rf' + 3(i»-f ad+i ^^Id^ + d^-Hd^-i-^^-f-i)' ( d' -^ l y

I232I ==d♦-^ad»H-3d«•^-i(^-+.IB«(da^-d^-I)8=^^^y. Donc

i^S^=(î^)Mfe-^)'= (^)*= (^- - ■)■

= un nombre entier f» iqq yoQ i,

44. O/i donne le dividende^ le diviseur et fe reste d'une dîvi^ionj comment peut-on trouver tous les chiffres du quotient en allant de droite à gauçh$ P

En commençant par vetrancher le rute du dividende, on voit que la question se ramène à la suivante : Trouver de droite à gauche les chiffres du quotient de deux nombres entiers divisibles l'un par raqtre,

Quatre cas peuvent se présenter ; le diviseur est terminé :

I® Par un chiffre pair significatif;

a° Par un 5 ;

3® Par un zéro ;

4"* Par un chiffre impair autre que 5.

On ramène le premier et le deuxième cas au quatrième, en divisant les nombres entiers donnés par la plus haute puissance, soit de a, soit de 5, qui divise exactement Iç diviseur.

Le troisième cas se ramène à un des trois autres, en divisant les

QUB).QU]II QUBITI0N8 DIVERSES ai5

deux nombrei par la plus haute puissance de lo qui divise le diviseur.

Tl résulte de là qu'on peut toujours amener le diviseur a être terminé par un chiffre impair autre que 5.

Cela posé : les produits des dix premiers nombres par un m^me chiffre impair autre que 5 sont teririinés par des chiffres différents.

Par suite, le^ chiffres des unités d'un dividende et d'un diviseur, divisibles l'un' par l'autre, suffisent pour déterminer le chiffre des unités du quotient, lorsque dans le diviseur ce chiffre est impair et autre que 5.

Enfin 91 d^nx nombres sont divisibles l'un par l'autre, le chiffre des dizaines du quotient est la chiffre des unités du quotient d'une division ayant, pour diviseur, le diviseur donné et dont le dividende s'obtient en suppriipant mx ?ér0 à la droite de 1^ différence entre le dividende donné et le produit du diviseur par le chiffre des unités

du quoli«{»t çorr9spQnd«nt,

Dividende DivilAVr

GhiCTres du quotlenl

173 86i 836 iioooo 5428433600 >i

Exemple { 69 627 363 46 » 2

Le (juotient est donc 32028

45 1 D^\i^ AoWojfan êmn^nt une certaine figure en mén^e temps et on a entmdu 19 co(ip«. Elle$ sont en avance l'une sur f autre de 9 secondes et les coups de lune se suceèdent de 3 secondes en 3 secondes tandis que ceux de Vautre sont espacés de 4 secondes. On demande Pheure sonnée, sachant que Voreille ne perçoit quun son quand les horlogêê sorineni dans la même seconde, e^esi^-dire que Voreille ne peut

ai6 RiGRÉA.TIONS MATHÉMATIQUES

distinguer s'il y a eu an seul coup donné par une horloge ou deux coups donnés par les deux horloges y et quil en est ainsi pour le dernier coup de Vhorloge qui à Vavance.

Soit X rheure cherchée.

L'horloge qui a Tavance, c*est-à-dire qui a sonné la première et dont les coups sont espacés de 3 secondes, donne son troisième coup quand lautre horloge, qui sonne toutes les 4 secondes et qui est en retard de a secondes sur la première, fait entendre son deuxième coup.

Il y a ainsi, pour la première fois, superposition de a coups.

Après cette rencontre chaque quatrième coup de l'horloge qui a Tavance coïncidera avec un coup de l'autre horloge, puisque

4x3 secondes = 3x4 secondes.

(x — 3) représente donc le nombre des coups qui restent à sonner

à rhorloge qui a l'avance après que les deux auront sonné ensemble

pour la première fois.

— ^ h I représente le nombre de fois que les deux horloges

sonnent ensemble.

et a rr = le nombre total de coups donnés par les deux horloges, donc

— 5 h I ] = 19, d ou X = II.

46. Un impôt d* importation de p francs par quintal est mis sur les blés étrangers quand le prix du blé sur le marché français atteint qfr. le quintaL m et n sont les quantités, en quintaux, de blé français et étranger consommées dans une année. Du fait de V impôt, le prix du blé

s*est élevé à ç H- S fe quintal, mais la consommation est descendue à un

chiffre tel que la dépense annuelle est restée la même. En supposant que

la quantité m da blé récolté en France soit demeurée constante, trouver la valeur de p produisant le revenu maximum.

Par année libre d'impôt, la dépense totale s'élève k q (m -h n). Le nombre de quintaux frappés d'imposition est de

q{m-hn) ^^ qnd'-p.m 5^P q-d-hp

Le revenu produit par Tirnpôt est donc de

P^-rf ^ p] ^"°''-

Soit X la valeur de cette expression :

l'équation

qnd — pm qd-^p ^

peut s'écrire

p'm — p (qnd — x) -^ qdx = o,

d'où

qnd — g? db ^{qnd — a?)' — 4 mqdx

^ am

Cette valeur de p n'est réelle que si Ton a

{qnd — x)* >- 4 mqdx.

X est maximum quand on a

4 mqdx = [qnd — x)*.

et dans ce cas

= * ou 2pm:={qnd — x)

^ am

ai8 RÉCaéATIONS MAT9E1U.TIQUB9

élevant au carré

4p'm' = (qnd — x)* = 4 mqdx,

ou en remplaçant x par qnd — apm; D'où Ton tire

p = gd(i±:yi+^).

47. Une personne parcourt d* une façon continue le périmètre d'un champ déforme carrée, en marchant avec une vitesse uniforme et toujours dans le même sens. Une ai^trû personnel su déplaça^ qvhc la n^nie vitesse uniforme ^ suivant la diagonale du champ, en revenant §iip §§ip€^ chaque fois qu'elle parvient à Vune des extrémités.

Montrer que, suivant les positions initiales des deux personnes, deux cas seulement peuvent se présenter :

I® ou elles ne se rencontreront jamais;

a** ou elles se rencontreront une fois, mais une foU seulement.

Désignons par p la personne qui se déplace suivant le périmètre du champ et par d celle qui parcourt la diagonale*

p marche dans la direction ABCD, A, B, C et D étant les sommets du carré dans leur ordre successif, AG est la diagonale parcourue.

Les deux personnes se rencontreront au sommet A, si d se déplace vers A et si, au même moment, p se trouve soit à la même dislance de A que d, soit à cette même distance augmentée de a.AG.

Ou plus généralement, si, au même moment, la distance de c( à A augmentée de 2 m.AC = la distance de p au sommet A augmentée de 4 ^ fois le côté du carré.

Les deux personnes se rencontreront encore en A, si (f se déplace vers G, et si, au même moment, la distance de p au sommet A est égale à la diagonale + la distance d^ dk e.

Ou, plus généralement, lorsque, au même moment, la distance

QUILQUBS QUB8TI0MS DIVERSES SIQ

de d au sommet c augmentée de (2 m -H i) fois la âiag;onale, égale la distance dep au sommet A, augmentée de 4 ^ fois le côté du c&Tfé ; m et n étant des nombres entiers.

Les deux personnes se rencontreront de la même manière au sommet C. Mais, lorsqu'elles se sont rencontrées une première fois, une seconde rencontre est impossible» puisqu'elles décrivent des espaces égau]^ çp des temps ^gaux et que le qôté et )a diagonale du carré sont des longueurs incommensurables.

De même les deux personnes ne se renèontreront jamaii si leurs positions au départ sont deux quelconques de celles où elles se trouveraient simultanément après Thypothèse d'une première rencontre en A ou en C.

48. — Trois cloches commencent à sonner en même temps et font entendre leurs coups à des intervalles respectivement égaux, pour chacune d'^elles à a5, 39 et 33 secondes* La première cloche cesse de sonner au bout d'un temps moindre quune demi-heure ; la seconde et la troisième continuent à tonner respêctiv^mÉni pendant 18 ieeondiBê pt ui teoondeSf puis cessent leur sonnerie.

On demande pendant combien de temps chaque cloche a sonné.

Représentons par 26 fie nombre des secondes pendant lesquelles la première cloche a sonné,

Le nombre des coups donnés par la première cloche sera

Le nombre des coups donnés par la deuxième cloche sera

Le nombre des coups donnés par la troisième cloche sera

aao RÉGRiATions hath£b(Atiques Les relations

IH -^ — = i-|-aî et IH 50 = i-h^

peuvent s'écrire

aga; — 18 = a5/, 33/ — ai = a5f,

d*où Péquation indéterminée

33y — aga? = 3<

On en déduit

et

y = ag m — ai.

D'ailleurs puisque a5 1 est moindre que 1 800 secondes, on a

a; < 6a et par suite m < 3.

On ne peut donc faire que les hypothèses

m = I, ou m = a.

Pour

On a aussi

agar — 18 = a5/,

pour X = g, t n'est pas entier pour

Donc les trois valeurs

/ = 48, X = 4a et j = 87

satisfont à la question.

La première cloche cesse donc de sonner au bout de 48 X a5 =^ I 200 secondes.

Les cloches ont donné respectivement 49 coups, 43 coups et 38 coups.

49. Deux lignes égales ayant une longueur commune de l mètres sont divisées respectivement en m et en n parties égales {m et n étant deux nombres premiers entre eux). On les place à côté Vune de l'autre avec leurs extrémités en coïncidence. Montrer que la plus petite distance entre

deux divisions ne peut être moindre que et quil y a deux groupes

de divisions qui sont à cette distance.

Cas où m = !i5o et ai = 243.

Soient d^ et d, les distances à * o

l'extrémité A de la x"* division de

la droite (i) et de la y*^* division de la ^ ^ B

droite (2). ^"8- ^'

d,=z-l, d.=^-l et d,-^d. = l(^—^Y d où nx — my = -f— {d^ — d^).

Or nx — my est un nombre entier dont la plus petite valeur numérique est i .

La plus petite valeur de -.- {d^ — d^) est donc aussi i , ce qui revient à dire que la plus petite valeur de d^ — d^ est

* mn

11 y a deux groupes de divisions pour lesquelles d^ — d ils sont donnés paf lés équations.

nx — my = ij et nx — Biy*»— i.

Application. Pour m = aSo et n = 243, nous aYoas à résoudre les équations indéterminées

243 aï — 2507 = ±: I.

En appliquant la méthode des fractions continues, on trouve avec la première

X = 107, y 5= io4,

et avec la seconde

X = 143, y = iSg.

5o. Deux cloches sont mises en mouvement en même temps pendant I heure, Vune sonne ^k^fois et Vautre 261 fois, le premier et le dernier coup de chacune tombant au commencement et à la fin de theure. Trouver ceux de ces coups qui s"* approchent le plus de la coïncidence et déterminer la position que doit occuper une personne sur la ligne droite joignant les deux cloches pour que les coups s' approchant le plus de la coïncidence, lui paraissent absolument en coïncidence. On prenàfa pour la vitesse du son â4o mètres par seconde,

La première partie de la question se trouve résolue par la précédente, puisque les coups de Id première cloche divisent l'heure en 243 parties égales et ceux de la seconde en 25o parties égales. Les divisions les plus voisines de la coïncidence sont donc : la ici*"® pour là première cloche avec la 107"* pour la seconde, oulaiSg*"* « avec la 143°*® «

Les coups qui s'approchent le plus de k coïncidence sont dohc : le io5"° pour la première cloche avec le 108°'® pour la seconde, ou le 140""" « avec le 1 44"*^ «

QtSLQUEB QUESTIONS DIVERSES a2l3

Soient maintenant Bj et B, les positions des deux cloches, M le milieu de là droite qui les joint et P la position que doit occuper une personne pour entendre simultanément le io5°^** coup de B| et le loS"'* Coup de B^.

Fig. 5.

La cloche B^ donne son io5"* coup au bout de -y5 X 60 X 60 secondes après le commencement de l'heure.

La cloche Bj donne son 108"* coup au bout de i^ X 60 X 60 secondes.

En P le 105"® coup est entendu l^j- -\- -7^ x 60 X 60) se-

sècôndes après le commencement de l'heure.

Au même pôitil. le 108""^ coup de B^ est entendu au bout de

f ôT-^ H — c— X 60 X 60 ] secondes.

Ces deux témpï étant égàUx, on a :

5i;(B.P-PB.)6ox6«(I»-J-l»«)

ou

«mn 3 600 X 340 ,♦ , ^gn X « a 2 MP i^ — - — jl- d ou MP =:t tO* -•

De même, Q étant la position que doit occuper la personne pour entendre en même temps le i4o"^ coup de Bj et le 144"® coup de

Bj, onaMQ= lo™-.

Si la distance des deux cloches est inférieure à 20" ^ , les points P et Q n'existent plus.

324 RÉCRÉATIONS MA.THÉMAT1QDES

Si la dislance BiB, = 20" -, le son du io5"* coup de B^ arrive en

B, juste au moment où cette cloche donne son loS'^^coup; dès lors les deux coups seront entendus simultanément par une personne située en un point quelconque du prolongement de B^B^ au delà deB,.

Dans les mêmes conditions le i4o"* coup de Bj et le i44"*" coup de B, sont entendus simultanément par une personne située en un point quelconque du prolongement de B^B^ au delà de Bi.

5i. On marque n points sur une droite en observant la règle suivante : la distance des deux premiers points est égale à d ceniimètreSy la distance du 3" point au second est égale à d plus la m* partie de d, la dislance du 4* point au 3" point est égale à d, plus la m* partie de la distance du a* au 3*. D'une façon générale la distance entre les p* et (p -H i)* points surpasse d de la m* partie de la distanee des (p — i)* et p* points. Trouver d'après cela la distance des deux derniers points et la distance entre le premier et le dernier.

Appliquer au cas où m == n = lo et où d = i centimètre. Distance entre les points

1 et 2 = d,

2 et 3 = d H —

3et4 = d-+-~(i+-) = (ifn- --+--2),

m\ mj \ m m^r

(n— i)*etn«= dii -h - M-

La distance entre le premier point et le dernier point est donc

égale à

in}

Pour m=n=io et d=i, cette distance est égale à

lO

ou enfin

/ I lO* \ lO/ lO* — 1\ lO, V

— 1 Q | = - (Q ft ,, 1= — (q — O.IIIIIIIIl)

lO 1, 11111111=: 9,87654331

52. Deux forgerons A e/ B commencent en même temps à battre le fer sur V enclume, A frappe 12 coups en 7 minutes et B frappe 17 coups en 9 minutes. On demande de désigner les coups qui sapprocheroni le plus de la coincidence dans la première demi-heure de travail.

Supposons que le x* coup de A coïncide avec le y coup de B. Les

Récréations mathématiques. i5

396 RÉGUiATIÛlfS MÀTRiMATIQtBS

temps mis depuis l'origine du travail pour arriver à ces deux coups étant égaux, on a :

^. 13 ^^ 17 X IIQ

Mais

IIQ I

Les fractions convergentes sont -, —, il, ^, iig.

Ces fractions en allant de gauche à droite s'approchent de plus en plus de la dernière — ^ , et -p- est celle qui en est la plus proche.

Mais A ne peut donner que 5i coups dans une demi-heure. La

fraction à prendre pour la valeur de - est donc — , c'est-à-dire que

pendant la première demi-heure de travail, le 11* coup de A et le lO'coup de B sont ceux qui s'approchent le plus de la coïncidence.

53. Trois mobiles A, B, G animés d'un mouvement uniforme parient (Tun même point d'une circonférence et les temps mis par chacun d*eux pour faire une révolution complète sont entre eux comme 3 nombres premiers,

A. etB pour se trouver de nouveau aa point de départ mettent 6 minutes de moins que A, et G et aS minutes de moins que B et G. On sait de plus que h eiB avant d^ arriver ensemble au point de départ, se sont rencontrée autant de fois que BetC avant d'arriver également ensemble.

Enfin les mobiles se retrouvent tous les (rois au point d^oà ils sont partis, i'',55"3o' après leur départ.

Calculer y d* après cela, les temps mis par chacun d'eux pour faire le tour de la circonférence.

Représentons par ka, kb et kc les temps en minutes mis par chaque

mobile pour faire le tour de la circonférence; a, b et o tont des nombres premiers par hypothèse.

Soit p le développement de la circonférence.

Dans l'unité de temps A et B parcourent, r- et rr ; la distance qui

les sépare au bout de l'unité de temps est

ka kb k a,b

Ces deux mobiles se rencontreront au bout d'un temps représenté par

Mais les distances parcourues respectivement pendant ce temps sont égales à

T . p et r , p.

Quand les deux mobiles arrivent ensemble au point de départ, ce qui se produit au bout du temps fca,6, À a parcouru la distance pb et B la distance p.a.

Les deux mobiles se sont rencontrés (6 — a) fois.

On fait voir de la même manière que A et G se retrouvent au point de départ au bout du temps k,a.c après s'être rencontrés (c -»« a) fois. Enfin B et G arrivent ensemble au point de départ au bout du temps fc.6,0 après s'être rencontrés (o — 6) fois.

D'après renoncé

kab rsr^kac — 6 ou ka(c — 6) = 6 kinb sac: k*bQ -^ a8 ou kb (o «-^ a) «a a8

kabc = ii5 -

aaS RÉCRÉATIONS MATHÉIIATIQUES

On en déduit - = — et comme a et c sont des nombres premiers.