LIBRAIRIE DE S. M. LE ROI DE SUÈDE C, RUE DB LA SORBONNE

ET

2 RÉCRÉATIO>S MATHEMATIQUES

récréations un peu puériles et de jeux que les auteurs aaciens auraîeni appelée j€«x géoKnétritqn^.

Nous nous sommes imposés comme règle de négliger toute discussion qui exigerait des connaissances, trop ayancéfiâ. d^p^ les mathématiques. De plus (à une exception près) nous ne ferons pas mention de tous les nombreux paradoxes géométriques reposant sur l'inexpérience de Toeil quand il s'agit de comparer d'une façon exacte les dimensions des figures lorsqu'on modifie leur position relative. Ces illusions apparentes n'infirment en rien l'exactitude d*un raisonnement rigoureux, elles reposent sur une fausse interprétation (irafim^Ffe]»lpes!S»Qft|i»£ f «rgane visuel et nous ne pouvons considérer les paradoxes qui en découlent comme étant du domaine des mathé matique s.

Sophismes géométriquea. — Tout le monde aujourd'hui possède quelques notions de géométrie et même une idée générale des éléments d'Euclide, mais on sai* moins que les œuvres de ce grand géomètre étaient complétées à l'origine par des exercices divisés en trois séries. Les deux premières comprenaient des théorèmes et des problèmes faciles et le troisième était un recueil d'artifices géométriques dont il s'agissait de relever les erreurs.

La collection des artifices ainsi préparés par Euclide est perdue, et nous UB possédom aucuiai reDE9ftign£men>t poiiivânl uûus fixe» sur la nature des raisonnÊxnojQis. ecronéa emflajjés^ «aais pour dsuau«r une idée de ce gpt^nre: de questions, noua préseatoua^ ei-^f rèa» daux ou tcois démonstraJ!k>QS.. cx>«duîsaxit à. des. cooséquegace» naniiiesteo3ueni absurdes et qui amjoseroat peut-être c&a ponu qui elles. sa«t m>uveUes. Nousi laissans à 1. 'ingéniosité da hûs kcteucs le soia de découvrir les feuies de raisoaafinwat.

Preiaûer sophîHiWfi.. Démoixtrer qjutiui. angl» droit est égal à us, «agld oibtus*. — Soit un rectajag}« ÀJBCD ; par le somaietA menons uae droite- AE ejttérieure au rectangle^ égale à AB ou DG et faisant, comme le montre la figure, un angle aigu

QtJESTIONS DE GÉOMÉTRIE 3

*^*tix cfrmtcs CE, CB. tes perpenJicuIafm élevées i ces droite* aiw points K et H se rencontreront nécessairement en ur certain pom O ptt^^e CB e! CE ne sont pas parallèles.

Traçons OA, OD, OE, OC

On a :

OA = 0D et OE = OG,

AE = DG; donc les deux triangles ODG, OAE sont égaux comme ayant les trois côtés égaux et

ou encore

Î>5a -h I droit

= ÔADh-DAE mais le triangle ODA étant isocèle

ÔDA =OÂD, donc finalement

6aE == I droit, or, par construction, l'angle DAE est obtus*

Deitxîême soyUsmô (^. Démontrer cfi^un segment de droite est égal à la di*oite entière. — Soit ABC un triangle quelconque; pour fixer les idées supposons l'angle B aigu et l'angle A plus gtand que laiijfe C.

(*) Vdir une note de M. Goccoz dans V Illustration, Paris, 12 janvier 1895.

k RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

Par le sommet A menons dans rintérieur du triangle la droite AD faisant avec le côté AB un angle 6AD égal à Tangle G et abaissons la perpendiculaire AE sur £C.

Les triangles ABC, ABD étant équiangles, et, par suite, semblables, on a :

ABC XQ ÂBD-^'

de même, les triangles ABC, ABD ayant même hauteur, sont entre eux comme leurs bases, d'où la relation

ABC BC La comparaison de ces deux relations nous donne

ÎC* BC se' SD'

^'^ SD*~BD' °" Bir-Bn*

Or,

se* = SB* + BC* — aBG.BE, et

SD* «. SB* -+. BD* — aBD.BE, et il vient, en remplaçant dans (i)

SB' + BC* — aBC.B E SB* -+- BD* — aBD.BE BC BD •

d'où