OI
Ol2o3423l4
oi234o24i3
Ol234l3o24
OT234l3o42
Of2342o3l4
oi234ao4ï3
a52 aÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Si Ton renverse Tordre des chiffres de l'une quelconque de ces notations, en donnant aux points le numérotage de convention indiqué, on retombe nécessairement sur Tune de ces notations : mais deux cas sont à distinguer. Dans le premier cas, la notation retournée et numérotée reproduit la même notation ; la solution est alors dite symétrique. Dans le second cas, on en reproduit un autre qui est appelée dissymétrique.
Les notations symétriques sont au nombre de six, savoir :
1, IV, XI, XVI, XX et XXII ;
les notations dissymétriques de rangs
II, V. VI, IX, X, XII, XVII et XVIII.
ont respectivement pour inverses
III, VII, VIII, XIII, XV, XIV, XXI et XIX.
Pour déterminer le nombre des combinaisons rectilignes distinctes^ sans tenir compte des doubles, remarquons que le nombre des permutations de cinq objets est égal à
1 X 2 X 3 X 4 X b ou 130 ;
toute notation symétrique donne 6o dispositions distinctes ; toute notation dissymétrique et son inverse donne lao dispositions; on a donc au total
20 OU 1 3ao
dispositions rectilignes, abstraction faite des doubles.
En tenant compte des doubles, on voit que Tun quelconque d'entre eux peut occuper 3 places différentes suivant la disposition rectiligne considérée et que les 4 autres ne peuvent occuper que a places.
PROBLEMES DES TRACÉS CONTINUS
Par suite, le nombre total des dispositions rectilignes du jeu de dominos terminé au double quatre est
I Sac X 3 X 2* = 2'' . 32 . 5 . II =6336o.
Méthode de Tarry. — La méthode ingénieuse de Tarry repose sur cette remarque de Laisant.
Si Ton supprime les doubles du jeu de dominos ordinaire,il reste ai dés que l'on peut figurer de la manière suivante. Traçons un heptagone convexe et Tènsemble de ses diagonales, ou si Ton aime mieux, marquons sur un plan sept points numérotés o, 1,3,3,4)5,6 et joignons-les deux à deux de toutes les manières possibles.
La ligne i-3 peut être considérée comme représentant Tas-trois, la ligne 2-4 représentera le dé 2-4, la ligne 0-5 représentera le dé blancquatre, et ainsi de suite. Par conséquent, le problème consistant à disposer en rond les 2 1 dés du jeu de dominos, sans les doubles, revient à décrire d'un seul trait continu la figure ci-contre, en passant sur toutes les lignes une seule fois, sans faire sauter la plume ou le crayon, et sans fragmenter les diagonales. Mais, puisque chaque double peut occuper trois places dans une disposition circulaire, et qu'il y a sept doubles, on multipliera le résultat obtenu par 3' = 3 187 pour avoir les dispositions circulaires des 38 dominos.
Ce dernier résultat devra être multiplié par 38 pour obtenir [le nombre des dispositions rectilignes.
Gela posé, Tarry considère comme un [labyrinthe le réseau géométrique constitué par les côtés d'un polygone et ses diagonales.
Il appelle labyrinthe rentrant un labyrinthe tel qu'à chaque point de son parcours aboutisse toujours un nombre pair d allées.
254 ËÉCR^ATlOl^S MAtH^AÎlQtfië
Les poînts du parcours auxquels aboutissèiii plus de deux allées sont les carrefours du labyrinthe et il désigne spécialement sous le nom d'impasse toute allée dont les extrémités aboutissent à un même carrefour.
Pulâ il établît Ué deux théorèmes àUivaiït» î
Théorème des impasses. — Si dans an Idbyritilhè Hîiirahi dfi éiip^ prime urte impasse, tè nombre de parcours distincts dix lahyttnihe dinsi fèdnit, multiplié paP le honibre dé ses allées qai aboutissent m éàrrëjbuf èltué sur tHmpdssè supprimée, est égal ad nombre dé pdrcaUH distincte dti Idbyrlnlhè pfimilif. On dura bien soin de cotriptéf pdf^ déiix allées chdcune des autres impasses qui pourraient êtte dnnexêéê À ce cdPrefouP.
Désignons par N le nombre de parcours dlâtînctii du ïab'J'rftitne réduit et par a n le nombre dé ses allées aboutissàfil au cârré'tetfr situé stir l'impasse supprimée.
ie dis que le nombre de parcours distincts dû lâb^fliithé f rîrhitif est égal à N X an.
En effet, considérons Turi quelconque dés N |)arcoùrs dîstiiicts du labyrinthe réduit.
Dans ce parcours on passera h fois par le carrèfolif <ié rimpàSse supprimée, et à l'un quelconque dé ces n passages, l'on peut interrompre le parcours en arrivant au carrefour de l'impasse, parcdiirir entièrement cette impasse, ce qui peut se faire dàiis deux senâ aiffétentd, et revenu au carrefour, achever le parfcoùrs commence.
Il résulte de là qdé chacun des I^ parcours distincts du labyrinthe réduit fournira à h parcours distîhcfts dii labyrinthe primitif.
Lés Pf parcours distincts du labyrinthe réduit fourniront àmsi N X 2 n parcours du labyrinthe primitif.
11 est évident que ces '^ % 2n parcours dû labyrinthe prirtiitif sont tous distincts, et qu'il n'existé pas d'autres manières dé parcourir en une seule course le labyrinthe primitif.
Le théorème est dotic démontré.
Cot-ollaire, — Si à' un càrïéfôùr àtôùtîssent a (h 4- f^) ëiUëêi
dont a k appartientiêiit à k Impasses, le hottibre dé parcours distincte du labyrinthe proposé est égal au produit de
n(n -4- i) (n -h a) ... (a 4- fc — i) 3*
par le nombre de parcours distincts dii labyrinthe réduit obtenu par la suppression dos k impasses du labyrinthe proposé.
En eflet, ajouter successivement chacune de céS k impasses au labyrinthe réduit revient k multiplier successivement les nombres de parcours distincts par
an, 2(/i4-i), 2(rt4-a),».. , a(n-hfc— *i).
On voit ainsi que le théorème des impasses 'peffUcA âëlîminer les impasses du labyrinthe proposé et 6e ramenei l6 calcul dn i^ombre de parcours distincts au cas où lo labyrinthe ne possède plus d'impasses.
Théorème des carrefours. Etant [donné un labyrinthe rentrant sans impasses et comprenant k carrefours, si Pon désigne par si n le nombre d'allées àboutissani à Tan de ses ôarrefoùrs, N, le nombre de parcours distincts du labyrinthe proposé est égal à la somme des nombres de patcours distincts deiXSx^XTX ... X (an — î) labyrinthes rentrants ne comprenant plus qtte k — î ôaftefours.
Ces ix3x5X7X... X (an— ï) labyrinthes noitMauûb s'obtiennent en groupant en n couples de deux allées, de toutes les manières possibles, les a ri altéeé aboutissant au carrefour iV, et en remplaçant ensuite, dans chacun de ceé groupements, chaque couple de deux allées par une allée nouvelle joignant les deux carrefours oà aboutissent les extrémités de ce couple d^ allées ou, dans le cas particulier ou les deux allées du couple aboutissent à un même carrefour^ par une irhpasse passant par ee carrefour.
Groupons les a /i allées du carrefour N par couples de deux allées de toutes les manières possibles.
Nous obtenons ainsi (an — i) (an — 3) ... 5.3.1 groupements différents.
A chacun de ces groupements t&iimè ttyrrei/p^ttâtë tout te* p»f-
cours du labyrinthe proposé dans lesquels, à chaque passage par le carrefour N, l'allée qui y conduit et l'allée qui en éloigne appartiennent à un couple du groupement considéré.
Il est aisé de voir que le nombre de parcours cherché sera égal à la somme des nombres de parcours distincts correspondant à chaque groupement, de la manière qui vient d'être indiquée.
Ceci admis, considérons les parcours de l'un de ces groupements, et examinons les n couples de deux allées qui le composent.
Dans chacun de ces n couples, les deux allées, considérées comme issues du carrefour N, aboutissent soit à deux carrefours diiïérenis A, B, soit à un même carrefour G.
Dans le premier cas, nous pouvons évidemment remplacer les deux allées NA, NB, par une allée nouvelle AB, reliant les carrefours A et B, sans changer le nombre de parcours, car cela revient à remplacer les trajets ANB ou BNA par les trajets équivalents AB ouBA.
Dans le second cas, on voit aussi clairement que les deux allées reliant les deux carrefours N et G peuvent être remplacées par une impasse passant par le carrefour G.
Le théorème est donc démontré complètement.
En appliquant aux nouveaux labyrinthes la méthode d'élimination d'impasses et de réduction du nombre de carrefours, nous arrivons forcément, par réductions successives, à n'avoir plus à considérer que des labyrinthes sans impasses ne comprenant plus que deux carrefours, et le problème pourra être résolu.
On démontre, en effet, avec la plus grande facilité, que le nombre de parcours distincts d'un labyrinthe ne comprenant que deux carrefours reliés par 2 n allées est égal à
en tenant compte du sens du parcours.
Remarque. — Un labyrinthe qui n'a que deux points impairs peut aussi être parcouru entièrement en une seule course en ne passant qu'une fois par chaque allée.
PROBLÈMES DES TRACÉS CONTINUS
On voit aisément que le nombre de parcours distincts de ce labyrinthe est le même que celui du labyrinthe rentrant que Ton obtiendrait en ajoutant une allée nouvelle reliant les deux points impairs (*).
Appliquons ces propositions au cas déjà examiné par Lucas, c'està-dire au jeu de dominos allant jusqu'au double-quatre.
Considérons le réseau géométrique o i a 3 4 formé par un panlagone et ses diagonales.
Au carrefour aboutissent 4 chemins a, 6, c, d, que Ton peut
Fig. I I a-i 1 3-1 14-1 i5 souder ensemble deux à deux, de toutes les manières possibles, a et 6 d'une part avec c et d d'autre part, donnent B. a et c — avec 6 et d — G.
aeid — avec 6 et c — D.
Le carrefour se trouve aussi supprimé, et le nombre des parcours de la figure A est égal à la somme des nombres do parcours des trois figures B, G, D.
A = B-t-G-hD.
(^) Association française pour l'avancement des Sciences, 1886. Séance du i3 août. — Tarrt : Géométrie de situation : nombre de manières distinctes de parcourir en une seule course toutes les allées d'un labyrinthe rentrant, en
passant quune seule fois par chacune des allées.
Récréations mathématiques, II. 17
258 KTÉGRÉATIONS MATHÉMATIQUES
Considérons Tua quelconque de ces nouveaux labyrinthes, le labyrinthe D par exemple, et supprimons le carrefour marqué 3. Ceci peut se faire de trois manières.
La soud|ire de e et j d'une part avec y* et h de l'autre, donne E
La soudure de c et /i — avec jf et g — la
même figure E,
Enfin la soudure eeifel la transformation des deux allées j, h en une impasse nous donnent le labyrinthe F.
Donc
D = 2Eh-F.
En opérant sur les réseaux B et C on arrive à des décompositions identiques, on en conclut que les trois labyrinthes B, G, D sont équivalents et on peut poser.
Considérons maintenant le réseau Ê et supprimons le carrefour 2.
Fig. 116 Fig. i»7
Ceci peut encore se faire de trois manières.
En soudant î et l d'une part, A: et m de l'autre Ou î et m — fc et / — ■
on obtient deux fois le labyrinthe G, En transformant les deux allées i, k en une impasse aboutissant
Fig. 118 Flg. 119
au carrefour 4, et lc% i^nx allées l^ m en une seconde impasse, on obtient h figuré Hi
PROBLiMIS DBS TRAGÉS GORTIHUS aSg
Donc
D'autre part dans le labyrinthe F on peut supprimer l'impasse du carrefour a et souder les deux allées p^ q, ce qui nous fournit encore le réseau G.
Ceci posé, le réseau G nous donne a X 3 xa = ia parcours si l'on tient compte du sens et 6 parcours si Ton ne tient pas compte du sens.
Donc le nombre des parcours pour F sera la X a=a4en tenant compte du sens et 6 X a = la si l'on ne tient pas compte du sens.
Le nombre des parcours du labyrinthe H sans les impasses est de a en tenant compte du sens, ou de i sans tenir compte du sens.
Le nombre des parcours de ce même labyrinthe avec les impasses est donc de a xaXa = 8en tenant compte du sens ou de I X a X a = 4 sans tenir compte du sens.
On a alors E=:=ia x a + 8 = 3a en tenant compte du sens ouE = 6 X a-h4=i6 sans tenir compte du sens.
Et A = 3 (3a X a H- 24) = 3 X 88 = a64 en tenant compte du sens, ou A = 3 (i6 X a -h la) = 3 x 44 = i3a sans tenir compte du sens.
Il en résulte que le nombre des dispositions rectilignes d'un jeu de dominos allant jusqu'au double-quatre en tenant compte des doubles, est égal à
nombre déjà trouvé.
Passons maintenant au cas du jeu ordinaire de a8 dominos.
La suppression d'un carrefour de l'heptagone conduit au réseau hexagonal H, dont 3 côtés sont redoublés ; en désignant par conséquent par X le nombre des parcours de l'heptagone et par H celui du labyrinthe hexagonal, on a ;
La suppression de Tun des carrefours du labyrinthe H donne naissance aux quatre nouveaux labyrinthes Pi, Pj, Pj, P^, et on a :
H = 8.Pi-f-4P2-^8P3-i-4P4.
Par la suppression du carrefour supérieur de chacun des quatre
Fig. I20-I2I-I22-123-I24
labyrinthes pentagonaux Pj, P^, Pj, P^, on est conduit aux nouveaux labyrinthes Q,, Qj, Qj, Q^, Q-, Qg, et on a :
P, = 6 Qj + 4 Qj + 16 Q., + 16 Q,.
P, = 8Q, -M6Q3-^ aQ. + i6Q„ P3 = 2 Q, 4- • Q„ P4 = 2 Qi + Q5.
Par la suppression de Tun d^s carrefours supérieurs des six laby-
PROBLEMES DES TRACÉS CONTIMUS 201
. rinthes quadrilatéraux, on est conduit aux cinq nouveaux labyrinthes
Fig, 125-12G-127-128-129-130
triangulaires T,, Tj, Tj T^, Tg, et Ton a :
Q3 = aT,+ 41V
Fig. i3i.i33-ï33-i34-i35 suppression du carrefour supérieur de chacun I '
RiCSKÉATIOHS MATHÉMATIQUES
labyrinthes triangulaire! noua fournit trois réseaux à deux carrefoucs D„ D„ D„ et l'on a :
la d;.
Fig. i36-i37-i38-i39-i4o
Si maintenant on calcule les parcours en tenant compte du sens, on a:
Dj = 2. 5. 4. 3. 2.1= 2.51 = 24o,
Dj = 2 . 3 . 2 . 1 =12,
Par suite Tj = 3 168, Ta = 672, T3 = 144, T^ = 32 et T^ = 240 ;
Les labyrinthes quadrilatéraut nous donnent :
Qi = 42 o48, Qa = 43 520, Q, = 9 024, Q4 = 1 920, Qg = 38oi6, Qe = 1824.
Passant aux pentagones, on trouve :
Pj = 601472, Pg = 535984, Pg = 127 916 et P^ = 122 112.
Enfin, on a
Et
Xs= 129976320.
I>R0BLEM£S DBS TRACÉS GONTimJS 303
Si on ne tient pas compte du sens on aura
et par suite, le nombre des dispositions rectilignes des des d'un jeu complet de a 8 dominos est égal à
Le damier de dominos. — On prend a5 dominos que l^on dispose en damier à cases resctangulaires. Chaque ligne horizontale ou verticale compte cinq dominos qui sont placés de façon à présenter dans les deux sens des cases alternativement blanches et noires ; dans ce but, on retourne les dominos de deux en deux afin dd montrer successivement Tos et le bois noir.
Cela fait et la précaution ayant été prise de mettre tous les dominos bien en contact les uns avec les autres aûn d^obtenir une figure aussi régulière que possible, on propose de transformer la figure de façon que tous les dés d'une même ligne horizontale soient de la même couleur, en ne touchant que deux dominos.
Au lieu des lignes horizontales, on peut se proposer la même question pour les ligneà verticales.
La solution est des plus simples.
On enlève les deuxième et quatrième dés de la première ligne horizontale et on les place au-dessous respectivement des deuxième et quatrième dés de la dernière ligne horizontale. En poussant alors ces deux dés, on remonte de la hauteur d'un dé les deuxième et quatrième colonnes verticales.
Chaque ligne horizontale ne présente plus alors que des dés d'une même couleur.
Pour rétablir la tnème couleur dam les colonnes verticales, ou opérerait d'une façon identique.
Les dominoe magiques. ^^ On peut former avec les dominos des carrés magiques de neuf, seize ou vingt^inq cases. ^Goa*ré de neuf cases, -^ Il s'agit de résoudre ce problème:
Disposer les sept blancs et deux autres dés convenablement choisis dans un carré de 9 cases, de telle sorte que la somme des points des dominos renfermés dans une ligne horizontale, dans une colonne ou dans une diagonale, soit constamment la même. Le tableau ci -après fournit la solution de la question. On voit que la somme donnée par chaque ligne est 13. Au lieu des sept blancs, on peut prendre les sept as : on remplace alors les sept blancs par les sept as correspondants et les dés 1-6 et 2-6 respectivement par les dominos 2-6 et 3-6.
La somme constante devient égale à i5.
On peut former d'une manière analogue les carrés magiques avec les deux, les trois et les quatre ; la somme constante devient, dans chacun des cas, égale à 18, 21 et 24*
Si dans les divers carrés magiques dont il vient d'être question, on remplace chaque dé par son
Fig. i/n
complémentaire, on obtiendra encore des carrés magiques et en particulier ceux formés avec les sept cinq et les sept six.
Carré de 16 cases. — Soit à disposer les blancs et les as avec trois autres dés convenablement choisis, dans un carré de 16 cases, de façon que la somme des points marqués sur les dominos dans une même ligne horizontale, dans une colonne ou dans une diagonale, soit constamment la même.
Le tableau ci-contre donne une solution de la question.
Les trois dés à choisir sont le 2-6, le 3-6 et le 2-5 ; la somme constante est 18.
Le carré jouit de la même propriété si on place la première rangée horizontale après la quatrième, ou si on dispose la première rangée verticale après la dernière.
On peut obtenir d'autres carrés magiques en remplaçant chaque dé par un autre ren-
Fig i43
fermant un, deux ou trois points de plus, les sommes constances deviennent alors 22, 26 et 3o.
PROBLEMES DES TRACÉS CONTINUS
Enfin, on peut arriver à d'autres figures du même genre, en remplaçant les dominos des carrés précédemment obtenus par leurs complémentaires.
Carré de 25 cases- — La figure ci-contre donne un exemple de ce genre de carrés magiques : la somme constante est 27 et les trois dés manquants sont le 6-6, le 6-5 et le 5-5.
On peut obtenir une infinité d'autres figures du même genre.
Donnons encore la récréation suivante dans laquelle on utilise tous les dominos du jeu ou mieux les 56 petits carrés qui groupés deux à deux constituent les 28 des.
Fig. iliZ
On demande de di de7 X 7
sposer les dominos de façon à former un carré 49 cases, avec une bordure supplémentaire de 7 carrés blancs, de telle sorte que la somme des points dans chaque rangée, dans chaque colonne et dans les deux diagonales soit égale à 24.
Nous donnons une solution ci-après (*).
De même une suite de dominos allant du double-blanc au
double 71, contient - (n -h 1)
(n H- 2) dommos et, par suite, (n -f- i) (n -+- 2) petits carrés accolés deux à deux.
Est-il possible de disposer ces dominos de façon à former un
(1) Voir le no de Y Illustration du 10 juillet 1897.
a66 RéCBéATIOMS MATHÉMATIQUES
carré de (n + i)^ cases» avec une colonne supplémentaire de (n -h i) carrés blancs, de telle sorte que la somme des points dans chaque rangée, dans chaque colonne et dans les deux diagonales soit égale à
Parmi les plus intéressants problèmes de géométrie de ^antiquité» trois questions attirèrent spécialement Tattention des premiers mathématiciens grecs. Nos connaissances en géométrie prenant leur source en Grèce^ ces questions sont devenues classiques dans l'histoire de cette science. Ce sont : i"* la Duplication du cube, c'est-àdire la détermination du côté d'un cube dont le volume est double de celui du cube donné ; a' la Trisection de l'angle et S» la Quadrature du cercle, c'est-à-dire la recherche d'un carré dont la surface est égale à celle d'un carré donné. Ces trois problèmes devaient ètrd résolus au moyen de constructions dans lesquelles, seules, la ligne droite et la circonférence intervenaient, c'est-à-dire par la géométrie euclidienne.
Ainsi posés, ces trois problèmes sont insolubles (*). Pour doubler Un ctibe dont le côté est a, il s*agit de trouver une ligne de longueur A; telle que l'on ait : x' =: aa'.
Pour diviser un angle en trois parties égales, nous pouvons commencer par calculer le sinus de l'angle à diviser, soit a, puis si X représente le sinus du tiers de cet angle, nous avons la relation*
/laj»==3a; — a.
(*) F. Kliin. '^Vorlràge Ober au$gewâktte Frageti det EîemêfUar géométrie, Leipzig, 1895.
208 RÉGRéATIONS MATHlÊMÀTIQUES
Ainsi, le premier et le second problèmes, considérés ançlytîquemenl, conduisent à la résolution d'une équation du troisième degré ; et comme une construction au moyen de cercles (dont les équations sont de la forme x' -i- y* -+- ax -+- fey + c = o) et de lignes droites (dont les équations sont de la forme aa? -f- Pj -+- y = o) ^^ P®"* conduire à une équation du troisième degré, il en résulte que ces problèmes sont insolubles si on se limite, dans les constructions, à l'usage de la règle et du compas. Mais ces deux problèmes peuvent être résolus de plusieurs manières au moyen des sections coniques.
Le troisième problème est d'une nature différente, mais il est également impossible.
• Nous nous proposons tout d'abord de faire connaître quelquesunes des constructions qui ont été proposées pour les deux premiers problèmes. Pour ménager l'espace, le texte ne sera pas accompagné de figures et, dans bien des cas, nous nous dispenserons de donner la démonstration. Nous terminerons par quelques notes historiques sur les solutions approximatives du problème de la quadrature du cercle.
La duplication du cube (*). — Le problème de la Daplication du cube était connu dans les temps anciens sous le nom de problème de Delos ou problème Deliaque, en souvenir d'une légende d'après laquelle les Athéniens'auraient consulté Platon à son sujet, Philoponus (*) présente l'histoire sous cette forme : les Athéniens, fortement éprouvés par une épidémie, consultèrent l'oracle de Délos pour savoir comment l^[fléau pouvait être arrêté. L'oracle répondit qu'iljfallait doubler'l'autel d'Apollon, qui était cubique.
(*) Voir Historia Problematis de Cubi Daplicatione, par N.-T. Reimer, Gôttingen, 1798; voir aussi Historia Problematis Cabi Daplicandi, par G.-H. BiERiNG, Copenhague, i844» et aussi Das Delische Problem, par A. Sturm, Linz, 1895-97. Quelques notes sur cette question se trouvent dans notre Histoire des mathématiques. Edition française traduite sur la S™* édition anglaise par L. Freund- Paris Hermann, a vol. (1906-19O7).
(*) Philoponus ad Aristotelis Analytica Posieriora^ livre I, chap. vu.
Rien ne parut plus simple aux solliciteurs dont les connaissances en géométrie n'étaient probablement pas très développées et ils construisirent un second autel dont les dimensions étaient doubles de celles de l'ancien (ce qui donnait un cube ayant huit fois le Yolume du premier) ou peut-être se contentèrent-ils de placer à côté du premier autel un second identiquement semblable. Quoi qu'il en soit, suivant la légende, la Divinité courroucée rendit le fléau plus terrible encore et informa une nouvelle députation qu'il était inutile de chercher à ruser : elle exigeait un autel cubique double en volume de celui qui existait. Soupçonnant quelque chose de mystérieux, les Athéniens s'adressèrent à Platon qui le» renvoya aux géomètres. L'intervention de Platon ici est un anachronisme manifeste. Eratosthème(^) raconte une histoire à peu près semblable mais en parlant de Minos comme l'auteur du problème.
Dans un ouvrage arabe, la légende grecque est défigurée d'une façon si étrange que nous la citerons par curiosité. A l'époque où vivait Platon, raconte l'écrivain, un fléau s'abattit sur les enfants d'Israël, alors un de leurs prophètes entendit une voix du ciel qui disait : u que l'on double l'autel cubique qui sert aux sacrifices et le fléau prendra fin », on construisit donc un second autel exactement semblable au premier auquel il fut accolé. Malgré cela, le fléau n'en persistait pas moins en augmentant d'intensité. Et la même voix se fit entendre qui disait : « on a construit un second autel identique au premier avec lequel il a été réuni, mais cela ne constitue pas la duplication du cube ». C'est alors que Platon, le sage de la Grèce, fut consulté ; il répondit ; « Vous avez négligé la science de la géométrie et Dieu vous a châtié, car c'est la science subUme par excellence » , maintenant la duplication du cube repose sur un problème difficile de géométrie consistant... Puis suit la solution d'Apollonius que nous donnons plus loin.
Si on représente par a la longueur du côté du cube donné et
(t) Archimedis Opéra camEatocii Commentariis^ édition Torelli, Oxford, 1792, p. i44; édition Heiberg, Leipzig, 1880-81, vol. III, pp. 104-107.
270 RécaiÊATIONS MATHÉMA.TIQUBS
par X le cAlé du cube cherché, on a : a?* = 2a', c'est-à-dire
~ = l£. Les Grecs n'ignoraient probablement pai que ce dçrni^v
rapport est incommensurable, ce qui revient à dire qu'il n'est pas possible de trouver un nombre entier dont le rapport h
l'unité soit exprimé par —, mais il ne s'en luivait pas Timpossibi"
lité d'établir un pareil rapport par la géométrie. Par exemple, le côté et la diagonale d'un carré sont bien deux lignes qui ne peuvent être mesurées l'une par l'autre, c'est-à-dire dont le rapport est incommensurable.
Reproduisons maintenant quelques-unes des constructions géométriques qui ont été données pour la duplication du cube (*) en nous limitant (à une exception près) à celles qui peuvent être effectuées au moyen des sections coniques.
Hippocrate (*) (environ 420 A. C.) est peut-être le plus ancien mathématicien ayant fait faire quelques progrès à la question. Sans donner une solution géométrique, il ramène le problème à la recherche de deux moyennes proportionnelles entre une certaine ligne a et la ligne de longueur double 2a. Soient, en effet, xeïy ces moyennes, nous avons
i y^^ ta'
d'où Ton déduit : xy =^ 2a*, x^ = ay et x^ =s 2a'. Le problème est toujours étudié sous cette forme actuellement.
(^) En ca qui conc^rnQ l'applie^tion, à ce problème, dçs méthodes traditionnelles d'analyse des Grecs par Héron et Philon (conduisant & une solution au moyen du cercle d'Apollonius), par Nigomede (conduisant à une solution au mo^en do la conchoîde) et par Pa.ppus (donnant une solution au moyen de la cissoïde), voir l'ouvrage de J. Leslie, Geometrical Anafysist Ëdinburgh, a* édition, iSii, pp. 247-25q, 4^3*
(*) Progi-ui» — Edit, Friçdlein, pp. 2ia-2i3,
Autrefois tout procédé de solution reposant sur la recherche de ces moyennes était appelé un problème mésolabe.
Une çlcs premières solutions de la question est celle donnée par Archytas (*), en ou vers 4oo A. G. Sa construction se résume ainsi : sur le diamètre OA du cercle de base d^un cylindre droit on décrit une demi-circonférence dans un plan perpendiculaire à celui de la base ; on fait alors tourner ce dernier plan autour de la génératrice du cylindre passant par 0, la demi-circonférence engendre dans ce mouvement de rotation une surface qui coupe le cylindre suivant une courbe à double courbure. Cette courbe à son tour est coupée par la surface latérale d'un cône droit ayant OA pour axe et dont le demi-angle au sommet est de Go** par exemple, en un point P tel que la projection de OP sur la base du cylindre est au rayon du cylindre dans le rapport du côté du cube cherché au côté du cube donné. La démonstration donnée par Archytas est purement géométrique et il est intéressant de constater qu elle montre que ce géomètre connaissait certaines propositions énoncées par Euclide.
Pour démontrer analytiquement l'exactitude de la construction d'Archytas, prenons OA pour axe des x et la génératrice du cylindre pasiiant par pour axe des z, alors en employant la notation usuelle des coordonnées polaires et en désignant par a le rayon du cylindre, on a : pour l'équation de la surface décrite par le demi-cercle, r^^z::^ 2a sin d ; pour celle de la surface cylindrique r sin ^T^%a cos <p ; et pour celle de Ia surface latérale du cône sin 6 cos 9 = i .
Ces trois surfaces se coupent en un point tel que sin* 6 sci - , d*où
l'on déduit,
(r sin ôy :^ 2 a';
Par suite, le volume du cube dont le côté est r sin est le double du volume du cube dont le côté est a.
(*) Arthimedis Optràf édition Torelli, p. i43 ; édition H^iberg, vol. IIÏj jpp. 08103.
La construction attribuée à Platon (') (environ 36o A. C.) repose sur ce théorème : GAB et DAB sont deux triangles rectangles ayant un c6té AB commun, les côtés AD et BG parallèles, et les hypoténuses AG.BD perpendiculaires entre elles ; si P est le point d'intersection de ces deux hypoténuses on a :
