PG PB PA PB — PÂ-^PD

Si donc Ton pouvait construire une telle figure avec PD = aPG, le problème serait résolu. Il est possible de construire un instrument permettant de tracer une figure remplissant la condition imposée.

Menœchme (^) est ensuite le premier géomètre que Ton cite comme s'étanl occupé du problème, il en donna deux solutions en 340 A, G. ou vers cette époque.

Dans la première, il signale que deux paraboles ayant un sommet commun, les axes à angle droit, et telles que le latus rectum de Tune soit double du latus rectum de l'autre, se coupent en un second point dont Tabscisse (ou Tordonnée) donne une solution de la question. La démonstration par l'analyse est très simple ; car si les équations des paraboles sont y* = aœr et x* = ay, ces courbes se coupent en un point dont Tabscisse est donnée par Téquation X* t= aa*. 11 est probable que cette solution a été inspirée par la façon dont Hippocrate avait présenté la question ; nous avons déjà dit, en eflet, qu*il ramenait le problème à la détermination des

doux longueurs x et y telles que - = - = -^ , et l'on déduit de

c«tto double relation x* = a.v et j* = aax.

La seconde construction de Menœchme s'effectue ainsi : on

^H ,4i>^A)Wi^l» Openi^ édîUon ToreUi» p. i35; édilîoo Heiberg, vol. III,

V*^ an^imftlii Optft Mîlk» ToitUi. pp. T4i-t43; édilion Heiberg, t^. ni» pp. Sia-^îi*

décrit une parabole dont le latas reclam est /, puis une hyperbole équilatère dont la longueur de Taxe réel est égale à ^l, et ayant pour asymptotes la tangente au sommet et Taxe de la parabole.

L'ordonnée et Tabscisse du point d'intersection de ces courbes sont deux moyennes proportionnelles entre l et 2L L'analyse le montre de suite. Les équations de ces courbes sont x^ = ly, xy = al^, elles se coupent un point déterminé par les deux équations x^ = 2l^ et j* = 4P ; par suite

La solution donnée par Apollonius (^) environ deux cent vingt ans A. C, se résume ainsi : le problème consistant à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, on construit un rectangle OADB dont les deux côtés adjacents OA, OB sont respectivement égaux aux deux lignes données et on marque le milieu G de AB. De ce point comme centre on décrit une circonférence coupant le prolongement de OA en a et le prolongement de OB en 6, de telle sorte que les trois points a, D et 6 soient en ligne droite. Si un pareil cercle peut être tracé, il en résulte que Ton a :

OA __ B6 Aa B6 "~Aa""OB'

ainsi B6 et Aa sont les deux moyennes proportionnelles entre OA et OB. Il est impossible de décrire le cercle de centre G au moyen de la géométrie euclidienne, mais Apollonius fait connaître un procédé mécanique permettant de le tracer.

La seule autre solution datant des temps anciens que nous croyons utile de citer est celle présentée par Dioclès et Sporus (*),

(*) Arehimedis Opéra, édition Torelli, p. 187; édition Heiberg, vol. ITI, pp. 76-79. La solution est donnée dans notre Histoire des mathématiques , Londres, 1901, p. 84.

(«) Ibid,f édition Torelli, pp. i38, iSg, i4i ; édition Heiberg, vol. III, pp. 78, 84, 90' 93-

Récréations muthématiques, II. 18

Soit un rectangle dont les côtés OA, OB sont respectivement égaux aux deux lignes entre lesquelles les moyennes doivent être insérées et supposons OA plus grand que OB. Du point comme centre et avec le rayon OA décrivons une circonférence qui coupe les prolongements respectifs des côtés OB, OA, en C et en D. Déterminons sur BC un point E tel que si DE coupe la droite AB prolongée en F et la circonférence en G, on ait : FE = E6. Si ce point E peut se déterminer sur BC, OE représente la première des moyennes proportionnelles entre OA et OB. Dioclès imagina la cissoïde pour obtenir le point E^ mais on peut également l'obtenir au moyen des coniques.

D'autres solutions ont été proposées à des époques plus modernes. Nous pouvons faire allusion, en passant, aux trois données par Huygens (^),mais nous ne résumerons que celles proposées par Viète, Descartes, Grégoire de Saint- Vincent et Newton.

Voici la construction de Viète (•) : on décrit un cercle, de centre O, dont le rayon est égal à la moitié de la longueur de la plus grande des deux lignes données. On y inscrit une corde AB égale à la plus petite des deux lignes et on prolonge AB jusqu'en E , de manière que BE = AB ; par A on mène la parallèle AF à OE. Enfin, par le centre 0, on trace une droite DOCFG coupant la circonférence en D et C, AF en F, et le prolongement de BA en un point G tel que GF = OA. Si cette ligne peut être tracée, on a :