C II

a = 3, c= II.

Par suite

Les 3 mobiles mettent respectivement i minute -, 3 minutes ~ et 5 minutes ^ pour faire le tour de la circonférence.

54. A midif un certain jour, une pendule et une montre sont mises à Vheure. On constate que la pendule, à un instant quelconque, indique l'heure avec une erreur égale à celle de la montre lorsque cette dernière marquera la même heure que la pendule, et que la pendule indique minuit une seconde axmnt la montre.

Trouver en fractions de seconde, V avance et le retard journalier de la pendule et de la montre.

Soient x Tavance de la pendule, en secondes et par jour y le retard de la montre »

Alors 864oo secondes (temps réel) = (864oo + x) secondes,

temps de la pendule, tt = (86 4oo — y) secondes,

temps de la montre.

J)ésignons par t une heure quelconque indiquée par la pendule. L'heure exacte est ^a, X t, et l'heure résultant de l'indication de la pendule est égale k t — ô-tt^ x t.

On voit de même que l'erreur de la montre est égale à

QUELQUES QUESTIONS DIVERSES 32g

D'après Pénoncé

86A00 v. 86/ioo ^.__s ^ "" 86400 4- X ^ ^ — 86400 — 7 ^

d'où

. X 86400 864oo

^'^ 8é4oo — y "^ 86400 -h a; ~ ^'

Puisqu'il est minuit à la pendule i seconde avant la montre, on a également

(^) ( moo-y - 86400 + x ) X 43:.oo = i.

Les équations (i) et (3) donnent :

^ 86400 — I ^ 864oo H- I*

La pendule gagne i seconde ggy-r par jour et la montre perd ggT^ de seconde.

55. Deux mobiles A. eiB partent en même temps (Tun même point et marchent dans la même direction. Chaque fois que la distance qui les

sépare est un nombre pair de kilomètres, A augmente sa vitesse de 7 de kilomètre par heure, et chaque fois que cette distance est un nombre impair de kilomètres, 6 augmente sa vitesse de - kilomètre par heure. Quand A a 4 kilomètres d^ avance sur B, le chemin quHl a parcouru surpasse de i kilomètre l celui qu^il aurait fait si sa vitesse s'était maintenue uniforme; de son côté B a parcouru, à ce moment^ une distance de 3o kilomètres •

d3o RSCaBATIOn^ iiatb£màtiqub8

Déterminer les vitesses de X et B au départ.

Soient x eiy les distances en kilomètres parcourues par A et B dans une heure.

Représentons par t^ le nombre d'heures qui s*écoulent depuis le

moment du départ jusqu'à ce que Â soit de I kilomètre en avance sur B.

par <, le nomhre d'heures qui s'écoulent depuis le moment où A est à i kilomètre en avance jusqu'à c0lai où il est an avance de a kilomètres, par t^ le nombre d'heures entre le moment où A est de 2 kilomètres en avance et celui où il est en avance de 3 kilomètres, et enfin par t^ le nombre d'heures entre le moment où A

est en avance de 3 kilomètres et celui où il est en avance de 4 kilomètres.

La vitesse de A pendant les temps t^ et t^ est de x kilomètres par

heure ; et pendant les temps t^ et t^ elle est de a; + j •

La vitesse de B pendant le temps t est de y kilomètres par heure;

pendant les temps t^ei t^, elle est dey -\ — et pendant le temps t^

elle est de j 4- I .

Diaprés Ténoncé

(«, + <, + <, + <t)j' + (t, + «») ^ + <4 = 3o -3. mais

QVILQUB8 QVSSTIONS DÎVBMSS a3l

Oa déduit de là Téquation

d'où en posant x — J' = ?

2' — -g- ^ 4- g = o 2=1 ou g

^ttr

%»\, <j=i, ig=a, <i==3i ^=4. y = 3 et x = 4.

56. Trotô mobiles se déplacent uniformément sur trois ronteê qui se coupent en et partant au même instant du point 0. Les routes par^ courues par k etB sont à angle droit et celle suivie par G est comprise entre les deux autres, La droite qui joint les positions de A. et C à un moment quelconque de leurs mouvements est parallèle à la route suivie par B ; de mêm^ la droite qui joint à un instant quelconque les positions deB et C est parallèle à la route suivie par A.

Quand le mobik G a parcouru 8 kilomètres déplus que A» il retourne

sur ses pas, et quand il a parcouru 5 kilomètres l de plus que B, il se

trouve en ligne droite avec A et B. Trouver les rapports des vitesses de A, B et G.

Soient x, y, z les vitesses respectives de A, B, G en kilomètres et . par heure.

D'après Ténoncé A, B et G se déplacent respectivement sur les côté» adjacent» d'un rectangle et sur la diagonale issue de 0.

Soit m la position de G quand ce mobile a parcouru 8 kilomètres de plus que A, les positions des deux mobiles A et B sont alors les pieds des perpendiculaires abaissées de m sur les directions OD, OE.

Soit N la position occupée par le mobile G lorsqu'en revenant sur ses pas il se trouve en ligne droite avec les deux autres mobiles qui occupent alors les positions A' et B'. Si le mobile G au lieu de revenir sur ses pas avait continué sa route, il se trouverait en m', point où les perpendiculaires élevées en A' et B' sur OD et OE coupent la diagonale.

Il en résulte que mN = mm!, c'està-dire que si G continuant sa route arrivait en m', il aurait parcouru 5 kilomètres ^ de plus que B.

Gela posé on a :

temps mis par G pour aller de en m r=

temps mis par G pour parcourir Om et revenir en N =

Nm == mm' = i ON = l Om, Om

mN = ^ Om mais z' = x' -4- y'

donc

4^' — ^yx H- a;2 ==

x^-^y^, Sy = tix, ^ = "3 ^ = "3"

Les vitesses sont donc entre elles comme les nombres 3, 4 et 5.

QUELQUES QUESTIONS DIVERSES a33

57. Les quantités de liquide contenues dans trois vases A, B» G sont entre elles comme les nombres 3, 2 et i et les prix par litre de ces mêmes liquides sont respectivement entre eux comme 1, a e^ 5. On prend une certaine quantité du contenu de A et on la verse dans B, la même quantité du mélange contenu alors dans B est enlevée de ce vase et versée dans G ; la même quantité est encore prise dans le mélange contenu dans G puis versée dans B ; enfin on puise toujours la même quantité dans B et on la verse dans A.

La valeur du liquide contenu alors dans A vaut les — de ce qu'elle était au début.

On sait également que, si la même opération était reprise mais cette fois-ci en enlevant i litre de plus à chaque fois ^ la valeur finale du liquide contenu dans A serait à sa valeur initiale comme 3 à a.

Trouver les quantités de liquide contenues dans chaque vase.

Soient 3 a;, a x et ce les nombres de litres contenus dans chague vase au début et j^, a y et 3 y les prix respectifs d'un litre de chaque liquide.

Soit z le nombre de litres enlevés la première fois.

Après le premier prélèvement fait dans A, les quantités de liquide contenues dans les 3 vases deviennent respectivement

Sx — Zf ^x-^y et x -^ z

et les valeurs de ces quantités de liquide sont

(Sx — zyy, {^x-hz)y et 3 xy + j— -^ (4 a; -h z) y

En même temps, la quantité de liquide contenue dans B redevient a x et la valeur de ces a x litres est

a ary (4 a; -+- z) y /o a . \

— «^^-^ L ou — î^v — (8 a;' 4- 2xz\

2x -+- z aa; + z ^ ^

234 HÉOBÉATtONfl MATHéMATIQtKS

Après le transvasement de ;? litres de C en B, la quantité de liquide contenue dans B devient encore a aj 4- « et la valeur de ce liquide est

/Q Q \ yz {fi X -^ z) (x -\^ z)

(8x* -hSaa 4- «•).

Après le transvasemobt de z litres de B dans A» la quantité de liquide contenue dans ce vase devient 3 a; et la valeur de ce liquide est

(3x — ^) y H 2^— (8ic« + 8xz -4- 2»)

D'après Ténoncé, on a l'équation

3 (axH-2)' 27

(7^4- Sx) (2 — x)

d'où x =

Remplaçons maintenant, pour tenir compte de la seconde oondi-

tion, z par z 4- i = u et — par - , on arrive à Téquation

(5 u 4- 6) (a — 2) =: o, d'où « = 24-1 = 2 et z = x= i.

Les trois vases contiennent donc respectivement 3 litres, 2 litres et I litre.

58. Deux bicyclistes A e^ B n'ayant à leur disposition qu'une bicy"

fil dette ont à parcourir ensemble et en 2 heures ^ un^ certaine distance

QUILQUBS QU18TI0NI DIVKMBS aS5

mesurée par un nombre entier pair de kilomètres. Ils conviennent alors de monter à tour de rôle et de kilomètre en kilomètre sur la machine qui est laissée à chaque borne kilométrique jusqu'à l'arrivée de celui qui marche à pied,

B monte le premier et sa vitesse à bicyclette est le double de sa vitesse de marche à pied; la vitesse de A à bicyclette est d'ailleurs la même qu3 celle de B. Les deux hommes se retrouvent ensemble à la 7* borne kilométrique; ils estiment alors quHl est nécessaire d'augmenter leurs vitesses ejt ils conviennent de faire en marchant - kilomètre de plus par

heure. C'est encore B qui monte le premier, mais cette fois-ci sa vitesse à bicyclette est le double de la vitesse de A marchant à pied; A à bicyclette a encore la même vitesse que B.

Les deux hommes arrivent ensemble à destination. On demande la distance parcourue et les vitesses initiales.

Soit a œ la distance totale en kilomètres.

En premier li^u A marche pendant 4 kilomètres et pédale pendant 3 kilomètres.

B marche pendant 3 kilomètres et pédale pendant 4 kilomètres.

Donc A parcourt 4 kilomètres à pied pendant que B parcourt 3 kilomètres à pied et i kilomètre à bicyclette.

Mais la vitesse à bicyclette est double de la vitesse h. pied ; donc A

parcourt 4 kilomètres à pied pendant que B parcourt 3 kilomètres ^

ou 2 de kilomètre. Les vitesses de marche de A et B peuvent donc être représentées par 8y et 7 y.

En second lieu, il reste à parcourir (a œ — 7) kilomètres*

Cette fois-ci A marche pendant (x — 3) kilomèti^es et pédale pendant {x — 4) kilomètres.

B marche pendant (a? — 4) kilomètres et pédale pendant (x — 3) kilomètres.

Donc, pendant que A parcourt (x — 3) kilomètres à pied, B parcourt (x — - 4) kilomètres à pied et i kilomètre en pédalant.

Mais la vitesse à bicyclette est le double de la vitesse de marche

de A. donc pf»wlant qiK A |Mmnirt (r — 3 } kilomètres oa

1 z — -^ I kQomrtKs, B |miuiuiI (i — &) kilamttres.

I«i TÎteas mit akn Rifiœlnmiait 87 H — et 77 + -- Les dûUDces puronroes soDt proportioniidks aox vitesses

Tcmpi total de la coane i 5 X — 3 y — 4 5^ 3j — 10

- 28/ (167 + I) On a donc

d'où y ^ -. Alors 3; ^ 8.

La distance parcourue est donc de 16 kilomètres. Les vitesses initiales sont 4 kilomètres et 3 kilomètres ~-

59. Déterminer an nombre de 10 chiffres tel que son carré toit 'erminépar ce* mêmes 10 chiffres dans le même ordre.

Si N représente le nombre cherché, on doit avoir

N' — N=p.io'<' ou N(N- i)=p.io".

Si p est un nombre premier, on ne peut faire que l'bypolhèse

Jf^p avec N — 1 ^ 10'*

d'où

N = loooooooooi,

ce qui donne une première solution.

Si p n'est pas premier, ce nombre peut toujours être décomposé en deux facteurs m et n et on a, dans ce cas,

N (N — i) = m.n.5*^2«o d'où

N = m.5*® avec N — i = n.a*® ;

N = m.2^^ avec N — i = n.5*^

La première hypothèse nous donne

m.5*<^ — n.a*<> = i d'où

n.a*» = m.5*® — I et m = 84i.

Alors

Avec la seconde hypothèse

m.2*^ — n.5^^ = I et m =1745224 d'où

Remarque. — Si l'on remarque que toutes les puissances des nombres terminés par N sont de la forme

(Io*^x + ^y

et que Ton a

(io*\a; 4- N)y = N? (mod. lo^^).

a38 R^CHiATI05S MATHiMATIQUBB

On en conclut ce théorème général :

Toutes les puissances des nombres terminés par Vun ou Vautre des groupes de dix chiffres 8 ai a 890626) i 787 109876, sont terminées par ces mêmes dix chiffres disposés dans le même ordre,

60. Déterminer deux nombres décimaux ayant la même partie déci' maie et tels que leur produit suit également terminé par cette même partie décimale.

Représentons les deux nombres par

et leur produit par c -h p.

a, 6, c étant les parties entières et p < i . Par hypothèse

(a-hp)(6 -+.p) = o -Hp,

d'où l'équation

qui donne

(a 4. fe — i) zh sfjcT^b — i)^ -i- 4 (6 — ab)

P = et

c'^ ah

p étant positif, le radical doit être pris avec le signe -f-. D'autre part p étant plus petit que i , on a :

(a 4 t — i) 4- ^(a -i- 6 — i)^ -h 4 (c — ab) < 2

ou enfin

QimtQUES QVH8TI01I8 DIYBRSBS 2 39

On peut preiidre a, ht e quelconques, pourvu que

c';> ab et c <C ab -+- a 4- 1.

Pour