PROBLÈMES SUR LES RENTES VIAGÈRES
Premier problème. -*' Une personne qui possède un capital A et dont TÀge est x peut se constituer, en s'adressent k une Compagnie d'assurances, une rente viagère calculée d'après un certain taux Ta, variable avec x. Elle préfère ne pas aliéner immédiatement son oapital et se constituer elle-même en le plaçanl à 3 7o» une rente trimestrielle égale à celle qui lui aurait été payée par la Compagnie,
c'est-à-dire égale à -. — X T^*
Au bô\it de y années, elle s'adresse k la Compagnie et on demande de calculer la rente viagère qui lui sera alors assurée avec ce qui lui reste de son capital.
348 RéCRÊATIOIfS MATHéMATIQUBS
Nous croyons inutile de reprendre les développements déjà donnés pour arriver à la formule
années, et / = -^ = 0,0075.
dans laquelle R représente ce qui reste du capital au bout de y
Nous allons appliquer cette formule à plusieurs exemples en supposant
A = 100 000 francs
en donnant à x successivement les valeurs 45, 5o, 55 ^ 60, 65 et 70 efc à y les valeurs 5, 10, i5 et 20.
Nous trouvons en nous servant du Barème de la Compagnie « Le Phénix » :
i4^e : 45 ans. — La compagnie assure une renie viagère de 'Z 800 francs
pour 100 000 francs,
pourj'= 5R = 84732^43.à5oansT6o = 6,42 Rente = 5 439'', 18 pourj'=io R=66983^36,à55ansTg5 = 7,25 Rente =4 856'', 2 2 pour y = 15 R=46382^87.à6oansT6o=8,4o Rente==3896^I6 poury .= 20 R= 22 463'',o6,à 65 ansT^g =10,02 Rente= 22 5o'',8o
Age : boans. — La compagnie assure une rente viagière de &k^o francs
pour 100000 francs,
pouryr?: 5R=82 366'',3i,à55ansT55= 7.26 Rente= 5 971^66 poury=io R=59729'%i6, Tgo= 8,4o Rente=5oi7'%25
poury=i5 R==346o4^45, T63= 10,02 Rente=3467'%37
poury=2oR= 543o^oo, T,o=ii,83 Rente= 64a^37
Age : 55 ans. — La compagnie assure une rente viagère de 'j^ho francs
pour 100 000 francs.
pour y = 5 R = 76 873f'.43 Rente = 6 457'^37
pour y= 10 R =: 5ooi9'',23 Rente =: 5oi I'^93
pour y=i5 R = 1 8 836'% 56 Rente = 2 228'%36
COMPTABILITÉ 349
Age : 60 ans. — La compagnie assure une renie viagère de 8 4oo francs
pour looooo francs,
pour y = 5 R = 70648^^,37 Rente = 7 078^^,97
pour y = 10 R = 43 565*^',72 Rente = 5 o35*^'",53
Age : 65 ans. — La compagnie assure une rente viagère de 10 020 francs,
pour y = 5 R = 61 879^', 1 5 Rente = 7 32o'',3o
pour y= 10 R = 17 6i3^',8r Rente = a 344^%4o
Age : 70 ans. — La compagnie assure une rente viagère de 1 1 83o francs. pour y = 5 R = 52 o8i^*'.43 Rente = 6 932^^,04
Deuxième problème. — Nous allons reprendre cette question en supposant que la personne se constitue, pendant les y années une rente trimestrielle sensiblement égale à celle qui lui serait payée par la compagnie, par exemple une rente égale approximativement
aux — de celle de la compagnie.
Age : 45 ans. — La compagnie assure une renie viagère de 5 800 francs. Supposons que la personne se contente d'une renie de 5 200 francs,
ponry= 5 R = 8797o".=.9 '"".^^^^-1:*'" 5647".69
poury = lo R = 74ooi^%58 » 5365f',ii
poury = i5 R = 57 781^34 » 4853f%63
pourjr==20 R = 38946^65 » 8902^45
Age : 5o ans. — La personne se contente d'une renie de 5 'joo francs, [La compagnie lui en assure 6 1^20 francs).
pour y = 5 R==85 263^74 Rente = 6 i8if%63
pour 7 = 10 R = 68 152^^23 Rente = 5 724'', 79
pour ^=15 R == 48282^^6l Rente = 4887^92
pour y = 20 R = 25 2 io'',33 Rente = 2 982^^,88
35o REGREATlMfS MATRfMATIQUES
Age : 5B ans, — La personne se contente d*une rente de 6 boo francs.
(La compagnie assure 7 25o francs),
pour 7^=3 5 R = 8o933",26 Rente = 6 798^89
pour 7 = 10 R = 58 793",36 Rente = 5 Sgi^'.oS
pour j =15 R == 33 o84%65 Rente ;= 3 9I3^^9l
Age i 60 ans, — La personne se oonknt^ d'une rente de 7 5qo /r(wcs.
{Ia cwipagnic aasHr0 &àOQ francs),
pour 7=5 R .= 75 620^'', 16 Rente = 7 667^^, 1 3
pour 7 =10 R = 47094'',56 Rente ^= 557i'',28
Age : 65 ans, — La personne se contente d^une rente de q 000 francs.
[La compagnie assure 10020 francs),
pour 7 «=» 5 R ;=s 67 4ôo^',5i Renie ==* 7 jy^'j&S
pour y sac 10 H =c «9 54fi^'*49 Rente «= j ^hn^'M
Age : 70 ans, — La personne se contente d'une rente de 10 000 francs,
pour 7 = 5 R = 61 987f%4i Rente == 8 25o'',52
Troisième pr^lémm* -^ Bioua allons admettre mtiiilenaiii ^e
la personne se constitue elle-même pendant y années une rente, en prélevant chaque trimesiFo» une somme a calculée de telle sorte que la rente viagère qui lui serait assurée par la compagnie, au bowt do y année»* avec ce qui reste du capital, représente précisément la somme 4 a dépensée chaque année.
On a alors epi représentant par x Tâge de la personne
[a X 1,0075*^^ - a X 1,0075 ^0Q7»"^-î "[ X Tx+,^ ^
L ' O;0O7& J IQO ^
d*où Yoa tire
COMPTABILITÉ 35 1
Age : a; = 45 a^*- — Rente assurée par la compagnie : bSooJhines.
pour y =z i 4a = 5 53a^',:io
pour / =; 10 l^a==b a35^%30
pour j' = i5 4a = 5q66'S56
pour y = 20 4a = 4 854^%:i4
i4^e : 5o ans. — Rerde assurée par la compagnie : 6 ^^o JHxncs. pour 7 ^= 5 4 a =5? 6 o45^%84
pour y = 10 4a = 5 7i/',48
pour j = i5 4a = 54o3^'",o8
pour y = 20 lia = 5o6o^'^,56
Age : 55 ans. — R^nie aêturée pow la compagnie : 'j 25o francs,
pour y = b 4a = 6 705^"^, 1 2
pour y = la 4a = 6 aig^^GS
Age : 60 ans. — Renie assurée par la compagnie : S l^oo francs.
pour y s= 5 4a = 7 543'^48
pour y == 10 4a = 6 6go^^ga.
Dans tout ce qui ppccède, nous avons supposé qu'une personne qui dépense une aornoie a pendant une période, par exemple pendant un trimestre, prélève cette sonime a sur sa fortune au commencement du trimestre ; mais elle peut procéder autrement. Si à un moment donné il lui reste une somme Âp elle peut vivre pendant une période, en prélevant au commencement de la période sur A^ une somme Xj,, et payer le restant de let dépenses à b fin de la pé^ riode avec les intérêts que rapportera la somme A^ — Xj, pendant cette période. Nous allons reprendre le problème fondamental avec cette nouvelle manière de voir.
Une personne pçssèdc une fortune A ; cette fortune rapporte t
par franc pendant une période déterminée (si la fortune est placée à
o t5 3 ^/q ca sera -^ par trimestre)» die prâève au commencement de
353 RÉGRÉATIOrfS MATHEMATIQUES.
chaque période une somme variable sur son capital de manière à pouvoir dépenser dans chaque période une somme a. On demande :
Pendant combien de périodes elle pourra effectuer ces prélèvements, que lui restera-t-il après avoir effectué p prélèvements.
Quels sont les valeurs des divers prélèvements.
Désignons par a^j, x^, ..., x^ les prélèvements qu*elle effectue du commencement de la i*^ de la a® de la ...p^ période.
La somme qu'elle pourra dépenser pendant la i'® période se composera du i^' prélèvement x^ et de l'intérêt du restant de sa fortune pendant cette période
On a donc
x^ -h (A — x^)t = a d'où
Désignons maintenant par Sp — 3, Sp — i, Sp, la somme des prélèvements effectués au commencement de la p — a* période et de la p — !• période, de la p" période.
On aura :
(i) Xp^i -h (A — Sp^j — ^p-i)^ = a
(2) Xy H- (A — S,,.j — Xp)t=: a.
Mais :
retranchant (i) de (a) il vient :
COMPTABILITÉ 353
Le reste de la fortune R après p prélèvements sera
ou en désignant par g
R = A - xJiH- g + 9» ... -h 9''-»] = A - a:,|^|^J.
La fortune de la personne sera épuisée quand on aura R = o ou quand on aura
on en déduit :
^ logg
le nombre maximum p de prélèvements qu'elle pourra effectuer sera le plus grand nombre entier contenu dans le second membre de cette formule.
Si une personne possède une fortune de looooo francs placée à 3 °/o et qu'elle veuille dépenser i ooo francs par trimestre, le premier prélèvement qu'elle aura à effectuer sera
0,75 1000 — looooo -^-^
et chacun des prélèvements successifs s'obtiendra en multipliant le
précédent par p •
Le second sera
Récréations mathémathiques. a3
354 RÉGRéATlOHS MATHEMATIQUES
Pour terminer, nous allons appliquer les formules à la solution du problème suivant :
Une personne âgée de 5o ans a une fortune de looooo francs, placée à 5 ^/q. Si elle plaçait sa fortune en viager, une compagnie d'assurances lui donnerait 6430 francs de revenu. Par des prélèvements trimestriels elle se constitue cette rente de 64ao francs. Trouver ce qui lui restera lo ans après, et la rente viagère que lui donnera une compagnie d'assurances si à ce moment elle place en viager le restant de sa fortune.
Le premier prélèvement x^ qu'elle devra faire sur sa fortune, sera égal à
a — kt ï6o5 — lOOooo X o.oiaS «c /
le reste R de sa fortune au bout de 10 ans sera
R = looooo — 359,49 I ^ — ^-— I = 81 45o,3a.
Comme à 60 ans la compagnie d'assurances donne 8,4o de revenu, son revenu sera de 6 85 1,82. Elle aura donc gagné un revenu annuel de plus de 4oo francs à attendre 10 ans avant de placer sa fortune en viager.
Résolvons encore le même problème en supposant que le taux de l'intérêt soit de 4 Vo*
Dans ce cas, le premier prélèvement x^ sera égal à
1 6o5 — looooo X 0,01 606 n
Le resle R de sa fortune au bout de 10 ans sera
R = looooo — 611,11 I 2 I
= looooo — 611. II X 48,9847 = looooo — 26934,83 = 70,065,17
cette somme placée à 8,4o Vo rapporte 5845 fr. 87.
COMPTABILITE
Dans ce cas, elle perd 674 francs de revenu annuel pour avoir attendu 10 ans.
Pour ne pas allonger outre mesure cette note je n'examine pas
le cas où la personne aurait sa fortune placée Ji 4 ^ ^/o* ^^^^^ on
voit facilement par ce qui précède que c'est dans le voisinage
de 4 - ^/q qu'il faudrait que l'argent soit placé pour qu'en plaçant
le restant de sa fortune en viager à 60 ans, elle ait le même revenu de 6420 francs qu'elle* s'était constituée elle-même de 5oan8à 60 ans.
On voit donc, et c'est la conclusion de cette trop longue note^ qu'on commet une lourde faute en plaçant prématurément sa fortune en viager, puisqu'il suffit de pouvoir placer son argent à un
taux voisin de 4 - ^/o pour pouvoir différer de 10 ans le placement
en viager. Pendant ces 10 ans on reste en possession de la plus
grande partie de sa fortune. Ce taux de 4 ^ 7o '^'^ ^^^^ d'exagéré et
ne constitue pas uii placement qu'on pourrait appeler dangereux. Il faut bien se rappeler qu'une compagnie d'assurances est une entreprise industrielle, très sûre, je veux bien, mais qui n'offre pas plus de sécurité que certaines autres entreprises industrielles, ou certains fonds d'Ëtat qui donnent ce revenu.
Pour que cette note ait toute sa portée pratique, il serait utile de dresser pour une personne âgée par exemple do 40 ^^ns possédant une somme de 100000 francs placée à 4 Vo» ^^ V^^ '^ constituerait à partir de 4o ans une rente viagère égale à celle qui lui serait donnée par une compagnie, la rente viagère qu'elle aura au bout de 5 ans^ 10 ans, i5 ans, ao ans, en plaçant le restant de son capital en viager.
Ce tableau devrait être dressé pour tous les âges compris entre 3o ans et 60 ans et pour tous les taux variant de 3 à 5 7o-
