ÏB' — BD.BC SB* - BD.BG

"BÎT

"Bn"

d où Ton déduit ce résultat inadmissible, BG = BD.

Troisième sophisme. Démontrer que tous les triangles sont isocèles* — Soit ABC un triangle quelconque; prenons le milieu D du côté BC considéré comme base et, en ce point, élevons la perpendiculaire sur BC. Traçons maintenant la bissectrice de langle opposé A.

i^ Si cette bissectrice ne rencontre pas la perpendiculaire à BC, elle lui est parallèle et, par suite, elle est perpendiculaire sur BC. Dans ce cas, le triangle ABC est isocèle.

2® Si la bissectrice de l'angle A rencontre la perpendiculaire élevée sur BC en son milieu, le point de rencontre est à Tintérieur ou à Textérieur du triangle.

Supposons- le d'abord à l'intérieur et, de ce point, abaissons les perpendiculaires OE, OF sur AC, AB puis traçons OB, OC.

Le point O étant sur la bissectrice de l'angle A, les deux perpen-

REC^MTJOUS atiTBJEUiTIQUES

diculaires OE, OF sont égaler ^ h» deuj ifi^g^ r^ciaag^Ifii 0A£« OAF sont égaux, donc

(i) AE = AF

De même OB = OC et les deux triangles rectan|[Jes OGE, OBF sont aussi égaux, d'où i») EC = BF

Additionnant «jembre à membre (i) et (2), il vient :

AE4-EC = AF + BF ou AG = AB

d'où cette conclusion, que le triangle ABC est encore î«ocèle.

SuppQsons en second lieu que le point soit à Texlérieur du triangle ABC. Faisons la môme construction que cidessus. Les deuxirlangLe^ rectangles OAE, OAF sont égaux et

(i) AE = AF.

De métitie, l'ég«itté des deux triangl«f rectangles OCE, OBF nous donne