CHAPITRE V PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS

Ce chapitre est consacré à quelques questions dépendant de la théorie des réseaux géométriques. Nous commencerons par le Problème et les Théorèmes d'Euler d'où nous déduirons, comme conséquence, la théorie des Labyrinthes et celle des Tracés géométriques que nous présenterons d'ailleurs d'une façon succincte. Les problèmes réciproques du jeu (THamilion et de la marche du cavalier sur Véchiquier seront traités dans la dernière partie de ce chapitre qui sera terminé par un aperçu sur le jeu de dominos.

Problème d'Euler. — Ce problème a son origine dans un mémoire (*) présenté par Euler en 1 786 à l'Académie de Saint-Pétersbourg et dans lequel il donnait la solution d'une question en discussion à cette époque. Il s'agissait d'établir s'il était possible ou non de se promener dans la ville de Kœnigsberg de façon à traverser tous les ponts de cette ville mais en ne passant qu'une fois sur chacun d'eux.

La ville est construite à l'embouchure de la Pregel, rivière qui prend à cet endroit la forme indiquée ci- dessous en entourant l'île deKneiphof, En 1759, il y avait sept ponts (qui existent encore

(*) « Solutio problemàtls ad geometriam situs pertinentls », Commentarii Academiœ ScierUiarum Pelropolitanœ pour 1786, Saint-Pétersbourg, 1741, vol. VIII, pp. 1 28-140. Le mémoire a été traduit en français, par M. Ch, Henry; voir Lucas, vol. J, partie II, pp. 21-33.

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS

suivant Baedeker) jetés sur la rivière et occupant les positions indiquées sur notre figure ; il est facile de voir qu'avec une telle dispo* sition le problème n'est pas possible. Euler cependant ne s'est pas

Fig. 85

limité au cas de Kœnigsberg et il a examiné le problème général d'un certain nombre d'îles reliée» d'une façon quelconque par des ponts. La solution étant évidemment indépendante de la surface des îles et de la largeur des ponts, s'applique au cas où chaque île se réduit à un point, et chaque pont à une ligne plus ou moins étendue. Nous obtenons ainsi à la limite une figure géométrique à laquelle on donne le nom de réseau.

Dans le problème de Kœnigsberg, la figure a la forme indiquée ci-dessus, les surfaces sont représentées par les points A, B, C, D et les ponts par les lignes /,m,n,p,(]r,r,s.

Le problème d*Euler revient donc à vérifier si une figure géométrique donnée peut être décrite par un point

Fig, 86

se déplaçant de façon à parcourir toutes les lignes de la figure en en passant qu'une fois sur chacune d'elles.

^ne question plus générale consiste à déterminer le nombre de traits nécessaire pour tracer une telle figure en s'imposant comme condition de ne pas passer deux fois sur la même ligne. La figure

aOO RÉGRéA.TI02lS MATHéifATIQUES

qui peut être à deux ou à trois dimensions est représentée par des lignes (droites, courbes ou sinueuses) joignant un nombre déterminé de points, ou par un modèle construit avec des petites baguettes, ou encore au moyen de petites cordes munies à chaque extrémité d'une agrafe permettant de réunir en un point un cer tain nombre d'entre elles.

La théorie de ces figures est comprise, comme cas particulier, dans les propositions démontrées par Listing dans sa Topologle (*). Toutefois nous nous en tiendrons à la méthode exposée par Euler, mais pour nous permettre de présenter le raisonnement d'une façon plus concise, nous allons donner quelques définitions préliminaires.

Un nœud (ou une île) est le point de départ ou d'arrivée d'une ligne ou de plus de deux lignes. Une branche (un pont ou passage) est une ligne reliant deux nœuds consécutifs : un nœud ne peut donc se trouver au milieu d'une branche. Une extrémité (ou agrafe) est l'origine ou la fin d'une branche.

Vordre d'un nœud est le nombre de branches qui aboutissent à ce nœud. Un nœud d*où part ou aboutit une seule branche est un nœud ou une extrémité libre. Un nœud est d'ordre pair lorsqu'il est lé point d'arrivée ou de départ d'un nombre pair de branches ; d'après ce qui a été dit plus haut, il n'existe pas de nœud du second ordre : un pareil nœud est dit imaginaire.

Un nœud est d'ordre impair lorsqu'il est le point d'arrivée ou de départ d'un nombre impair de branches. Une figure est fermée lorsqu'elle ne présente aucune extrémité libre : une pareille figure est souvent appelée un réseau fermé.

Une route est constituée par un certain nombre de branches parcourues consécutivement de telle sorte qu'aucune d'elles ne soit suivie deux fois. Une route fermée se termine au point de départ.

(*) Die Studien, Gôttihgen, 1847, parlio X. Voir également Prof. Tait, un article sur la Topologie de Listing, dans le Philosophical Magazine, Londres, janvier 1884, série V. Vol. XVII, pp. 3o-46.

PROBLEMES DES TRACES CONTINUS 201

Une figure est tracée d'un irait continu lorsqu'elle peut être assimilée à une route.

Voici maintenant les conclusions formulées par Euler :

1° Dans un réseau fermé, le nombre des nœuds impairs est toujours pair.

a^ Toute figure n'ayant pas de nœuds impairs peut être tracée d'un trait continu (en une route rentrante) par un point partant d'une position quelconque sur le réseau.

3^ Une figure qui a deux nœuds impairs, mais deux seulement, peut être décrite d'une façon continue par un point partant de l'un des nœuds impairs pour aboutir à l'autre.

4° Une figure qui a plus de deux nœuds impairs ne peut être décrite complètement en une seule roule ; Listing complète cette proposition par ce corollaire : une figure ayant an nœuds impairs (et pas plus) peut être décrite complètement par n routes distinctes.

Passons à la démonstration de ces diverses propositions.

1^ Le nombre des nœuds impairs dans un réseau ferme est pair.

Soit b le nombre des branches, le nombre des agrafes sera 26.

Représentons par A„ le nombre des nœuds du n""* ordre (c'est-àdire des nœuds où aboutissent n branches). Puisque la figure est fermée, n ne peut être moindre que 2 . Le nombre des agrafes à un nœud du n"* ordre est a, donc :

a/cj, + 3/^3 H- tik^ -+- ... -h nk„ + ... = a6; par suite,

3/C3 -h 5/C5 H- est pair,

et

^3 + K "♦" ®*^ également pair,

a* Une figure qui ne présente pas de nœuds impairs peut être décrite d'un trait continu en une route rentrante.

Puisque la route doit être rentrante, le point de départ est indifférent. Supposons que l'on parte d'un nœud A. Chaque fois que nous arrivons à un nœud nous prenons une agrafe en entrant et nous laissons une agrafe en l'abandonnant. Il n'y a pas de nœuds impairs

202 RJÊCaiÉATIONS MATHÉMATIQUES

et, par conséquent, le nombre des agrafes à chaque nœud est pair ; dès lors, si nous touchons à un nœud quelconque autre que A, nous trouvons toujours une agrafe qui nous donne accès sur une branche non encore parcourue. Par suite, la route nous conduit finalement au nœud A d*où on est parti.

Si nous avons plus de deux agrafes en A, nous pouvons continuer la route par Tune des branches issues de A, non encore parcourues, mais comme plus haut nous revenons finalement au point de départ A.

Il reste maintenant à montrer que la route peut être arrangée de façon à comprendre toutes les branches. Or, considérons chaque branche du réseau comme représentée par une ficelle munie d'une agrafe à chaque extrémité et supposons qu'à chaque nœud toutes les agrafes soient réunies. Le nombre de ces agrafes à chaque nœud étant pair, si on les sépare, il est possible de les accoupler de nouveau par groupe de deux (cet arrangement par paires étant imaginaire). Le réseau dans son ensemble forme alors une ou plusieurs courbes fermées^ puisque maintenant chaque nœud consiste simplement en deux extrémités agrafées ensemble.

Si cet accouplement fait au hasard nous donne une seule courbe, la proposition est démontrée ; ear en partant d'un point quelconque on peut suivre chaque branche et revenir au point de départ. Mais si cet accouplement fournit en un point quelconque une boucle isolée, L, alors au nœud P par exemple, où elle touche une autre boucle, M, détachons les quatre agrafes qui s'y rencontrent (par exemple, deux de la boucle L et deux de la boucle M) et accouplons-les de nouveau dans un autre ordre, nous amenons ainsi la boucle L à former une partie de la boucle M.

En modifiant de cette manière les accouplements des agrafes, on peut transformer successivement chaque boucle séparée et la faire figurer comme partie d'une seule boucle.

Considérons, par exemple, le cas de trois îles A,B,C, reliées chacune avec les deux autres par deux ponts. La manière la plus défavorable d'accoupler de nouveau les extrémités en A, B, G se-

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS 2o3

rait de transformer ABA, AGA et BCB en boucles séparées. Les boucles séparées ABA et AGA se touchant en A, nous pouvons accoupler les agrafes en A de façon à réunir ABA et AGA en une seule boucle ABACA. De même en reliant d'une autre façon, et par deux, les quatre agrafes en B, nous pouvons former une seule boucle avec BGB et ABAGA.

De la façon dont Euler s'exprime, il semblerait résulter pour nous qu'il a cherché à formuler une règle pratique permettant de tracer d'une façon continue, sans en connaître la forme, les figures qui nous occupent, mais qu'il a échoué dans ses tentatives.

Il a cependant avancé qu'une figure géométrique quelconque peut être tracée complètement en une seule route, à la condition que chacune de ses parties soit parcourue deux fois, mais deux fois seulement, car cha- '^' ^

que branche étant ainsi doublée, aucun des noeuds n'est impair et la figure peut par suite se tracer d'un trait continu. Dans ce cas, une figure quelconque peut être décrite complètement d'un mouvement continu sans en connaître la (orme ; nous donnons plus loin, page 207 des règles à cet effet.

3° Toute figure ayant deux nœuds impairs ^ et seulement deux^ peut être décrite d'un mouvement continu par un point qui partirait d'un des nœuds ponr aboutir à Vautre.

Gette proposition se xamène immédiatement à la précédente. Soient A et Z les deux nœuds impairs.

Supposons tout d'abord que Z ne soit pas une extrémité libre. Nous pouvons évidemment suivre une route allant de A à Z ; si nous imaginons les branches de cette route éliminées, nous enlevons une agrafe en A qui devient un nœud pair, doux agrales à tous les nœuds intermédiaires entre A et Z qui restent par suite pairs et enfin une agrafe en Z qui devient nc&ud pair. Tous les

204 RÉGBÉATIONS MATHéMATIQUBS

nœuds du réseau ainsi formé sont dès lors pairs ; ce réseau peut donc, d'après 2^, être tracé d'un trait continu et si la route commence en Z, elle se terminera également en Z. Par suite, si ces deux routes sont faites successivement, la première figure sera décrite d'un mouTement continu en commençant en A pour finir eu Z.

Supposons, en second lieu, que Z soit une extrémité libre, alors nous devons faire route de Z à un nœud Y où se rencontrent plus de deux branches. La route de A à Y comprenant toute la figure à l'exclusion du chemin de Y à Z sera effectuée comme plus haut et on complète le tracé en allant de Y à Z.

4® Une figure n ayant seulement que an nœuds impairs peut être décrite complètement en n routes distinctes.

Considérons une route dont l'origine est un nœud impair et sui^ vons-la jusqu'à ce qu'on arrive à un nœud où nous ne trouvons aucun chemin nouveau, il est évident que ce dernier nœud est impair ; car, chaque fois que nous rencontrons un nœud pair sur la route, il se présente un chemin pour en sortir ; et, chaque fois que nous arrivons à un nœud impair, nous comptons une agrafe en entrant et une agrafe en sortant, mais si ce nœud se présente à la fin de la route, nous ne comptons qu'une agrafe. Supprimons cette route par la pensée, il reste une figure avec 2n — 2 nœuds. Par suite, n routes semblables, nous donneront un ou plusieurs réseaux avec des nœuds pairs seulement. Mais chacun d'eux a un nœud commun avec l'une des routes déjà prise et peut dès lors être décrit en le considérant comme une partie de cette route. Par conséquent, le tracé complet exige n et seulement n routes distinctes.

Il s'ensuit, ainsi d'ailleurs que Ta remarqué Euler, que si le réseau comporte plus de deux nœuds impairs, il ne peut être tracé complètement en une seule route.

Le problème des ponts de Kœnigsberg nous conduit à un réseau contenant quatre nœuds impairs ; par suite, d'après 4*f ce réseau ne peut être parcouru d'un mouvement continu en un seul voyage, mais il peut être parcouru complètement en deux routes distinctes.

PROBLÈMES DES TBACéS CONTINUS 2o5

Les figures 88 et 89, ci-après, ne contenant que des nœuds pairs, peuvent être tracées d'un trait continu. La première de ces figures, un pentagone étoile ou à angles rentrants, était une des figures symboliques des Pythagoriciens ; la seconde représente, dit-on, le sceau ou la signature de Mahomet ; suivant la légende, il laurait

Fig. 88 Fig. 89 Fig. 90

tracée pour la première fois sur le sable avec la pointe de son cimeterre sans la faire quitter le sol ou repasser sur des parties déjà dessinées de la figure ; le fait est possible, puisqu'elle ne contient que des nœuds pairs.

La figure 90 est empruntée à un article du professeur Tait : elle ne contient que deux nœuds impairs, et, par suite, peut être décrite d'un trait continu en partant de lun de ces nœuds pour aboutir à l'autre.

Citons, comme nouvel exemple, la figure formée en traçant les diagonales d'un polygone convexe de (2/1 + t) côtés, un pareil réseau de lignes peut être tracé d'un mouvement continu.

Un échiquier divisé, suivant l'usage, en 64 cases, contient 28 nœuds impairs et 53 nœuds pairs, le dessin de la figure exige quatorze traits continus pour tracer toutes les limites sans passer plus d'une fois sur chaque ligne. Enfin, la figure de la page 122 compte 20 nœuds impairs et, par conséquent, exige dix traits continus pour son tracé.

C'est un théorème bien connu que toute courbe dont le nombre de nœuds égale le degré peut être tracée d'un mouvement continu.

Labjrrinthes. — Tout le monde a lu la légende du labyrinthe

de Minos en Crète. On trouve encore ça et là quelques labyrinthes (nous citerons notamment celui de Hampton Court qui est un spécimen assez médiocre de ce genre de construction), et probablement plusieurs de nos lecteurs ont cherché à reconnaître leur route dans certains d'entre eux ou, tout au moins, sur leurs dessins.

Notre but ici est d'étudier la manière de parcourir en tous sens ces sorles de constructions, même lorsqu'on n'en connaît pas le plan. La théorie des labyrinthes est une conséquence de Tétude que nous venons de faire des théorèmes d'Euler sur les courbes à tracé continu. Les chemins dans un labyrinthe constituent ce que nous avons appelé des branches et les carrefours où deux ou plusieurs chemins se rencontrent sont des nœuds. L'entrée du labyrinthe, l'extrémité d'une impasse et le centre du labyrinthe sont des extrémités libres et, par suite, des nœuds d'ordre impair.

Si un labyrinthe ne présente comme nœuds impairs que l'entrée et le centre — ce qui implique l'absence d'impasses — il peut être parcouru d'un mouvement continu. C'est une conséquence de la proposition 3° de la page 201. Egalement, quel que soit le nombre des nœuds impairs dans un labyrinthe, on peut toujours suivre une route conduisant de l'entrée au centre sans revenir sur ses pas, mais cette route ne fait parcourir qu'une partie du labyrinthe. Dans les deux cas que nous venons de mentionner, la route à suivre ne peut être déterminée qu'avec un plan.

Un plan n'est pas nécessaire cependant si nous faisons la même supposition qu'Euler, c'est-à-dire si nous supposons que chaque chemin dans le labyrinthe est doublé. Dans ce cas, nous pouvons donner des règles précises permettant le parcours complet d'un labyrinthe quelconque, même si son plan n'est pas connu. Il est bien évident que décrire deux fois le même chemin dans un labyrinthe n'est pas la manière la plus prompte d'arriver au centre, mais en s'orientant convenablement, le labyrinthe tout entier est parcouru, on est certain de trouver le centre sur sa route à un moment donné, et il est impossible de perdre son chemin.

On voit immédiatement que le tracé complet d'un labyrinthe

PROBLÈMBS DES TRACÉS GONTXKUS 207

ainsi doublé est toujours possible, puisque chaque nœud est rendu pair, et, d'après la proposition 2" d'Euler, en parlant de Tentrée on peut parcourir le labyrinthe dans son entier développement ; à un moment donné, on arrive au centre et finalement on revient au point de départ. Cette méthode nous met dans Tobligation de pas* ser deux fois par chaque chemin, et il va de soi que les deux passages sont opposés en direction.

Lorsque le labyrinthe est représenté par un dessin, la route à suivre est généralement facile à déterminer, mais le problème n*cst pas toujours aussi aisé quand il s'agit d'une construction, à moins d'en posséder le plan exact. Pour parcourir d'une façon certaine et sans erreur possible, un labyrinthe dont on ne connaît pas le plan, il est nécessaire d'adopter des signes conventionnels pour marquer les chemins suivis et la direction du parcours, par exemple en traçant une flèche à l'entrée et à l'extrémité de chaque chemin, ou encore mieux, peut-être, en marquant le mur sur le côté droit, de sorte qu'on ne s'engagera pas dans un chemin dont les deux côtés seront marqués.

En opérant de la sorte si, lorsqu'on arrive à un nœud, on prend, lorsque la chose est possible, un chemin non encore suivi, ou si, aucun autre chemin ne pouvant être utilisé, on s^engage dans un chemin déjà parcouru une fois seulement, on peut traverser complètement tout labyrinthe à deux dimensions (*).

Bien entendu, un même sentier ne doit pas être suivi deux fois dans la même direction, un chemin déjà traversé deux fois (une fois dans chaque direction) doit être laissé de côté, et à l'extrémité d'une impasse il est nécessaire de revenir sur ses pas on suivant le chemin par où on y a été amené.

Pour beaucoup de personnes, un labyrinthe consiste en une suite de chemins entrelacés au milieu desquels on peut suivre une certaine route aboutissant, au centre, à un espace libre ou à une

(*) Voir Le problème des labyrinthes, par G. Tarrt, Nouvelles annales de mathématiques, mai 1896, série III, vol. XIV.

âo8 RéCRÉÀTIONS MATHÉMATIQUES

construction quelconque. Il existe probablement bien peu, si même il en existe, de labyrinthes de cette sorte datant des temps classiques ou du Moyen Age.

Les anciens donnaient le nom de dédale ou de labyrinthe à toute construction un peu compliquée, souterraine ou non, et comprenant des chambres et des couloirs tellement enchevêtrés que le visiteur s'y perdait et ne pouvait en retrouver l'issue (*). Une telle construction peut, à la rigueur, être considérée comme un labyrinthe, mais ce n'est pas ce qu'on entend généralement par ce mot. D'ailleurs, les règles précédentes permettent à quiconque veut s'en donner la peine de parcourir en tous sens un monument de ce genre.

Un autre genre de labyrinthes antiques consistait en une route sinueuse couvrant un espace relativement faible et conduisant à une place vide ou à un temple situé au centre (^). C'est là un exemple de labyrinthe dans lequel il est possible de s'aventurer sans craindre de perdre son chemin ; mais, comme la surface entière peut être occupée par les sinuosités de la route, la distance à parcourir pour aller de l'entrée au centre peut être considérable quand bien même la surface couverte par le labyrinthe serait très petite.

Comme spécimen du genre, nous citerons le labyrinthe légendaire construit pour le Minotaure. Il était figuré sur le revers des

(') Voir par exemple les descriptions du labyrinthe du lac Mœris, données par Hérodote, livre II, c. cxlviii. — Strabon : livre XVII, c. i, art.37. — DioDORE : livre I, ce. lxi, lxvi, et Pline : Hist, nat,, livre XXXVI, c. xni, art. 84-89. Pour d'autres références, voir A. Wibdemann, Herodots Zweiles Buch, Leipzig, 1890, p. 522 et suivantes. Voir aussi Virgile : Enéide, livre V, V. 588. — Ovide : Met., livre VIII, c. v, eux. — Strabon : livre VIII, c. vi.

C) Sur les labyrinthes anciens et sur ceux du Moyen- Age — particulièrement sur ces derniers — voir un article par M. E. Trollope, dans le Archaeological Journal, i858, vol. XV, pp. 2x6-235; nous lui empruntons la plupart de nos renseignements historiques.

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS

médailles ou monnaies de la ville de Gnosse (qui ne sont pas excessivement rares) et l'une de ses formes est représentée par la figure 91 ci-après. En réalité, le dessin est le même que celui de la figure 92 comme on peut facilement s'en assurer en donnant la forme d'un cercle à cette figure rectangulaire.

M. Inwards a émis Topinion (*) que ce dessin sur les monnaies de Gnosse était peut-être une réminiscence de celui qui figurait sur un jeton donné par les prêtres de l'antiquité pour guider le profane et lui permettre de reconnaître sa route dans le labyrinthe.

En considérant la figure 91, il suppose chaque mur circulaire

Fjg. 91

Fig. 92

remplacé par deux murs équidistants laissant entre eux un passage libre et il obtient ainsi un labyrinthe pour lequel le dessin original servira de clef ou de guide. La route ainsi indiquée s'obtient immédiatement en notant que lorsqu'on arrive à un nœud (c'est-à-dire à un point où il y a un chemin à choisi r),^ chemin à prendre est celui qui est le plus voisin, à un près, de celui par lequel on est arrivé au nœud. Ce labyrinthe peut aussi ne parcourir en s'imposant comme simple règle de suivre toujours le mur à sa droite ou toujours le mur à sa gauche. On peut modifier et compléter quelque peu le tracé du labyrinthe en introduisant des obstacles imprévus, sans toutefois rendre impossible l'application des règles précédentes, mais il n'est guère possible d'augmenter les difficultés. On obtiendrait certainement ainsi un joli jeu, mais bien que Tidëe sur laquelle il est basée soit très ingénieuse, elle doit être regardée, pen-

(*) Knowledgcy Londres, octobre 1892.

Récréations mathématiqaes, II.

210 RECiiEATIONS MATHEMATIQUES

sona-nous, comme très invraisemblable. Une autre supposition émise est que la ligne courbe qui figure sur le revers des médailles indique la forme de la corde tenue par un certain nombre de personnes prenant part à une danse rythmique.

Du temps des Grecs et des Romains, Tusage était de faire graver sur certains joyaux des reproductions du labyrinthe de Gnosse et on trouve des dessins semblables mais plus compliqués dans un grand nombre de mosaïques romaines (^). La copie du labyrinthe Cretois était brodée sur plusieurs des manteaux d'apparat des derniers empereurs et c'est probablement pourquoi on la trouve reproduite sur les murs et sur le sol de certaines églises (2). En Italie et en France, à une époque reculée, ce genre de décorations murales et de pavage prit une grande extension sous forme de rubans présentant des entrelacements fort complexes, mais consistant toujours (autant qull nous en souvienne) en une simple ligne. 11 était d'usage, au Moyen Age, de disposer au milieu de la nef do certaines grandes églises, des pavages de pierres blanches et noires ou de carreaux de couleur formant, par leurs combinaisons, des méandres compliqués auxquels on donnait le nom. de labyrinthe, de chemin de Jérusalem ou de La Lieue. Nous ne saurions dire quelle fut l'origine de ces sortes de pavages. Louis Paris, dans son Mémoire du mobilier de Noire-Dame de Reims, prétend que ces pavages étaient une réminiscence de quelque tradition païenne : c'est possible, cependant^ il n'en est fait mention ni dans Guillaume Durand, ni dans les auteurs qui lui sont antérieurs et ayant écrit sur les choses touchant aux églises.

Les plus anciens labyrinthes que nous connaissions ne sont pas antérieurs à la fin du xii« siècle, et le Seigneur de Gaumont, dans son Voyaîge d'oultremer en Jhérusalem (en i4ï8 — publié par le marquis de la Grange — Paris, A. Aubry, i858), en parlant du labyrinthe de Crète (p. 4i)) ne dit riea qui puisse faire croire à une

(*) Voir l'ouvrage de Breton : Pompela^ p. 3o3.

(•) OzANÂM. — Graphia mrex urhis Romœ, pp. 92, 178.

PROBLEMES DES TRACES CONTINUS 211

tradition de cette nature, c'est-à-dire qu'il n'établit aucun point de comparaison entre le labyrinthe du Minotaure et ceux qu'il avait évidemment vus tracés sur le pavé des églises de son pays.

Le labyrinthe de la Cathédrale de Reims s'appelait Dédale, méandre^ Lieue ou Chemin de Jérusalem, Quelques archéologues ont voulu voir, dans ces pavés à combinaisons de lignes concentriques, un jeu des maîtres des œuvres, en se fondant sur ce fait,- que trois de ces labyrinthes, ceux de Chartres, de Reims et d'Amiens, représentent dans certains compartiments, les figures des architectes qui avaient élevé ces cathédrales. Nous n'avons pas à trancher la question.

On trouve les traces de la plupart de ces labyrinthes dans l'ouvrage de Amé intitulé : Carrelages émaillés du Moyen Age et de la Renaissance,

Vallet, dans sa description de la crypte de Saint-Bertin de Saint- Omer, établit que les fidèles devaient suivre à genoux les nombreux lacets tracés par les lignes de ces méandres, en mémoire du trajet que fit Jésus de Jérusalem au Calvaire.

La petite basilique de Reparatus à Orléans- Ville (Algérie) montre, sur son pavé, une mosaïque que l'on peut prendre pour un de ces labyrinthes, c'est-à-dire un méandre compliqué. Or, cette basilique date de 3a8, ainsi que le croit F. Prévost.

Cet usage est- il venu d'Orient après les premières croisades ? ou est-il une tradition locale P nous inclinerions à penser que la représentation des maîtres de l'œuvre sur ces pavages les rattacherait à quelque symbole maçonnique adopté par Técole des maîtres laïques, d'autant que nous ne voyons apparaître ces labyrinthes sur les pavages des églises qu'au moment où les constructions religieuses tombent dans les mains de cette école puissante. Si ces méandres avaient été tracés pour représenter le trajet du Sauveur de la porte de Jérusalem au Calvaire, il est à croire qu^un signe religieux aurait rappelé les stations, ou du moins la dernière; on ne: remarque rien de semblable sur aucun des labyrinthes encore existants ou sur ceux dont le dessin nous est resté.

De plus, nous trouvons des carrelages émaiilés qui représenlent des combinaisons de lignes ou méandres dans des dimensions si petites, qu'on ne pouvait, à coup sûr, suivre ces chemins compliqués, ni à pied ni à genoux, puisque quelques-uns de ces labyrinthes, comme celui de l'église abbatiale de Toussaints (Marne), n'ont pas plus de 25 centimètres de côté. A vrai dire, ces derniers méandres datent du xiv* siècle et peuvent passer pour une copie d'œuvres plus grandes ; mais encore une fois, les petits et les grands ne renferment aucun signe religieux (*).

Quoi qu'il en soit, nous citerons parmi les plus beaux spécimens qui existent encore : les décorations murales des Cathédrales de Lucques, d'Aix en Provence et de Poitiers, et les dallages des églises de Sainte-Marie du Transtévère à Rome, de San Vitale à Ravenne, de Notre-Dame à Saint Omer et de la cathédrale de Chartres. Ces derniers dessins étaient probablement faits dans le but de symboliser le passage à travers la vie considérée comme un pèlerinage.

En Angleterre, ces labyrinthes étaient le plus souvent (nous pourrions, peut-être, dire toujours) tracés sur une étendue de terrain gazonné confinant certaine maison religieuse ou de refuge et quelques raisons nous portent à supposer qu'on s'en imposait le parcours comme exercice religieux en récitant un pater ou un ave à chaque tournant. Après la Renaissance, ces labyrinthes étaient fréquemment appelés Troie- villes ou Retraites de Julien. Parmi les plus beaux spécimens du genre qui existent encore (autant que nous avons pu le vérifier ), nous citerons ceux de RockliflP Marshes dans le Cumberland ; d'Asenby, dans le Yorkshire, d'Alkborough dans le Lincolnshire, de Wing dans le Rutlandshire ; de Boughton-Green dans le Northamptonshire ; de Comberton dans le Cambridgeshire, de Saffron Walden dans le canton d'Essex ; et de Chilcombe près de Winchester.

Les labyrinthes plus modernes semblent avoir été introduits —

(*) VioLLET-LE-Duc. — Dictionnaire raisonné de V architecture française, tome VI, pp. i52-i53.

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS

probablement de Tltalie — durant la Renaissance, et plusieurs des palais ou des grands cbàteaux construits en Angleterre sous les règnes des Tudor et des Stuart avaient comme annexes des labyrinthes. Ceux qui formaient dépendances des palais royaux de Southwark, Greenwich et Hampton Cour4 étaient particulièrement connus à cause de leur proximité de la Capitale. Ce dernier a été dessiné en 1690 par London et Wise pour Guillaume III qui en faisait son séjour de prédilection ; les divers guides de Londres et de ses environs en contiennent un plan. Pour la majorité des visiteurs qui s'y rendent dans un but de promenade, il est suffisamment compliqué, mais c*est en réalité une construction assez terne qui p^ut être parcourue complètement en suivant toujours le même côté (soit de droite, soit de gauche) et ne présentant aucun nœud d'un ordre supérieur à 3.

A moins qu'en un certain point la roule pour aller au centre bifurque e n deux branches qui se réunissent ensuite en formant une boucle dans laquelle se trouve situé le centre du labyrinthe , la partie centrale peut

toujours être atteinte ^'S 93 — Le labyrinthe d'Hampton Court.

en suivant la règle que nous venons de donner, c'est-à-dire en longeant le mur, soit du 'côté droit, soit du côté gauche. Il n'est guère possible de considérer comme un jeu de patience un labyrinthe pouvant être parcouru d'une façon aussi siraple.En supposant Texistence d'une bifurcation, le labyrinthe sera d'autant moins facile à parcourir qu'il présentera plus de nœuds et que leur ordre sera plus élevé ; la difficulté peut même être considérablement augmentée en introduisant des ponts et des tunnels de façon à avoir un labyrinthe à trois dimensions.

2l4 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

Les arbres géométriques. — Euler n*a fait porter ses recherches que sur les réseaux fermés et dans le problème du labyrinthe on admet l'existence d'un nombre quelconque d'impasses dont les extrémités forment ce que nous avons appelé des nœuds libres. La question peut maintenant se généraliser en supposant que chaque partie de la figure constituant un réseau fermé diminue jusqu'à se réduire à un point. L'arrangement obtenu alors est connu sous le nom d*arbre géométrique. Le nombre des tracés coutiaus, nécessaires pour décrire d'une façon complète un arbre géométriqae^ est appelé la ba$e de la ramification.

Nous pouvons donner un exemple d'une forme possible de ces arbres au moyen de tringles portant . une agrafe ou un crochet à chaque extrémité. Prenant une de ces tiges, nous attachons à chaque extrémité une ou plusieurs tiges semblables, puis à chaqueextrémité libre nous fixons de nouveau une ou plusieurs l%es, et ainsi de suite. Chaque extrémité libre et chaque point où se rencontrent deux ou plus de deux tringles constituent ce que nous avons déjà appelé des nœuds. Les tringles elles-mêmes sont les branches ou les chemins.

La théorie des arbres géométriques qui joue déjà un réle assez important dans certaines branches de Tanalyse moderne et qui, peut-être, contient le germe de plusieurs théories chimiquesLOU bio« logiques, fut mise à jour dans un mémoire de Cayley (*) écrit en

(*) Phibsophical Magazine, mars 1867, série IV, vol. XIII, pp. 172-176; ou Collected Works, Cambridge, 1890, vol. III, n* 2o3, pp. 242-246. — Voir aussi une note sur les partitions doubles, Philoâophiçal Magazine, novembre 1860, série IV, vol. XX, pp. 337-34i. Sur le nopabre des arbres avec un nombre donné de nœuds, voir le Quarterly Journal of Mathemaiics, Londres, 1889, vol. XXIII, pp. 376-878. Son affinité avec la chimie a été signalée pour la première fois par le Prof. Cayley dans un article sur les corps isomères paru dans le PhUosophical Magazine de juin 1874» série IV, vol. XLVII, pp. 444*447» ^* question a été traitée d'une façon plus , complète dans son mémoire sur la théorie des arbres à l'Association britannique, en 1875, Repports, pp. 267-305.

PROBLEMES DES TRACES CONTINUS

1 856. La discussion de cette théorie a été présentée plutôt analytiquement que géométriquement. Nous nous contenterons de mentionner les résultats suivants.

Le nombre des arbres ayant n nœuds donnés est n""^. Si on représente par An le nombre des arbres ayant n branches et par B„ le nombre des arbres avec n branches libres formant les dernières bifurcations, on a :

(i— a;>)-*(i— a5»)"'^î(i-aj»)"'Bs...= n-a;-^2B2a;2^-2B3aî»-^,..

- Au moyen de ces formules nous pouvons déterminer successivement les valeurs de A^, A,... et Bj, B^...

Ces valeurs pour n = a, 3, 4, 5, 6, et 7 sont données dans le tableau suivant :

ii5

Bn

Nous allons maintenant traiter quelques questions dans lesquelles on se propose de dclerminer une route passant une fois, mais seulement une fois, partons les nœuds d'une figure géométrique donnée. Ces questions peuvent être regardées comme les inverses de celles du chapitre précédent et leur solution présente de plus grandes difficultés. La théorie générale des problèmes de cette nature n'a peutêtre pas été traitée complètement par les mathématiciens, bien que deux cas spéciaux consistant dans le jeu d^Ilamilton (ou Icosien) et dans la marche du cavalier aux échecs aient été examinés avec quelques détails. Ce sont ces deux jeux qui vont nous occuper.

Le jeu d'Hamilton. — Ce jeu consiste à déterminer la route à suivre le long des arêtes d'un dodécaèdre régulier pour passer par

tous les sommets une fois seulement. Sir William Hamilton (*) à qui on doit ce jeu — si toutefois le mot jeu est le terme à employer dans la circonstance — représentait les trente sommets du solide par des lettres qui désignaient des villes, et les vingt arêtes constituaient les seules roules possibles. On comprend sans peine Tinconvénient de se servir d'un solide et le dodécaèdre peut être remplacé avantageusement par sa représentation sur une surface plane ainsi que le montre la figure 94. La figure 96 et la figure 96 remplissent également notre but et elles sont plus faciles à tracer. Le premier problème est « Le voyage autour du monde ». Il

Fig. 9h

Fig. 95

Fig. 96

s'agit, en partant d'une ville quelconque, de passer par toutes les autres villes, une seule fois, et de revenir au point de départ ; on se donne Tordre des n villes devant être visitées tout d'abord, n ne surpassant pas 5.

Hamilton a fait connaître la règle pour effectuer un tel voyage à Dublin, en 1857, au congrès de l'Association Britannique. A chaque sommet, trois arêtes seulement aboutissent et si nous arrivons à un sommet quelconque par Tune de ces trois arêtes, nous nous trouvons en présence de deux routes à prendre, l'une a droite, que nous représenterons par rf, et l'autre, à gauche, que nous désignerons par g. On s'assure facilement sur la figure que la suite des opérations in-

(*) Voir Quarterly Journal of Malhemaiics, Londres, 1862, vol. V, p. 3o5; ou Philosophical Magazine, janvier, i884, série V, vol. XVII, p. 42; voir aussi Lucas, Récréations, vol. II, part. VII.

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS 2I7

diquées dans chacun des membres des é^^Mlilés suivantes nous conduit au même point et que, par suite, les résultats sont équivalents,

gd^g = dgd, dg^-d := gd,g, gd^g = dS dg^d = g^.

Les opérations g^ et d^ nous ramènent au point de départ, ce que nous représenterons par les égalités

gfS = 1,^5 = I.

Pour résoudre le problème avec une figure ayant trente sommets, la difficulté consiste à établir une relation embrassant trente opérations successives et dont Teflet final serait représenté par Punité. Or, en nous reportant à la relation g^ = d. g^, d nous voyons que :

i=g^=g--g^ = {dg^d)g^ = {dg^Y = \d{dg'd)g\^ = = \dydg\' = \d\dg^d)gdg\' = \dydgdg\\ ainsi

(I) \dY(dgyv=i.

et semblablement

(?) \gH\gdf\''=x.

Par suite, Tune ou Tautre des suites de mouvements

( I ) dddgggdgdgdddgggdgdg,

(3) gggdddgdgdgggdddgdgd,

indique sur un dodécaèdre la route prise par le voyageur pour passer dans chaque ville. L'arrangement est cyclique et la route peut commencer en un point quelconque de la série des déplacements en transportant d'une extrémité à l'autre le nombre nécessaire de lettres. Le point d'où Ion part est déterminé par Tordre de certaines villes qui est donné à l'avance.

Ainsi supposons qu'on nous dise de partir de F, d'aller successivement en B, A, U et ï, puis de revenir en F après avoir passé par toutes les autres villes. Si, par la pensée, nous nous considérons

2l8 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

comme étant arrivé en F en venant de G, le chemin FB sera représenté par la lettre g, mais si nous nous figurons être venu de E en F, le chemin FB sera représenté par la lettre d. Le chemin de B à A sera représenté par g, et ainsi de suite. Ainsi la route débute soit par ggqd, soit par dggd. Ce dernier départ ne figurant ni dans la suite (i), ni dans la suite (2), n*entre pas dans nos solutions. Le premier début peut être regardé comme les i®', 2®, 3* et 4® chemins de (a), ou comme les 4®» 5% 6' et 7" chemins de (i). Chacun de ces avangements nous conduit à une route satisfaisant à la question.

Ces routes sont :

FBAUTPONCDEJKLMQRSHGF.

et

FBAUTSRKLMQPOjNCDEJHGF.

Une bonne précaution à prendre pour éviter de passer une seconde fois sur la même ville consiste à faire une marque ou à placer un jeton sur cliaque angle aussitôt qu'on y arrive. Un jeu semblable peut se faire avec tout autre corps solide ne comptant que trois arêtes à chaque sommet. De tous ces solides, le cube et le tétraèdre sont les plus simples, mais le lecteur peut construire luimême un nombre quelconque de figures planes représentant d'autres solides que ceux de la page 316. Hamilton en a donné plusieurs exemples. Dans tous les cas on doit déduire de formules analogues à celles établies page 217, des relations cycliques telles que (i) et (2) données plus haut. On suit alors pour la solution la marche déjà indiquée. Cette méthode peut aussi être employée pour trouver une règle permettant de décrire un labyrinthe quelconque dans lequel aucun nœud n'est d'un ordre supérieur à trois.

Pour ce qui est des solides ayant des sommets où aboutissent plus de trois arêtes, tels que l'octaèdre où quatre arêtes se rencontrent à chaque sommet, et l'icosaèdre qui compte cinq arêtes à chaque sommet» en arrivant à chacun des sommets nous nous trouvons en présence de plus de deux chemins à suivre. Par suite (à

PROBLEMES DES TRACÉS CONTINUS 2ig

moins de supprimer un certain nombre d'arêles), il est nécessaire de modifier et de donner de Textension à la notation symbolique mentionnée plus haut avant de l'appliquer aux solides de cette nature et aux figures planes qu'on peut en déduire. Nous abandonnons cette étude à ceux de nos lecteurs désireux d'imaginer un nouveau jeu.

M. Hermary a donné une autre solution fort élégante du problème d'Hamilton. Elle consiste à développer sur un plan les douze pentagones réguliers formant les faces du dodécaèdre de façon que chacun d'eux ait avec le précédent un côté commun, mais la solution est géométrique et ne s'applique pas directement à des solides plus compliqués.

Hamilton a imaginé un autre jeu dans lequel partant d'une ville quelconque on se rend dans un certain nombre d'autres villes désignées, dans un ordre spécifié à l'avance, puis on passe une fois et une seule fois par toutes les villes restantes, enfin le voyage se termine à une ville connue. Il a également proposé d étudier comment on devait bloquer un certain nombre de villes (qui. par suite, ne pouvaient être traversées) afin d'obtenir un efiet déterminé et variable suivant les cas. Si nos recherches sont complètes, ces problèmes n'ont pas encore été soumis h. l'analyse mathématique.

. Marche du cavalier sur l'échiquier. *- Un autre problème géométrique dont l'étude a donné lieu à des recherches vraiment curieuses comme ingéniosité et qui présente quelque analogie avec celui d'Hamilton, consiste à déplacer sur un échiquier un cavalier de façon à lui faire occuper successivement les 64 cases sans passer deux fois sur la même.

La littérature sur ce sujet est si étendue (^) qu'il serait préten-

(*) Pour la bibliographie du sujet, voir Der Likoe, Gesçhichte und Lileratur des Schachspieîs, Berlin, 1874» vol. II, pp. loi-iii. Sur le problème lui-même voir un mémoire de P. Yoj.I|1gslu dans Atti délia Reak Accademia dei Lincei, Rome, 1872, vol. XXV, pp. 87-162; également Applications de

tieux de notre part de chercher à présenter l'historique complet des diverses solutions de ce problème, nous nous contenterons de réunir quelques notes, prises un peu au hasard, sur certaines solutions et en particulier sur celles dues à De Moivre, Euler, Vandermonde, Warnsdorff et Roget.

Sur un échiquier contenant un nombre pair de cases, la route à suivre peut être rentrante ou non, mais si le nombre des cases est impair, la route ne peut être rentrante. Car si le cavalier part d'une case blanche, son premier mouvement l'amène sur une case noîre^ le suivant sur une case blanche, et ainsi de suite. Par conséquent, après son passage sur toutes les cases d'un échiquier d'un nombre impair de cases, le dernier mouvement doit le laisser sur une case de la même couleur que celle d*où il est parti, et dès lors aucun mouvement ne pourra réunir ces deux cases.

Les solutions les plus anciennes dont nous ayons connaissance sont celles données à la fin du xvii'' siècle par De Montmort et De Moivre (^). Elles s'appliquent à l'échiquier ordinaire fie 64 cases et reposent sur la division mentale de l'échiquier en un carré central intérieur de seize cases entouré par une enceinte de deux rangées. Si, à l'origine, le cavalier est placé sur une case de la bande extérieure, il se déplace le long de cette bande et toujours dans le même sens, de façon à toucher chaque case ; il ne pénètre dans lé carré central que dans le cas de nécessité absolue. Quand les cases de l'enceinte ont toutes été occupées successivement, Tordre des mouvements à faire prendre au cavalier pour le faire passer sur les cases restantes se détermine sans grande difficulté. L'opération est con-

V analyse mathématique au jeu des Echecs, par C.-F. db Jaenisch, 3 vol., Saint-Pétersbourg, i862-63; et des articles du général Parmebtier, dans les comptes rendus de ['Association française pour Vavancement des Sciences, 1891, 1892, 1894.

(*) Nous ne savons dans quel ouvrage elles furent publiées pour la première fois. Elles sont mentionnées par Ozaii am et Montucla ; voir Ozanam, édition de i8o3, vol.l, p. 178; édition de i84o, p. 80.

PEOBLÈMES DES TRACÉS COMTOUS

duite en sens contraire lorsqu'à l'origine le cavalier est placé sur une case du carré central.

Celte méthode est applicable à des carrés et à des rectangles de toutes dimensions, elle est rendue suffisamment compréhensible par la solution de De Moivre donnée dans la figure ci-après. Les nombres inscrits dans les diverses cases sur cette figure représentent

Fig. 97 Solution de De Moivre

Fig. 98 Solation d*Ealer pour le carré de 36 casos.

Tordre dans lequel ces cases doivent être successivement occupées. Nous avons placé à côté une solution par route rentrante, due à Euler et s'appliquant à un échiquier de 36 cases. Il est avantageux, pour se guider sur Téchiquier, de placer un jeton sur chaque case au moment où le cavalier l'abandonne.

Gomme étude sérieuse de la question faite ensuite nous mentionnerons l'essai tenté par Euler en 1769 (*), à l'instigation de Bertrand, de Genève, qui, un peu plus tard, (en 1778) en fit l'exposition Cette méthode est applicable à des tableaux de toutes formes et de toutes dimensions, mais d'une façon générale, les solutions qu'elle

(•) Mémoires de Berlin pour 1769, Berlin, 1766, pp. 3io-337; ou Commentationes Arithmeticœ Collectœ, Saint-Pétersbourg, i849> vol. I, pp. 337-355.

donne ne sont pas symétriques et on en saisit péniblement les liaisons mutuelles.

Euler commence par faire mouvoir au hasard le cavalier sur Téchiquier, jusqu'à ce qu'il ne puisse plus se déplacer ; avec un peu d'attention, la manœuvre peut être dirigée de façon qu'il ne reste plus que quelques cases à occuper : représentons-les par a, 6, c,..., La méthode consiste alors à déterminer certaines règles permettant d'intercaler les cases vacantes dans diiïérentes parties du circuit et aussi de rendre le circuit rentrant.

L'exemple suivant cité par Legendre comme étant un des cas les plus difficiles, est une application de la méthode. Supposons que le cavalier ait suivi la route i, 2, 3,.,..., 60 représentée par la figure 99 ci-dessous et qu'il ne reste plus que quatre cases a, b, c, d à occuper.

On commence par rendre rentrante la route de i à 60. La case i commande une case p, p étant 82, 62 ou 2 ; la case 6a commande une case q, q étant 29, 69 ou 5i. Alors, si deux de ces valeurs de p et q diffèrent d'une unité, la route peut être rendue rentrante. C'est le cas ici pour;) = 62 et ç =5i. Ainsi, les cases i,2,3,...5i ; 60, 59,..., 52 forment une route rentrante de soixante mouvements. Par suite, en remplaçant les nombres 60» 59...., 62 par 5a, 53,..., 60, les sauts seront numérotés consécutivement. Nous conseillons au lecteur, qui désire suivre avec facilité les détails que nous allons donner, de construire, avant d'aller plus loin, le carré d'Euler avec ses divisions.

II s'agit maintenant d'introduire les cases a, 6, d, dans la route. Dans le nouveau diagramme de soixante cases formé comme nous l'avons expliqué, la case a commande les cases numérotées 5i, 53, 4i. 25, 7, 5 et 3. Le choix de l'une de ces cases est indifférent, supposons que l'on prenne 5i. Alors 5i doit être placé au dernier rang de la route sur les soixante cases, de sorte que nous pourrons la continuer par les mouvements a, b, d,. Par conséquent, si l'on ajoute 9, c'est-à-dire 6o-5i, à chaque nombre du diagramme construit, en remplaçant 61, 62, 63,..., 69 par i, 2, 3,..., 9, nous ob-

PROBLÈMES DES TRAlCES CONTINUS

tenons une roule parlant de la case occupée primitivement par 60, le soixantième mouvement se fait sur la case occupée à l'origine par 5i et les soixante et unième, soixante-deuxième, soixante-troisième mouvements nous conduisent respectivement aux cases a, 6, d.

Il reste encore à introduire la case c. Or, puisque c commande la case portant actuellement le n^ j5 et que 63 commande la case numérotée a4, on peut opérer comme nous l'avons déjà fait en premier lieu pour obtenir une roule rentrante. En fait, les cases nu-

SI

Fig. 99 Fig. 100

Exemple de la méthode d'Euler.

mérotées i, 2, 3,..., 24 ; 62» 63,.... 25. c constituent une marche du cavalier; nous remplaçons 63, 62,..., 25, par les nombres 25, 26,..., 63 etaloF» le n"* 64 tombe sur la case c. En opérant ainsi, on obtient une route couvrant sans lacune Téchiquier.

Enfin, cette route doit être rendue rentrante. Tout d'abord, les cases I et 64 doivent être situées dans le voisinage l'une de l'autre et ceci peut s'effectuer comme il suit : Prenons une des cases com* mandées par i, 28 par exemple, 28 à son tour commande 1 et 27. Par suite, les cases 64i 63,..., 28; 1, 2, 3,..,, 27 forment une route, et nous représenterons cette disposition sur le diagramme en remplaçant les n" i, 2,..., 27 par 27, 26 i.

Maintenant, la case occupée par i commande les cases 26, 38, 54, 12, 2, i4f 16 et 28 ; et la case 64 commande les cases i3, 43, 63, 55. Les cases i3 et i4 étant consécutives, il en résulte que les cases

64. 63,..., i4 ; i, 2, 3,..., i3 forment une roule. Dès lors, en remplaçant les nombres i, 3, 3,.... i3 par i3, 12,..., i, on obtient une route rentrante couvrant l'échiquier et représentée par la seconde figure de la page 2 23.

Euler a montré comment il était possible de déduire d'une route rentrante quelconque sept autres routes rentrantes.

Il n'est pas difficile non plus d'appliquer la méthode de façon à obtenir une route commençant à une case donnée et finissant à une autre case également donnée.

Euler s'est occupé ensuite des modifications à faire subir à sa méthode pour en permetlre l'application à certains cas comprenant des conditions restrictives.

Un exemple intéressant est celui dans lequel les trente-deux premiers mouvements doivent s'effectuer sans sortir de la moitié de l'échiquier ; la figure ci- après représente une des solutions de ce

HO

ai

SO

Fig. 101 Fig. 103

Solution d'Euler pour les deux Solution de Roget pour les deux

moitiés de réchiquier. moitiés de l'échiquier.

cas. L'ordre des 32 mouvements peut être déterminé par la méthode d'Euler. 11 est, d'ailleurs, évident que si l'on ajoute 32 à chacun des nombres inscrits dans les cases parcourues pendant les 32 premiers mouvements, nous obtenons une suite correspondante de mouvements de 33 à 64 qui couvrent l'autre moitié de l'échi-

PROBLÊMES DES TRACés CONTINUS 22^

quîer. Mais, généralement, la case numérotée 33 n'est pas commandée par la case 33 et ne donne pas le passage au cavalier, de même la case 64 n'est pas commandée par i ; Euler, cependant, a montré qu'il était possible d'effectuer les 32 premiers mouvements, de telle sorte qu'en faisant tourner de deux angles droits, la moitié de l'échiquier contenant les mouvements de 32 à 64* les deux routes n'en forment plus qu'une seule rentrante.

En représentant par x et y les coordonnées d'une case quelconque par rapport à deux côtés consécutifs de l'échiquier, nous pouvons appeler case complémentaire celle dont les distances aux côtés opposés sont respectivement égales à x et j. Ainsi, x et y désignant la colonne et la rangée d'une case, les deux cases {x, y) et (9 — x, 9 — y) seront complémentaires. Par conséquent, dans la solution d'Euler deux nombres inscrits dans deux cases complémentaires diffèrent de 32 : par exemple, la case (3, 7) est complémentaire de la case (6, 2), l'une est occupée par 67 et l'autre par

La méthode de Roget décrite plus bas peut également être suivie pour donner des solutions par demi-échiquier. Nous en donnons un exemple ci-dessus.

Euler consacre la fin de son mémoire à montrer comment sa méthode s'applique à des figures en croix ou à d'autres rectangles. Nous citerons particulièrement son élégante solution symétrique et en une route rentrante sur un carré de cent cases, c'est-à-dire sur le damier français.

Les recherches sur ce même problème faites dans la suite et présentant quelque intérêt sont dues à Yandermonde ('), qui traita la question par l'arithmétique. L'idée de sa méthode est de tracer au hasard deux ou plus de deux routes indépendantes couvrant l'échiquier, puis de les relier entre elles de façon à n'avoir que la seule

(*) L'histoire de V Académie des sciences pour lyyi* Paris, l'^ji, pp. 566-

Récréations mathématiques, II. i5

âa6 HBGRÉATIOHS UATHÉMATIQUES

route cherchée. Il définit la position d'une case sur Téchiquier par

une fraction - dont le numérateur x représente le rang de la case

à partir de Tun des cotés, et dont le dénominateur y désigne son rang à partir du côté adjacent ; ceci revient à dire que a; et y sont les coordonnées de la case par rapport à deux côtés consécutifs de l'échiquier. Dans une série de fractions représentant la marche du cavalier» la différence entre les numérateurs de deux fractions consécutives ne peut être que i ou a, tandis que la différence entre les dénominateurs correspondants est respectivement 12 ou i . De plus^ a; et 7 ne peuvent être moindres que 1 ou plus grands que 8. Cette notation est commode, mais Vandermonde ne l'a utilisée que pour déterminer une solution particulière du problème pour un échiquier de soixante-quatre cases ; sa méthode est analogue à celle suivie par Euler, elle n'est applicable qu'aux carrés d'un ordre pair. La route à laquelle il est arrivé est définie, au moyen de sa notation , par les fractions suivantes :

5* V V V V V 2' ré' 7' 2* 3' 7' 2' 4' 5' 7' g'-B' 4' B* 2i32i3i243i243i32i3i2

43i 2434578678687568 j 56 VV 5' 7' g* 6* 4' 6' 5' 7* 8' 6' 8' Y 6' 8' 7* 5' 4'!2' ï'3"

La route est rentrante mais non symétrique. S'il avait eu l'idée de transporter les trois premières fractions à la fin de la série, il aurait obtenu deux circuits symétriques de trente-deux mouvements réunis non symétriquement et il lui aurait été possible de donner plus d'extension au problème. Vandermonde examina également le cas du cavalier se déplaçant dans un cube divisé en petits cubes élémentaires.

En 1773, Gollini (*) proposa l'usage exclusif de routes symétri-

(*) Solution dvL problème du cavalier au Jeu des Echecs, Manrheim, 1778.

PROBlIeMBS des tracés CONTEfUS 227

ques tracées sans liaison avec la case initiale, mais réunies ensuite de façon à permettre au cavalier de partir de cette case. C'est là le fondement des méthodes modernes. Cette méthode fut retrouvée, en 1825, par Pratt (*) et en i84o par Roget, depuis elle a été employée par plusieurs auteurs ; mais ni CoUini, ni Pratt ne montrèrent beaucoup d'habileté en l'appliquant. Nous examinons plus loin la règle donnée par Roget.

L'une des solutions les plus ingénieuses du problème de la marche du cavalier est celle qui fut présentée en 1828 par Warnsdorff (*). Sa règle consiste à placer toujours le cavalier sur la case d'où il commandera le plus petit nombre possible de cases n'ayant pas encore été occupées. La solution ne donne pas une route symétrique et rentrante et il est difficile de la tracer pratiquement. L'exactitude de la règle n'a pas été démontrée, mais elle a été vérifiée jusqu'ici pour tous les cas examinés ; elle s'applique probablement aussi à tous les casiers rectangulaires pouvant être parcourus d'une façon complète par le cavalier. Chose curieuse, dans la plu« part des cas, une faute commise, à moins que ce ne soit dans les trois ou quatre derniers mouvements, ne modifie pas le résultat final.

WarnsdorfF avait avancé que si, en appliquant sa règle, on trouve que le cavalier a le choix entre deux ou plus de deux cases, il est indifférent de le placer sur une case plutôt que sur une autre. Ceci n'est pas exact, et on a relevé, avec beaucoup d'ingéniosité, deux ou trois cas fautifs, mais pour tomber accidentellement sur une de ces routes défectueuses, il faudrait une mauvaise chance exceptionnelle.

Cette méthode a été appliquée à des figures de formes variées, principalement à des casiers rectangulaires, en forme de croix et circulaires ('). Dans toutes les recherches plus récentes, faites sur

(*) Studics of Chess, 6" édition, Londres, iSaS.

(*) Des Rôsselsprunges einjachste und allgemeinste Lôsungj Schmalkalden^ 1823 ; voir Jaenisch, vol. II, pp. 56-6i, 273-389. (8) Voir l'ouvrage de Gollini, Del cavalho degli Scacchi, Paris, i836.

cette question, on s'impose comme condition additionnelle que la route doit être rentrante ou, plus généralement, qu'elle doit commencer et finir par des cases déterminées.

La solution la plus complète et la meilleure de toutes celles que nous connaissons — et qui est très peu répandue, pensons-nous — est due au D'^ Roget (*). Il divise la route en quatre circuits que Ton peut combiner de manière à permettre au cavalier de partir d'une case quelconque pour arriver à une autre case quelconque de couleur différente. Si, par suite, on choisit cette dernière case parmi une de celles qui sont commandées par la case de départ, on a une route rentrante. D'un autre côté, la règle ne s'applique qu'aux casiers comprenant (4n)^ cases ; on ne peut donc s'en servir, par exemple, pour le damier français qui contient cent cases.

Roget commence par diviser le casier de soixante-quatre cases en quatre quartiers contenant chacun seize cases ; ces seize cases à leur tour peuvent être arrangées en quatre groupes dont chacun est constitué par quatre cases formant une route fermée du cavalier. Toutes les cases de chacune de ces routes élémentaires portent une même lettre /, e, a ou p suivant les cas. Ainsi qu'on peut le voir sur la figure i ci-après, la route des quatre cases marquées l et celle des quatre cases désignées par p forment des losanges ; les routes représentées respectivement par les voyelles e et a forment des carrés.

Maintenant les seize cases qui, sur l'échiquier, portent la même lettre peuvent être combinées de façon à constituer un circuit, et quel que soit son point de départ nous pouvons le terminer sur une autre case quelconque, pourvu qu'elle ne soit pas de la même couleur que la case de départ. Si le choix de la case terminus est indif-

(') Philosophical magazinef avril i84o, série III, vol. XVI, pp. 3o5-3o9 î voir aussi le Qiiaterly Journal of Mathematics pour 1877, vol. XIV, pp. 354-359. Quelques solutions basées sur la méthode de Roget sont données dans le Leisure Hour, i3 septembre 1873, pp. 587-590; voir également i6i(i., décembre 20, 1873, pp. 8i3-8i5.

PROBLEMES DES TRACÉS CONTINUS

férent, le cireuit peut être rentrant, et dans ce cas nous pouvons faire en sorte que le mouvement du cavalier dans chaque groupe de quatre cases soit le même. Par exemple, toutes les cases marquées p, peuvent être arrangées dans le circuit représenté par les nombres successifs de i à 16 dans la figure 2 ci-aprcs. De même, toutes les cases marquées a figurent dans le circuit indiqué par les nombres successifs de 17 à a3 ; toutes les cases / entrent dans le circuit de â3 à 48 et enfin, l'ensemble des cases e nous fournit le circuit de ^9 ^ 64. Chacun de ces circuits est symétrique et forme une route rentrante. Les circuits sont dits de même espèce lorsqu'ils sont représentés, soit par des voyelles, soit par des consonnes ; ils sont d'espèces différentes lorsqu'ils sont représentés par des voyelles et par des consonnes.

Le problème général sera résolu en formant avec les quatre cir-

Ki

fi

Fig. io3

Solution de Roget.

Fig. \ol\

cuits une route partant d'une case donnée quelconque pour se terminer au soixante-quatrième mouvement sur une autre case également donnée (de couleur différente). A cet effet, Roget donne les deux règles suivantes :

I** Si les cases initiale et finale sont désignées l'une par une consonne et l'autre par une voyelle, on suit alternativement des cir-

23o RéGRÉATIONS MATHÉMATIQUES

cuits représentés par des consonnes et des voyelles, en commençant par celui (de seize cases) défini par la lettre de la case de départ et en terminant par le circuit défini par la lettre de la case d'arrivée*

2° Si les cases initiale et finale sont désignées toutes les deux par des consonnes ou toutes les deux par des voyelles, on choisit d'abord une case Y appartenant au même circuit que la case finale, Z, et à un mouvement de distance de cette case ; puis on prend une case X appartenant à l'un des circuits différents d'espèce de celui de la case finale Z, et à un mouvement de distance de Y. Cette double opération est toujours possible. Laissant alors momentanément de côté les cases Z et Y, on peut, d'après la règle déjà donnée, voyager de la case initiale à la case X en soixante-deux mouvements, puis de là, à la case finale en deux mouvements.

Il faut noter cependant que dans les deux cas, les cases dans chacun des trois premiers circuits, doivent être choisies de telle sorte que la route n'aboutisse pas à une case d'angle, et il est également préférable qu'elle ne se termine pas sur l'une des cases en bordure-. Ceci exige quelques précautions. Autant qu'il est possible, en tenant compte de ces prescriptions, il est avantageux d'avoir les circuits rentrants et de prendre chacun d'eux ou chacun des groupes de quatre cases dans le même sens de rotation.

Comme exemple, supposons que la case de départ soit celle numérotée I dans la figure io3 de la page 22g, qui appartient à l'un des circuits p, et que la case d'arrivée soit la soixante-quatrième, qui appartient à l'un des circuits 6. Nous sommes dans le cas de la première règle : par suite nous prendrons en premier lieu les seize cases marquées p, puis les seize cases marquées a, ensuite les seize cases marquées l et enfin les seize cases dénotées e, La figure indique l'une des routes à suivre. Elle est rentrante puisque la case soixante-quatre est commandée par la case i . De plus les quatre circuits dans le diagramme sont symétriques, rentrants, et pris dans la même direction, le seul point où il semblerait y avoir une lacune dans l'uniformité de la roule et au passage de la case Sa à la case 33.

PROBLiSMES DES TRACÉS CONTINUS 23 1

Une règle analogue à celle de Roget pour obtenir des routes rentrantes a été présentée depuis par plusieurs autres auteurs et en particulier par De Polignac (*) et par Laquière (*) qui ont traité longuement le sujet. Ni Pun ni l'autre ne paraissent avoir eu connaissance des théorèmes de Roget. De Polignac, comme Roget, assigne, ainsi que nous l'ayons expliqué plus haut, des lettres aux divers carrés, et il avance qu'une règle semblable est applicable à tous les carrés d ordre pair.

La méthode de Roget s'applique également aux demi-échiquiers, comme le montre la figure de la page 223.

Un autre mode de subdivision du casier en circuits fermés pouvant être réunis a posteriori en une seule route, a été donné en 1843 par Moon (•). Il divise le casier en un carré central contenant 4* cases et une bordure au pourtour (voir la figure ci-après). Cette bordure peut être divisée en quatre circuits fermés, contenant chacun douze cases désignées respectivement par les lettres a, 6, c, d. Le carré central peut être divisé semblablement en quatre circuits fermés, contenant chacun quatre cases représentées par les lettres A, B, C, D. Ces diverses routes se réunissent comme il suit :

Si nous nous déplaçons de dedans en dehors, du carré central à la bordure, on peut sauter de la case A sur Tune des cases 6, c ou d (mais non sur la case a) et de même pour les autres lettres. Si nous nous déplaçons de dehors en dedans, de la bordure au carré central, on saute de^a sur D, ou de d sur A, ou de b sur G, ou de c sur B, suivant le cas qui se présente.

Par suite, si la case initiale est a, on peut suivre l'un ou l'autre des cycles aD6GdAcB, ou aDcBc[A6G. En appliquant ces règles il est toujours possible de réunir les diverses routes en un seul parcours

(^) Comptes rendus, avril 1861; et Bulletin de la Société Mathématique de France, 1881, vol. IX, pp. 17-24.

(2) Bulletin de la Société Mathématique de France, 1880, vol. VIII^ pp. 82*102, t32-i58.

(») Cambridge Mathematieal Journal, i843, vol. III, pp« 233-236.

qui, en général, n'est pas rentrant. 11 est avantageux de choisir les cases dans chaque circuit dans une seule direction et toujours la même, mais dans la bordure extérieure un circuit ne doit pas aboutir à une case d'angle, et pour éviter que le fait se produise, on peut être dans l'obligation de changer la direction d'un des circuits. La règle de Moon peut être modifiée de façon à obtenir une route couvrant toutes les cases d'un carré quelconque et la route

SI

Fig. io5 Solution de Moon

Fig. xo6 Solution de Jaenisch.

peut commencer et se terminer sur deux cases données quelconques, mais il est inutile d'entrer ici dans de plus longs détails.

La méthode que donne Jaenisch comme fondamentale ne diffère pas essentiellement de celle de Roget. Elle conduit à huit formes semblables à celle du second diagramme ci-dessus dan'S lequel la somme des nombres dans chaque colonne et dans chaque ligne est a6o. Mais bien que la solution soit symétrique elle n'est pas, selon nous, aussi facile à reproduire que celle présentée par Roget.

On n'a pas encore pu déterminer exactement, jusqu'à présent, le nombre des solutions du problème. Legendre (*) a posé la question, mais Minding C'^) est le plus ancien auteur qui ait tenté d'y

(*) Théorie des Nombres, Paris, 2* édition i83o, vol. II, p. i65. (*) Cambridge and Dublin Mathematical Journal, i853, vol. III, pp. i47*i56 ; t Journal de Crelle, i853, vol. XLIV, pp. 78-82.

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS 233

répondre. Des recherches plus récentes ont montré que, d'une part, le nombre des routes possibles est plus petit (*) que le nombre des combinaisons de 168 objets pris 63 à la fois, et que, d'un autre côté, ce nombre est plus grand que 3i o54 i44 î ce dernier nombre étant celui des routes rentrantes d'un type particulier (^).

Il existe bien des problèmes du même genre dans lesquels on demande de déterminer les routes permettant à une pièce se déplaçant suivant des lois connues (par exemple une pièce d'un jeu d'échec comme le roi, le cavalier, etc.) de voyager sur un échiquier, en partant d'une case donnée pour arriver à une autre case également donnée, en passant successivement une fois, et une fois seulement, sur toutes les cases de l'échiquier ou sur un certain nombre de cases fixées.

La méthode d^Euler peut servir à la recherche d'une telle route ; ainsi il Ta appliquée à la détermination de la route rentrante permettant à une pièce se déplaçant successivement de deux cases comme la tour, puis d'une case avec la marche du fou, d'occuper successivement toutes les cases noires d'un échiquier.

Comme autre exemple, une tour sur un échiquier de m^ cases peut toujours être déplacée de manière à passer sur toutes les cases une fois et une fois seulement. De plus, partant d'une case quelconque, si n est pair, sa route peut se terminer sur une autre case quelconque de couleur différente, et si nest impair, sa route peut se terminer sur une case quelconque de même couleur (').

Il nous paraît sufHsant d'avoir traité le problème classique relatif à la marche du cavalier sur l'échiquier ordinaire, et il nous parait superflu de discuter d'autres problèmes du même genre.

Les dominos. — Tout le monde sait que Ton désigne sous le nom de dominos des espèces de petits parallélépipèdes rectangles

(*) Jàeiiisgh. — Vol. II, p. 268.

(2) Bulletin de la Société Mathématique de France^ 1881, vol. IX, pp. 1-17.

(3) L'Intermédiaire des Mathématiciens , Paris, juillet 1901, p. i53.

aéGB^ATlONg MATHÉMATtQtJCS

doat la largeur est double de l'épaisseur et dont la longueur est double de la largeur. La partie inférieure est ordinairement en ébène ou en un bois noir quelconque, la face supérieure, en ivoire ou en os, est divisée, au moyen d'une ligne, en deux carrés qui sont blancs ou marqués d'un certain nombre de gros points teints en noir.

Le jeu se compose ordinairement de a 8 dominos formant les combinaisons complètes de 8 blancs (zéros). 8 as (un), 8 deux, 8 trois, 8 quatre, 8 cinq et six, pris deux à deux.

Quand les numéros inscrits sur les deux moitiés d'un domino sont égaux, le domino s'appelle 'double.

Voici la notation d'un jeu de domino ordinaire, depuis le double blanc jusqu'au double six.

Fig. 107 On peut aussi la représenter comme suit :

Fig. loS

Dans le Nord de TEurope on joue avec des jeux comportant un

PaOBLEMSfl DEâ TRACÉS CONTINUS 235

plus grand nombre de combinaisons. En Russie, les dominos vont jusqu'au double sept, en Angleterre et en Allemagne, jusqu'au double huit, et^ en Suède, jusqu'au double neuf; enfin il a été fabriqué des jeux allant jusqu'au double douze.

En France, où le jeu est très répandu, surtout dans le Midi, on fait exclusivement usage du jeu à ^8 dominos.

Les dominos paraissent avoir été connus des anciens Grecs, des Hébreux et des Chinois. L'usage s'en répandit à Paris vers le milieu du xviii" siècle.

Quant à l'étymologie du nom, les savants ne sont pas d'accord. On a avancé que ce jeu étant autrefois permis dans les couvents d'Italie, quand un religieux gagnait la partie, il s'écriait en posant son dernier dé : Domino graiiaa (merci, mon Dieu), d'où vint le mot domino.

Voici d'autres opinions non moins fantaisistes :

« Parmi les joueurs de dominos, il y a un proverbe qui attribue l'invention de ce jeu à un abbé qui portait le nom de Domino^ et qui l'aurait donné à sa merveilleuse découverte ; d'autres prétendent que ce nom vient du nom du camail de chœur des chanoines (noir doublé de blanc), lesquels appelaient ce vêtement du troi- , sième mot du premier psaume des vêpres : Dixit Dominas domino,,, parce que c'était surtout aux offices du soir que l'on portait cette partie du costume. Quelques-uns affirment que les dés mi -partis noir et blanc rappelaient tellement l'aspect de l'habit des chanoines dans leurs stalles qu'on leur décerna le nom du camail lui-même. Quoi qu'il en soit, ce fut de l'Eglise que sortirent et le nom d'un jeu et le nom d'un costume de bal.

< Le jeu de domino a une allure peu élégante ; la simplicité de son attitude prévient mal en sa faveur, et on éprouve quelque surprise à le trouver si séduisant et si rempli de hautes pensées ; c'est un savant modeste dont on ne soupçonne pas les mérites, au premier aspect, mais qu'on apprend à aimer ensuite. D'insolentes comparaisons ont tenté de le rabaisser jusqu'à la fraternité du jeu

236 RÉGRÊATIOIfS MATHÉMATIQUES

de Toie, cette niaiserie renouvelée des Grecs, et du loto, cette loterie des portiers.

« Si quelque chose pouvait ajouter à la considération que nous inspire ce jeu, nous trouverions de nouveaux motifs de Tadmirer dans la noblesse de ses passions. Il est loin de la cupidité : il aime les petits enjeux ; il joue avec économie ; et, pourtant, c'est le îeu qui soulève les plus fougueuses tempêtes, les altercations les plus vives ; il va jusqu'à la vendetta. Son nom est vénitien, son caractère est corse. Il vit surtout par le point d'honneur.

(( Le jeu de dominos a vu naître, mourir et renaître tous les jeux ; il vivra autant que le café, et le café vivra autant que Racine... c'est l'immortalité (*). »

Faisons connaître maintenant la propriété numérique caractéristique du jeu.

Si l'on fait la somme de tous les points marqués sur les dés d'un jeu et si on divise cette somme par le nombre des dominos, c'est-àdire des dés doubles, on obtient la moyenne de chaque dé.

Cette moyenne est égale à six dans le jeu ordinaire.

Elle est égale à sept avec le jeu allant jusqu'au double sept.

Elle est égale à huit avec le jeu allant jusqu'au double huit.

Nous allons démontrer la proposition pour le jeu ordinaire.

Définissons d'abord ce qu'on appelle dominos complémentaires.

Considérons le domino 2-5 et plaçons au-dessous le domino 4-i ; nous voyons que le nombre de points marqués sur chacun des carrés du premier, ajouté respective :nent au nombre des points marqués sur les carrés du second domino, forment une somme égale à 6.

Deux pareils dominos sont dits complémentaires.

Ainsi le 3-5 et le 3-i sont complémentaires, il en est de même du 4-3 et du 2-3.

(») Eugène Briffaut. — Revue mensuelle Le Palamhde (i5 mars i843).

PROBLEMES DES TRACÉS CONTINUS 287

Mais il peut arriver qu'un domino soit égal à son complémentaire et il en est ainsi pour les quatre pièces suivantes du jeu :

le 0-6, le 1-5, le 2-4 et le 3-3.

Prenons alors dans un second jeu tous les dés complémentaires des pièces du premier jeu, ce qui nous donne deux jeux complets représentés par 28 couples de dominos complémentaires, c'est-àdire tels que les points marques sur les dominos de chaque couple forment le nombre 12.

Le nombre 12 est donc répété autant de fois qu'il y a de couples, soit 28 fois.

Ainsi le nombre des points d'un jeu et du jeu complémentaire, ou ce qui revient au même, le double du nombre des points d'un {eu est égal à 1 2 fois le nombre des dominos.

Par suite, le nombre des points d'un seul jeu vaut 6 fois le nombre des dominos, et la moyenne est bien égale à 6.

Cette moyenne ne change pas évidemment lorsque Ton enlève un dé dont la somme des points vaut six, ou deux dés complémentaires. La moyenne est donc encore égale à six si l'on ne tient pas compte des doubles.

D'une manière générale, si l'on suppose qu'un jeu se termine au double -n, le nombre des dominos est égal à

et le nombre total des points est égal à

Ce nombre n'est jamais égal au carré d'un nombre entier. Cette proposition se démontre rapidement comme suit : En posant n -±- 1 = Pt l'expression précédente peut se mettre sous la forme

Or, p eip^ — I étant deux nombres premiers entre eux, le pro-

a 38 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

duit p (p* — i) ne peut être un carré parfait que si chacun des facteurs p ei p* — i est lui-même carré parfait.

Mais, on ne peut avoir p^ — i = q^, puisque la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit, plus un, c*e8t-à-dire h au moins 3 unités.

On ne peut pas avoir non plus

p (p2 - i) = 3N2 car, d'après ce qui précède, il en résulterait

p^ — I = a, d'où p^ = 3

et 3 n'est pas un carré.

Nous ne nous arrêterons pas au vocabulaire et aux règles du jeu que Ton trouve dans tous les traités spéciaux, nous nous contenterons d'en exposer sommairement la marche.

Le jeu de dominos se joue de plusieurs façons différentes, d'après les pays et les localités, mais on peut les ramener à deux types principaux, la partie en tête-à-tête et le domino voleur, La distribution des dominos se fait toujours de la même manière ; on les retourne à l'envers de façon que les points soient cachés-; on les mêle avec la main et chaque joueur en prend un pour savoir qui aura l'avantage de la pose ; ce droit est acquis au plus fort numéro. Ensuite on remêle les dominos et chaque joueur en prend un nombre égal qu'il range devant lui ou tient dans sa main de façon à cacher ses points à l'adversaire. Les dominos restants forment la réserve ou le talon.

Partie en tête-à-tête, — Les joueurs sont, en général, deux : chacun prend sept dominos et il en reste ï4 au talon. Celui qui a la pose met sur la table le dé dont il lui convient de se débarrasser, en général le plus fort.

Le second joueur pose à son tour à côté du premier dé un domino qui doit porter sur une des moitiés de la face supérieure un nombre égal à celui qui est formé par les points sur une des moitiés du premier dé. Le jeu se continue tant que les joueurs ont des

PROBLEMES DES TRACés CONTINUS 239

dés qui se correspondent ainsi. Si l'un d'eux vient à ne plus en avoir, il boude, c'est-à-dire cesse de jouer pendant que l'autre continue à placer ses dominos, jusqu'au moment où il retrouve l'occasion de placer un des siens. La partie est gagnée par le joueur qui le premier fait domino, c'est-à-dire s'est débarrassé de tous ses dés. Mais, parfois, les dés sortis ne permettent pas d'aller jusqu'au bout, si aucun joueur n'a le numéro correspondant du dernier dé posé à chaque extrémité. Dans ce cas, les joueurs abattent le jeu et celui qui a le plus grand nombre de points a perdu. En général, on joue en un certain nombre de points, cent cinquante par exemple, et le gagnant de chaque partie compte autant de points qu*il y en a dans les dominos non placés de son adversaire.

Dans la partie en tête-à-tôte on peut prendre plus ou moins de sept dés, selon les conventions. Pour gagner, il s'agit de faire le premier le nombre de points convenus et on doit tâcher d'avoir en mains les plus faibles numéros quand le jeu se ferme. On peut encore jouer en péchant au lieu de bouder : quand un joueur n'a plus aucun domino qu'il puisse placer, il doit puiser dans la réserve jusqu'à ce qu'il en trouve un bon ; les joueurs peuvent convenir que l'on ne puisera que deux dés. On peut jouer à trois ou quatre chacun pour soi de la même manière ; dans la partie dite de la poule, chacun met un certain enjeu et le premier qui fait cent points le gagne.

Le domino voleur se joue à quatre, deux joueurs associés contre les deux autres. Chaque joueur prend six dés ef il en reste quatre au talon. Après la pose du premier dé le joueur placé à la droite du premier continue la pose et ainsi de suite. Si un joueur boude, c'est son voisin de droite qui continue. Celui qui le premier fait domino compte pour lui et son partenaire autant de points qu'il en reste dans les deux jeux de leurs adversaires ; si le jeu est fermé, les partenaires qui ont le moins de points dans leur jeu que l'on abat comptent pour eux les points réunis des adversaires. Si les points sont égaux, la partie est nulle et la main suit à droite. On joue ordinairement en cent points. La partie est simple si les points sont

2/|0 RÉCRÉATIONS IfATHÉHATlQUES

marqués alternativement par les deux camps ; elle est dite pelUe bredouille si un camp atteint cent points sans interruption, les adversaires ayant déjà compté ; et grande bredouille si un seul camp marque à la file tous les points. On paye double dans le second cas, triple dans le troisième.

La chance est importante aux dominos : mais la mémoire et l'attention sont indispensables pour bien jouer.

Le domino à qui perd gagne. — Une partie fort intéressante consiste, en suivant les règles ordinaires du jeu, à chercher à conserver en main le plus grand nombre de points et pour cette raison on la désigne sous le nom à qui perd gagne.

A ce jeu, le coup est arrêté quand l'un quelconque des joueurs ferme ou fait domino. Alors , chaque camp compte ses points ; le gagnant est celui qui en a le plus grand nombre et il marque à son actif le total de ses points.

La partie à qui perd gagne peut se jouer à deux, à trois ou à quatre.

Les coups mazima. — Dans la partie de domino à quatre chacun pour soi, si les joueurs prenaient chacun sept dés, et s'il n'y avait plus, par conséquent, de talon, il pourrait se présenter plusieurs dispositions curieuses dans lesquelles le premier joueur gagnerait nécessairement la partie, pendant que le deuxième et le troisième joueur ne pourraient poser un seul dé.

Considérons, par exemple, les quatre joueurs A, B, C, D et donnons au premier A, les quatre premiers blancs et les trois derniers as, c'est-à-dire les dominos

oo, oi, 03, o3, i4f i5, i(»,

au quatrième D, les trois autres blancs, les trois autres as et un domino quelconque, c'est-à-dire les pièces

o4, o5, 06, II, 12, 13 et un domino.

Les joueurs B et C se partagent les dominos qui restent.

Dans ce cas, A gagne nécessairement la partie après la pose des

PROBLEMES DES TRACÉS GOrïTOUS a^I

treize dominos désignés ci-dessus, tandis que B et C n'ont pu poser aucun des dés qu'ils possèdent.

Le nombre total des points de ces i3 dés étant égal à 48, le premier joueur gagne donc 1 20 points en un seul coup ; c'est le coup maximum,

La partie se résume ainsi :

Â. pose le double blanc ; B et C boudent et bouderont chaque fois, car A s'arrange toujours de manière à placer du blanc ou de Tas aux extrémités du tableau ; D peut poser Tun des trois blancs qu'il possède o4, o5, 06. Le premier joueur, A, posera l'as correspondant 4i. 5i, 61. Puis si D pose le 11, le 1 a ou le i-3, A répondra par 10, ao ou 3-o et finira toujours par poser tous ses dés.

En échangeant le blanc ou l'as avec l'un quelconque des points a, 3, 4) 5, 6, on obtiendrait d'autres parties semblables à la précédente. Le nombre de ces parties est donc égal au nombre des combinaisons simples de 7 objets pris a à a, c'est-à-dire à ai. Mais il faut ajouter que la probabilité de la rencontre d'une telle partie dans le tirage au sort des dés est extrêmement petite.

Nous ferons une observation du même genre au sujet du coup maximum de 106 points que deux associés peuvent atteindre au domino voleur. Ce coup fourni par les la plus gros dés, peut se présenter de la façon suivante :

Le joueur A possède trois blancs et les autres blancs restent au talon. Les trois blancs en main sont 0-0, o-i et o-a.

Le deuxième joueur B ne possède pas d'as et le quatrième D n'a pas de deux. Voici la notation du coup :

0-0. boude, boude, boude, o-i. boude, i-a. boude, a-o et le jeu se trouve fermé.

On compte et les joueurs B et D se trouvent posséder les 1 a plus gros dés.

Dans la partie à deux personnes, le coup maximum de 69 points

Récréations mathématiques, II. t6

RÉCaêkTIONS MATHEMATIQUES

peut se produire, quand l'un des joueurs compte âvee «es 'J dés et que ceux-ci sont les plus gros de tous.

Le mâtftdor. — On désigne soud le nom de matador une façon particulière de jouer reposant sur ce principe qu'un domîoo étant posé, il faut que le dé suivant complète le nombre de sept points, au moyen de sa moitié avancée à cdté de la moitié du dé préeédent.

Si, par eiemple, le premier joueur pose le 4i^&, il faut que le joueur suivant avance soit un :Sr (à droite), soit un 3 (à gaucbe)i de manière que les points marqués sur le» deui moitié* en ootitact donnent le nombre 7.

Ce nombre s'obtient faeilemeitt aveo lei dominât marqués $ mais il y a les blatics» avec lesquels aucun dé ne pourrait former sept, si Ton n'avait admis que, pour ne pà» fermer le jeu^ il y aurait quatre matadors ayant la propriété de le rouvrir et de faire passer les blancs.

Pour le jeu ordinaire de â8 dés» le» quatre matadori sont le fr-i» le 5-3, le 4-3 et le double-blanc*

Si Y on admet qu'après un blanc « on puisse jouer un matador* et qu'après ce dernier on puisse avancer un blanc^ les a8 dés possèdent h propriété de former un cercle ininterrompu do dés. Pour

M(M3|3|AhTITn ^ Qhhl6hUlHst^rn[?IT

^/MU^I^l3|iT44o|at5l4|3|l|TTFh ^

t.i'fï-li.'sS*»»-' -:-•-'

Fig. 109 donner un exemple^ posons un dé quelconque, pris au hasard» le 9*6 par exemple, et nous arriverons foreément au cercle suivant ou à tout autre qui lui sera équivalent,

PRÔèifciiiÊS DÉS tRAcifl côl^TiÈvs 34a

On pàrviehdra toujours à tiri résultât àhaldgiic, ëh ayant sdiri de réserver le matadôf qui porte le poittl par léqiiël Cotttmence la àérié. Dans lé cercle eî-dcssiiâ. lé poitit 2, àe ti-duvaht le premîèt, nbus avons réservé le matador 3-5, qui a été ensuite posé SànS qil'îl fenipécîiàt ië cetcie d^être Ifermé ; âî m àiait commeticê j^àr tin blanc, nous aurions têsetvê le doublé blanc, etc. Le cercle peut être cotlpé n'importe bu et festef ftrrnê ri l'on porte le itiàtâddr cdnVènablë aU pôitit dé ëdilpiiirêl.

Cette propriété des dominos cesse d'exister si l'on h*âdtnét la pose d'un bldnc aptes un ttiatàdor que lorsque ce tndtddoii' est le double blanc.

Dans ce cas, 11 téstë tottjoilrs iiti blatte, àptU lequel lé jeu est fermé. Èiï jôhant fcorttenablemeht, il est possible d'àrrlter à poser presque tous les jetons, si l*otl à soin de i-éserver tltt blâritl flotir la fin ; mais le cercle des nombres sept fi'est pas cdhiplét.

Les règles dtt jêil Èbhi tëi liulvàriles :

Chaque jdireur (ire litt dottlitld, et Id pose ^ppàHiëtii â celui qui a le point le plus élevé. Il thêld et prerîd 3 déô, qiiâud léà àuttés se soiit servis.

Il posé iih dofnîhô et ttidctiri doit édUvHf eri fdrmstht Sept fiolfttS, comme nous venons de l'expliquer. Quand un jdtiëtit tlë peut Ibtlfnîi" lé point cohvériàblé, il petit jouér uii triatàddr s'il en possède dans son jeu ; s'il n'en |)6ssèdé pa^, il pêche jiiiqii'à de qu'il ait puisé dans le talon xiti domînd lui fo'utnîsSàfil le poitiiy ou iih ttiatador.

On peut. donc placer le matador où l'on veut. On ne peut couvrir un matâdôr par un blanc (sauf quand il s'agît dii double blanc) ; on doit lé couvrir eli coinplétarit le iiombrë ^ â^éc les pbitiis dé l'une de ses moitiés. Quelquefois on donne plus de valeur au matador en cohvehant que celiil qui Tatancë, au Heii dé le posei* vèfticalemeht, le posera dàiis le sens qu'il toudtâ, et quë le joUëiit Suivant sera forcé de couvrir sur le bout resté libre.

La possession d'un matador est indispensable pour dtÉVtit le jeii terihé par un blàric.

Le droit de jouer un matador n'est pas limité ; on peut même couvrir un matador par un autre, et on a le droit de conserver un matador pour ne pas rouvrir le jeu si Ion estime qu'il y a avantage à le laisser fermé.

On joue ordinairement le matador à deux ; mais trois ou quatre joueurs peuvent y prendre part. On peut convenir que le vainqueur sera celui qui fera le premier domino ou qui aura le moins de points quand le jeu sera fermé ; ou bien encore on joue en loo ou i5o points.

Pour tout le reste, les règles, les fautes et les pénalités sont les mêmes que dans le jeu ordinaire.

A moins de convention contraire, on joue des deux côtés du jeu ; quelquefois cependant on préfère ne jouer que d*un seul côté, soit de droite à gauche, soit de gauche à droite.

Voici quelques remarques utiles :

Puisqu'il est impossible de poser contre un blanc autre chose qu'un matador, on doit s'efforcer de faire jouer l'adversaire sur les blancs pour diminuer ses chances de posséder ensuite des matadors.

Quand on suppose, par la marche du jeu, que l'adversaire possède des blancs, on s'efforce, aussi longtemps que possible, de l'empêcher de les poser.

On ne pose soi-même de blanc que lorsqu'on possède un matador.

On joue quelquefois le matador avec un jeu de 55 dominos, dont le double neuf est le plus élevé ; le double sept forme alors un cinquième matador, sur lequel l'adversaire doit en jouer un autre.

Cinq partout ou muggins. — Cette variante du jeu est très répandue en Angleterre ; elle exige beaucoup de pratique et de calcul.

Deux, trois ou quatre joueurs peuvent y prendre part en même temps et prennent le même nombre de dominos, pourvu qu'il en reste au moins deux au talon et que chaque joueur n'en ait jamais plus de sept.

Les dominos se mêlent et se servent comme dans les autres jeux.

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS

Le principe du muggîns est de poser les dominos de façon que les deux extrémités libres du jeu forment un total de 5 points ou d'un multiple de cinq.

Les doubles se posent transversalement, et cette position, facultative dans la plupart des autres parties, est ici absolument obligatoire pour des raisons que l'on comprendra par ce qui suit :

Chaque cinq ou multiple de cinq que l'on forme en posant un domino, par le total des points marqués sur les extrémités libres du tableau, vaut un point à celui qui vient de jouer.

Chaque joueur doit avoir à son tour le droit de jouer le premier, en allant de droite à gauche dans chaque partie.

Le vainqueur est celui qui atteint le i*' le nombre de 3i points.

Donnons un exemple.

Le premier joueur, par exemple, avance le double cinq et marque a points. Ce domino est le meilleur qu'un joueur puisse posséder quand il est le premier à jouer : il produit a points et empêche de compter le joueur suivant, si celui-ci n'a pas le cinq blanc.

Supposons que le deuxième joueur ne puisse jouer que le 5-6, les deux extrémités libres du jeu formeront un total de lo -h 6 = i6. Donc rien à marquer.

Le domino suivant étant un 5-4 posé du côté du double cinq, le joueur qui l'a posé comptera a points^ puisque les extrémités libres donnent 6 + 4= lo = 5X3.

Le joueur suivant n'a pas de 4 et se voit forcé de poser le double six (transversalement) ; il n'a donc rien à compter attendu que les extrémités donnent 6 x a -i- 4 = i6.

Mais celui qui vient après lui a le double quatre ; il le pose transversalement, ce qui fait 8 points à un bout et 12 à l'autre, soit 20 points. Le joueur marque 4 points et c'est le plus grand nombre de points qu'il est possible de faire en un seul coup.

La figure ci-dessus donne la disposition^de la partie.

ir

Fig.

346 AfaliATIOn MATfféVATIQCJ^

On oontinue ainsi jusqu'à épuisement des dominos* Tout dé produisant un ou plusieurs points doit être appelé k haute voix par le joueur.

Trois partout. -^ C'est un^ modification du muggios. Il faut, pour gagner un ou plusieurs points, que le total des points des extrémités libres soit 3 ou un multiple de 3»

Pour gagner la partie, il faut arriver h 5o points. On peut mar* quer i, a, 3, 4> 5 ou 6 pointa à la fois, suivant que les extrémités forment un total de 3, 6, 9, I3, i5 ou 18.

Le 3 peut être obtenu quand il y a double as à un bout et as à l'autre, ou quand on a blanc à une extrémité et 3 à l'autre. Le point le plus élevé que l'on puisse marquer d'un seul coup est 6, que l'on obtient avec un double six à un bout et six ou double trois à Tautr^.

Dispositions reotilignes des dés d'un jeu ordinaire. —

Considérons une disposition rectiligne quelconque des dés d'un jeu. D'après la règle, deux dés consécutifs doivent se toucher par des points équivalents. On voit alors facilement que l'élément final est le même que l'élément initial, c'est-à-dire que si le tableau commence, par exemple, par un 4> îl ^ terminera nécessairement par un 4, à la condition d'employer tous les dominos.

Observant, en effet, que si on enlève tous Iqs doubles d'une combinaison rectiligne quelconque, et si on rapprocbe les pièces restantes de manière à rétablir la continuité de la chaine, on obtient encore une combinaison rectiligne remplissant les conditions du jeu. Chaque point étant inscrit sur 6 dominos, le point initial doit se rencontrer encore en cinq autres endroits de la combinaison rectiligne. Mais dans l'intérieur de celle-ci, chaque point se présente deux fois de suite : d'abord comme seconde moitié d'un dé, puis comme première moitié du dé suivant. Il résulte de là que l'élément initial,ne pouvant figurer qu'un nombre pair de fois dans l'intérieur de la combinaison, ne s'y rencontrera que 4 f^^* et devra

PROBLEMES D^S TRACES CONTINUS 24

néceMairemeni se trouver à un endroit où il ne sera pas suivi d'un point égal, c'est-à-dire à l'autre extrémité de la combinaison.

Cette démonstration s'applique à tous les jeux de dominos qui se terminent par un double pair (double quatre, double six» double huit, etc.).

Lorsque le jeu se termine à un double impair (double trois, double cinq^ double sept, etc.) il n'est plus possible de former des dispositions rectilignes suivant les règles du jeu en employant tous les dés.

Remarquons, en effet, que dans un jeu de dominos composé de toutes les combinaisons complètes des points de o à (a a — i), chacun des points, à V exclusion des doubles, se trouve répété (an — i) fois. Dès lors, aussitôt qu'un point différent du point initial aura été répété (a n — <- i) fois, il sera impossible de placer un nouveau domino, puisqu'il n'y aura plus de domino contenant ce point. Quant au point initial, il pourra être répété (a n — i) fois sans fermer le jeu. Il résulte de là que le nombre maximum de points que Ton peut placer d'après les règles du jeu, à l'exclusion des doubles, comprendra ; i^ les a points extrêmes, répétés (an — i) fois ; a° les autres points, en nombre (an— a), répétés (an — a) fois. Ce nombre maximum sera donc

a (a n — i) -4- (a n -^ ji)' ;

le nombre maximum des dominos composant la disposition rectiligne est la moitié du précédent, ou

an»— an -f* t.

Le nombre total des dominos étant, sans les doubles, égal à n (a n — i), il reste toujours un lalon contenant au moins (n — i) dominos.

Il n'y a d'exception que pour n = i , c*est-à dire dans le cas où la disposition rectiligne ne comprend qne le seul domino blanc-as (*).

(1) Cette démonstration est de DBUiniOT, Voir LycAs, Récriationi nmthématiquesj tome II, p. 65,

Il résulte de tout ce qui vient d'être dit que si on retire d'un jeu ordinaire (ou plus généralement d*un jeu qui se termine à un double pair) un dé quelconque qui ne soit pas un double, le 3-i par exemple, les diverses dispositions rectilignes qu'il est possible de former avec les autres dés en partant d'un domino quelconque et en appliquant la règle du jeu pour la pose successive des dés, seront terminées à Tune des extrémités par un 3 et à l'autre par un 4-

On peut mettre à profit cette propriété pour exécuter une récréation qui excite généralement l'étonnement des personnes qui la voient pour la première fois.

On dispose sur une table tous les dominos retournés, on les mêle et en exécutant cette opération, on en subtilise un adroitement. On le regarde en cachette,en s'assurant que c'est un dé composé, soit le 3-4. On invite alors une personne de la société à tirer un dé au hasard et à l'abattre face découverte. On paraît alors s'absorber mentalement dans de longs calculs à la suite desquels on prie la personne de placer tous les dominos en partant de celui déjà posé et en suivant les règles du jeu, de la façon qu'elle voudra, en lui annonçant à l'avance que la chaîne se terminera d'un côté par un 3 et de l'autre par un 4.

Le tour exécuté, on peut recommencer l'opération, en remettant le 3-4 dans le jeu et en enlevant un autre domino.

Nombre des dispositions rectilignes. — Nous avons vu qu'en rangeant les pièces d'un jeu de dominos ordinaire les unes à la suite des autres d'après la règle du jeu, on formait ce que nous avons appelé une disposition rectiligne dans laquelle l'élément final est nécessairement le même que l'élément initial.

On peut se proposer de déterminer le nombre des dispositions rectilignes qu'il est ainsi possible de réaliser avec un jeu ordinaire.

La question a été posée sous forme de problème dans le tome YIII des Nouvelles annales de mathématiques (p. 74) et résolue par le

PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS 2^Q

D' Reiss, de Francfort dans un mémoire (*) in-4** de 58 pages, inséré après sa mort dans le tome V des Annali di matematica para ed applicaia(^. 63-iao, Milan, 1871).

ReisSjdont la méthode est fort longue, considère les combinaisons circulaires. On comprend aisément qu'on peut les obtenir en partant d'une disposition rectiligne quelconque que l'on replie sur elle-même de manière à amener en contact les moitiés extérieures des deux dés placés aux extrémités.

Dans ces combinaisons circulaires, tous les points se présentent deux fois de suite,à trois reprises différentes. Chaque dé peut être regardé comme dé initial. Mais on doit tenir compte du sens dans lequel les dominos se succèdent, c'est-à-dire aller de droite à gauche ou de gauche à droite.

Une combinaison circulaire quelconque étant formée après avoir enlevé les doubles du jeu, chacun de ces doubles peut y être intercalé à trois places différentes.

Si donc nous désignons par C le nombre des combinaisons circulaires distinctes ne contenant aucun double, l'addition d'un premier double, du double trois par exemple, aux trois places qu'il peut prendre, donnera 3 fois plus de combinaisons distinctes ou 3 G. L'adjonction d'un nouveau double ^triplera le nombre précédent.

Par conséquent on obtiendra le nombre des combinaisons circulaires avec doubles en triplant 7 fois de suite le nombre des combinaisons circulaires G formées en excluant les doubles ; ce nombre est donc

Partons maintenant de l'une quelconque des combinaisons circulaires des aS dominos ; en prenant successivement comme dé initial chacun des 28 dés qu'elle contient, il en résultera 28 combi-

(*) Evaluation du nombre de combinaisons desquelles les 28 dés d'an jeu de domino sont suseeptibles d'après la règle de ce jeu.

35q ftéCIU^ATIQBîS MATUÉMATIQUES

naisong r^tiligaes distinote». On conclut de Ik que le nQmbrç total de ce» dernières est égal à

La question est donc ramenée au calcul de G.

Reiss a trouvé que le nombre G des combinaisons circulaires était égal h

rî9976320

il en résulte quQ l'on a pour I0 nombre des combinaisons rcctilignes

et Ton doit doubler ces deux nombres si Ton ne tient pas compta du sens.

Au Congrès de VAstociation française pour l'avaiwemenl de$ sciences, tenu à Nancy en 1886, G. Tarry a exposé, dans un mé-^ moire des plus intéressants, une méthode ingénieuse fournissant rapidement les résultats auxquels était arrivé Reiss, mais avant de faire connaître cette méthode, nous croyons devoir dire quelques mots de celle donnée par Lucas pour un jeu allant jusqu'au double quatre (*).

Lucas ne passe pas par les dispositions circulaires et comme Reiss il supprime les cinq doubles 0*0, i-i, 2-2, 3>3 et 4*-4*

Il considère, de plus, comme distinctes deux combinaisons rectilignes qui ne diffèrent que par Tordre de succession des dés, en les disposant soit de gauche à droite, soit de droite à gauche. En écrivant, dans le sens ordinaire de gauche à droite, les points des dominos d une disposition rectiligne, chaque point se trouve répété deux fois consécutivement, à Texception du premier et du dernier ; pour simplifier, on n'écrit qu'une fois deux points consécutifs, et on supprime le dernier point égal au premier. II en résulte que la notation d'une disposition rectiligne est constituée par une suite de

(*) Lucas. — Récréations mathématiques, tome II, p. 68-71.

PROBLÈIMII^S DESK TRACÉS CONTINUS

dû chiffres contenant deux fois chacun des chiffre» o,i,2,3,4;de plus. le voisinage de deux chiffres quelconques tels que i et 3 devra se présenter une fois et une seule, en considérant contme voisins le premier et le dernier chiffres, Ainsi, par exemple la notation

oi3o3i4a34

représente une disposition rectiligne formée successivement par les dominos hlanc-as, as-deux, deux-blanc,... trois-quatre, quatre-blanc.

On comprend que» partant d'une disposition rectiligne, il est possible d'en déduire un certain nombre d'autres en permutant d'une manière quelconque les points o,i.a,3)4 * ^^^is les dispositions obtenues ainsi ne seront pas toujours distinctes.

Il y a donc lieu de rechercher les solutions élémentaires, c'est-àdire les solutions qui permettent d'obtenir toutes les autres par per*mutation des éléments 0,1,2, 3,^. Par un numérotage de convention, on peut toujours désigner par o, le premier point, par i le suivant, de telle sorte que le premier domino sera 01. Le point suivant sera désigné par 2, et les trois premiers chiffres de la solution élémentaire sont nécessairement 012.

Le quatrième point peut être égal au premier, oii représenter un point nouveau que nous désignerons par 3 ; en continuant cette discussion, on trouve assez facilement les vingt-deux notations suivantes, rangées dans Tordre numérique,

Ol2o3l4234

xu

oi2o3i4324

Ol2o3243l4