) et celui de sa mort, il y a l4 ans, i4 mois et cinq fois i4 jours.
C'est le i4 mars qu'il bat Mayenne à Ivry, dans le pays d'Evreux.
Enfin Ravaillac a été exécuté i4 jours après la mort du roi.
Louis XIV et le successeur de Louis XIII.
C'est le 14' roi de France du nom de Louis.
Son règne commence en i643, date dont la somme des chiffres donne i4*
C'est à i4 ans qu'il est majeur. Légalement il n'aurait du être majeur qu'en i652, date dont la somme des chiffres donne encore
Il gouverne lui-même en 1661, date dont la somme des chiffres fait toujours i4.
Il règne pendant 72 ans, et 7 X 2 = i4.
Il meurt à 77 ans et 7 -f- 7 = i4»
C'est un 14 que meurt son père, Louis XII 1.
C'est également un i4 que meurt son aïeul, Henri IV.
Nous arrêterons ici celte étude sur les propriétés attribuées à certains nombres en renvoyant le lecteur à un ouvrage du P. Bungus intitulé : De nameroram mysleriis et dans lequel toutes les rêveries, toutes les divagations des anciens sur ce sujet, se trouvent réunies.
On a fait des rapprochements curieux entre les dates de naissances de personnages ayant joué un certain rôle dans rhistoîre et les dates d'événements marquants et on est arrivé à des résultats parfois singuliers.
Si, par exemple, nous prenons Tannée i8o3, apogée de la période consulaire, dernier terme de la première République, date significative
43 RÉea]BATIOVS M^Tp^lfATIQUES
de la rupture du traite d*A miens qui rejette la France i^n$ i8o3
dix années de guerres continuelles et ouvre Tcre de la politique i
toujours militante de TEmpire, on voit que la somme des - 8
chiffres composant ce nombre i8o3 ajoutée à Tannée i8o3 ^
elle-même, donne une autr« date remarquable : ^
Restauration des Bourbons i8i5
Le même procédé appliqué à i8i 5, c'est-à-dire Taddition 5
avec i8i5 des chiffres qui constituent ce nombre, donne la '
date de la ^
Révolution de Juillet i83o
En ppérant de même sur i83o on arrive à i843, date de la mort du duc d* Orléans y c'est à-dire de la catastrophe qui ouvre la série des revers pour la famille d'Orléans.
IN 'abandonnons pas Tannée i83o sans ci ter pe fait curieux. A cette époque la chambre des députés, ponaposée de 4oa membres, était, comme toujours, divisée en deux partis. Le plus nombreux, qui s'éj;ai); dpclaré pour la révolution de juillet, se composait de ^21 membres; l'autre, d'opinion moins prononcée, n'en comptait que 181. La passion politique s'en mêlant, un anonyme s'avisa de désigner la première catégprie sous le nom de la queue de Robespierre et la seconde sous celui-ci : les honnêtes gens. Jusque-là ripn de remarquable et nous pourrions nous croire en 1907, maisvoici la singularité.
Ecrivons verticalement les deux phrases la queue de Robespierre, les honnêtes gens, en séparant les mots; mettons en regard de chaque lettre le numéro d'ordre qu'elle occupe dans l'alphabet.
Additionnons maintenant les nombres de chaque co- 221 lonne, on trouve pour résultats les nombres aai et 181,
c'est-à-dire précisément les nombres des membres de chaque parti.
ïr" j2
tr" 12
wiQ
Ci2l
tfl 5
?di8
Oi5
cd 2
tfl 5
Î3ii8
SJ18
Revenons à la date i83o. i
Ajoutons à cette date, la somme des chifTres composant la ^
date de la révolution de février i848, le total donne précisé- 4
ment une fiutre date historique celle du coup d'état. ^
I Louis Philippe I*' devient roi de France en i83o. 7 Ajoutons encore à cette date la somme des chiffres de 7 l'année de sa naissance 1773.
^ On trouve i848, date de sa déchéance.
Il y a ici douhle coïncidence, car faisons le même calcul pour sa femme, Marie- Amélie de Bourbon née en 178a i mariée en 1809 I 8
Avec Napoléon III nous arrivons à des résultats identiques :
Napoléon est né en 1808 i
Année de son mariage avec Eugénie de Montijo i853
Date de la déchéance 1870
Date de la naissance d'Eugénie de
Montijo i8a6 i mariée en (853 i
Date de son mariage avec Napoléon i853 i853
La date du a décembre iSSq, date à laquelle Napoléon fut nommé Empereur des Français, était ellc-mêraç fatale. On a en effet :
1862 -h i-f-8-h5-h2-hla date du jour (3 décembre) = 1870.
L'Empire a \écu 17 ans et 9 mois, il lui était impossible d'atteindre une durée de i8 années complètes. En effet, Napoléon est né en i8o8, etiH-8-+-oH-8 = i7. Eugénie de Montijo est née en i8a6 eti -h8-f-a4-6 = i7. Ils se sont mariés en i853 et, on a encore i-i-84-5-h3 = i7.
Le nombre géométrique de Platon, — Le VHP livre de la République de Platon contient, vers le commencement, un passage célèbre par son obscurité, devenue proverbiale depuis dix-huit siècles.
il est question d*un nombre satisfaisant à certaines conditions géométriques. La tradition sur ce passage étant perdue, un problème intéressant à résoudre consiste à retrouver le nombre et à interpréter les conditions mathématiques auxquelles il satisfait.
Ce nombre mystérieux, sur lequel les traducteurs et les commentateurs sont loin d'être d'accord, paraît lié à Tégalité
analogue à celle dite de Pythagore
Il s'agirait d'une période réglant les mariages et les naissances (d'où le nom de nombre nuptial ou de la grande année) au bout de laquelle le soleil, la lune et les planètes reprennent les mômes positions relatives dans le ciel.
Voici quelques-unes des valeurs proposées :
5o, somme des carrés des nombres 3, 4» 5 (Philon le Juif, d'après Jean Bodin).
1738. cube de 13 (Maffei, surnommé Volterranus, et Faber Stapulensis d'après Barocius).
8ia8 = a' (a'""*)» ^® 4* des nombres parfaits (Jérôme Cardan). ai 6 (Schneider, philologue allemand).
5o4o = I a» X 35 = (3 -h 4 -i- 5)2 X (a' 4- 3^) (Fries, philologue allemand).
864 = (3 -h 4 -H 5) 7a = le périmètre d'un triangle rectangle dont les côtés sont 3 X 7a, 4 X 7a et 5 X 7a (Vincent; Martin Théodore-Henri*
7500 (E. Zeller; J. Hunziker et Rothlauf).
3700 (Paul Tannery).
a 1600 = 6' X lo* (J. Dupuis).
760000= 19 X 4o X 1000 (J. Dupuis).
Nous renvoyons le lecteur aux mémoires de J. Dupuis sur le nombre géométrique de Platon. Paris, 1881 et i88a»
Simplilioations et abréviationB dans les calculs. — Simplifier, abréger les calculs, c'est à la fois économiser du temps et diminuer les chances d'erreur, deux avantages précieux que ne perdent jamais de vue les personnes qui ont l'habitude de manier les chiffres.
On ne saurait trop simplifier la pratique du calcul, on doit de bonne heure s'en faire une loi rigoureuse, on s'y rompt facilement et une fois le pli pris, on ne calcule plus sans abréviations.
Additions et soustractions simultanées. — Soit à retrancher de a5433« la somme des trois nombres 5836, 834? et 3931.
5836 On dispose l'opération comme il est indiqué ci-contre, 834? ensuite, faisant Taddition on écrit successivement dans 3921 l'intervalle laissé en blanc les chiffres 8, 3, 3 et 7 nécessaires * * • pour compléter le nombre 35433 qui se trouve sous le trait
35433 horizontal. L'ensemble de ces chiffres donne le nombre
73a8 qui est la différence cherchée»
46 RÉGRéATIOmS MATHÉMATIQUES
Supposoils, en second Heu, que de la somme des nombres écrits en A» on veuille soustraire la somme des nombres écrits en B.
On ajoutera d'abord les chiifres de la première 56243 colonne de droite du tableau (B) en disant : 8 et 4* i^ 84564 . et 3, i4 que Ton retranchera de la dizaine supérieure ^^^^ 20. Le reste 6 sera ajouté à la somme des chiffres dé la ^^^^ î'* colonne de dfoite du tableau (A) en disant : 6 et 8, 2942 t^, et 2f 16, et 4, 30, et 3, aSi On écrira 3 àU bas de 3654 (6) la colonne, et comme il y a ici 2 dizaines, de même ^i^^ que dans le courant de la première opération sur les |62oo3 nombres (B), on ne retiendra rien.
Passons à la seconde colonne, on dira : o et 5, 5, et 4* ^» 9 de 10 (dizaine immédiatement supérieure) reste i ; i el 4) ^> 6t 5, 10, et 6, 16, et 4. 20; 20 de 20 reste o, que j'écris sous la 2^ colonne; et comme cette fois 11 y a !i dizaines tandis qu'on tl'en avait qu'une en (B), on retient i qu'on ôtera de la colonne suivante en (B). On auraiti au contraire^ ajouté dette différence, si lé iioitibre des dizaines trotivé en (A) eût été itlfériéur à celui trouvé eh (B).
On continuera donc en disant : 2 (et non 3) et 6, 8, et g, 17, de 10 reste 3; 8 et 8, 11 ^ et 3, 1 3» et 5, 18, et 3, 20, je pose o et ne retiens rien, etc. Quand la différence ne pourra être ôtée dans le tableau (B), bn Tajoiitera eii (A) et on continuera Topération.
La démotistration de ce procédé ingénieui est, pour ainsi dird, résumée dans le tableau suivant :
170907 — 8904= i62oo3
La somme des nombres (A) et (B) peut se faire comme nous l'indiquons en (A') et (B').
Gela posé, retrancher la somma (B') de la somole (A^) revient
HISTOIRB DES NOMBRES 4?
évidemment à retrancher i4 unités de 17 unités, puis 9 dizaines de 19 dizaines, 18 centaines de 17 centaines, etc.
Or i4 = 3o — 6, par conséquent ôter 1 4 de 17, revient à ajouter 6 à 17, ce qui donne 28, puis à retrancher ao du résultat et il reste 3 unités. De même, ôter 9 dizaines de 19 dizaines, revient à ajouter I à 19^06 qui donne ao, et à enlever lo de ce nombre; il reste 10 dizaines, j'écris donc o dizaine et je retiens i centaine.
En passant à la colonne suivante, nous pouvons opérer de deux manières, ou ajouter la centaine de retenue à la 3' colonne de (A'), ou la retrancher de la même colonne de (B'), c'est cette seconde manière d*opérèr que nous avons adoptée. Nous disons donc i8 centaines moins i centaine = 17 = ao — 3.
17 -1- 3 = 20, et ao — 20 = o; nous écrivons o sous la colonne des centaines.
A la colonne des mille, 19 — 7=19 — (10 — 3) = 19 H- 3 — 10 = aa — 10 = la. J'écris 2 et je retiens i.
Comme je ne peux retrancher cette dizaine de mille des unités correspondantes de (B'), je l'ajoute aux i5 de (A'), ce qui me donne 16 que j'écris.
Quelques procédés d'abréviation dans la multiplication. — Pour multiplier un nombre de deux chiffres par un îiombre d'un seul, il est avantageux de commencer par le chiffre des dizaines.
Les décompositions suivantes expliquent le mode d'opérer.
57 X 6 = (5o -h 7) X 6 = 3oo -h 4a = 34a 29 X 5 = (ao + 9) X 5 = 100 -f- 45 = 145.
— Multiplication par 5, par aS (5*), par ia5 (5*) etc. Au lieu de multiplier par 5, on écrit un zéro à la droite du multiplicande et on divise par a le nombre ainsi formé
il a
48 RÉGRÉATIOXS MATHÉMATIQUES
Au lieu de multiplier par a 5 (5'), on écrit deux zéros à la droite du multiplicande et on divise par ^ le nombre ainsi formé
Au lieu de multiplier par ia5 (5^), on écrit trois zéros à la droite du multiplicande et on divise par 8 le nombre ainsi formé
c looo „5 = -g-.
— Multiplication par un nombre dont le chiffre des unités est 5. Il est quelquefois avantageux de multiplier par le double du multiplicateur en prenant la moitié du multiplicande ou la moitié du produit obtenu.
76 X i5= 38 X 3o= ii4o
89 X 35 = ^89 X 70 = i633o = 3ii5.
— Multiplication de deux nombres contenant chacun deux chiffres et commençant tous les deux par Tunité.
On ajoute au multiplicande les unités du multiplicateur, on place un zéro à la droite du résultat et on ajoute au nombre ainsi formé le produit des chiffres des unités.
— Multiplication en réunissant les produits partiels exprimant des unités de môme ordre.
La méthode se comprend facilement avec quelques exemples : Soit à multiplier 47 par 23; le produit de 7 par 3 donne 21 ce
tlISTOIRE DES NOMBRES 49
# qui fait i unité, que l'on pose, et il reste a dizaines de rcle- 23 nue; les dizaines du produit proviennent encore du produit 12 de 4 dizaines par 3 unités et du produit i4 de a di-
'^ ' zaines par 7 unités; en tout 3 -f- 12 -h i4 == a8 dizaines; on pose 8 et Ton retient 2 centaines que Ton ajoute au produit 8 centaines de 4 dizaines par 2 dizaines ; le produit cherché est donc 1081.
On fait de même la multiplication de deux nombres de trois ehiOres. — Soit, par exemple, 632 h multiplier par 218. g^^
Les opérations successives peuvent s'énoncer ainsi : 218
unités : 2 X 8 = 16, je pose 6 et je retiens i ;
dizaines : i -|- 3 X 8 -h 2 X i = 27, je pose 7 et je ' ^^^
retiens 2 ; centaines : 2 + 6 X 8 4- a X 2 4- 3 X i = 67, je pose 7 et je
reliens 5 ; mille :5-H3X2H-t)X 1 = 17, je pose 7 et je retiens i ; dizaines de mille :i-4-6xa=i3 que je pose.
Le cas de deux nombres de quatre chiffres se traite de la même manière. Soit à multiplier 3a35 par aG53.
unités : 5 X 3 = i5, je pose 5 et retiens i.
dizaines : i-t-3x3-f-5x5 = 35,jc pose 5 et je ^6^3
retiens 3.
centaines : 3 -4- a X 3 + 6 x 5 -h 3 X 5 = 54, je pose 8082455
4 et je retiens 5.
mille :5 + 3x3-hax54-3x6-f-ax5 = 52,je pose a
et retiens 5.
dizaines de mille : 5 + 3 X 5 4- a X 5 4- n X 6 =£= 38, je pose 8
et retiens 3.
centaines de mille : 3 4- a X a 4- 3 x 6 == a5, je pose 5 et
retiens a.
millions : a 4- 3 x a = 8 que j'écris.
Le produit est donc 8 58a 455.
Et ainsi de suite. Lorsque les deux nombres n ont pas la môme quantité de chiffres, on complète le plus petit par des zéros. Récréations mathématiques. 4
Bo
HÉGRéATIONS MATHÉMATIQUES
Avec un peu d'exercice, on arrive à opérer très rapideii^ent en employant cette méthode.
Nous avons déjà fait connaître des méthodes de multiplications abrégées par les facteurs
II, m, I m, .... etc.
et par les facteurs
9' 99» 999» *••» ®^* 8, 98, 998, ..., etc.
Quand le multiplicateur contient le chiffre i , on peut utiliser le multiplicande comme produit partiel.
Exemples :
Il résulte de là que les produits par 12, i3, i4, ..., 19 peuvent s'écrire sans passer par les produits partiels.
Quand le multiplicateur est décomposable en parties multiples ou sous-multiples les unes des autres, le produit peut être formé de^ produits partiels semblablement niultiples, ou sous-multiples, les uns des autres.
multiplication ordinaire
