AP AH

d'où AP == 2PM =s PQ ; dès lors, par symétrie AP =: PQ = QR et

îof = p6q = q5r:

Nous terminerons en rappelant la solution que Chasles (^) considérait comme fondamentale* Elle se ramène à cette proposition :

(^) Arithmeika universaliSy problème XLII, Ralphson. a» édition, Londres, 1728, p. i48; voir aussi pp. 243-245.

(■) Nous pensons que cette solution a été donnée pour la première fois par Clairaut, mais nous avons égaré nos références à ce sujet. Cette construction se présente comme exemple dans la Geomctry of conics de C. Tatlor, Cambridge, 1881, n*» 3o8, p. 126.

(3) Traité 4es ieetions coniqueSy Paris, 1866, art. 37, p. 36.

AB étant un arc de cercle de centre que Ton se propose de diviser en trois parties égales, l'hyperbole équilatère ayant pour diamètre OA et passant par le point d'intersection de OB avec la tangente au cercle en A, passe également par Tun des deux points qui divisent Tare AB en trois parties égales.

La quadrature du cercle (*)• — Le troisième des problèmes historiques dont nous nous occupons ici a pour objet la détermination du côté d'un carré dont la surface est égale à celle d'an cercle donné.

Les essais tentés antérieurement aux deux derniers siècles eurent pour heureux résultats de faire découvrir aux mathématiciens d'intéressantes propriétés ; dans ces temps derniers, la question a été quelque peu négligée par ceux qui étaient en mesure de l'élucider davantage. L'historique du sujet a été présenté avec tant de détails par des auteurs autorisés que nous nous contenterons d'y faire xÀie courte allusion.

Archimède montra (') (ce que Ton savait peut-être avant lui) que le problème revenait à trouver la surface d'un triangle rectangle dont les côtés étaient respectivement égaux au périmètre et au rayon du cercle considéré. Le demi-rapport de ces deux lignes est un nombre que l'on représente généralement par n.

L'incommensurabilité du nombre ic avait été très longtemps soupçonnée, mais aujourd'hui elle est démontrée. Lambert ('), le

(1) Voir MoNTucLA. — Histoire des recherches sur la quadrature du cercle ^ édition Lacroix, Paris, i83i ; voir aussi divers articles de A. de Morgah, et principalement son Budget of Paradoxes^ Londres, 1872. Un aperçu du sujet a été donné d'une façon élémentaire par H. Schubert. — Die Quadratur des Zirkeli, Hambourg, 1889; et depuis la publication de ces i?e« créations, le prof. F. Rudio de Zurich a reproduit les études d' Archimède, Huygens, Lambert et Legendre sur le sujet, avec une introduction présentant l'historique delà question , Leipzig, 1892.

(2) Archimedis Opera^ KùxXov jjtetpiQffiç, prop. i, édition Torelli, pp. 2o3-2o5; édition Heiberg, vol. I, pp. 264-26 1, vol. III, pp. 269*277.

(S) Mémoires de l'Académie de Berlin ^our T761, Berlin, 1768, pp. 265-322.

28o RÉGREATIOXS MATHÉMATIQUES

premier, démontra analytîquement, en 1761, que iï était incommensurable ; puis, en ï8o3, Legendre (*) fît voir qu'il en était de même du nombre n^ ; récemment, Lindemann (^) a montré que iu ne peut être racine d'une équation algébrique rationnelle.

Plus anciennement James Gregory avait tenté de démontrer géométriquement l'impossibilité de la quadrature et son essai doit être mentionné ici. Il commençait par démontrer (*) que le rapport de la surface d'un secteur quelconque à celle du polygone inscrit ou circonscrit ne peut être exprimé par un nombre fini de termes algébriques et il en concluait que la quadrature du cercle était impossible. Montucla considère cette preuve comme valable, mais elle n'est pas concluante, car on conçoit très bien la possibilité de former un carré dont la surface soit égale à celle d'un certain secteur particulier, et ce secteur particulier peut être le cercle entier.

Comme suite à ce qui vient d'être dit de la proposition de Gregory, nous pouvons ajouter que Newton (*) a prouvé que, dans toute ovale fermée, un secteur arbitraire limité par la courbe et par deux rayons ne peut être exprimé en fonction des coordonnées des extrémités de Parc au moyen d'un nombre fini de termes algébriques.

L'argumentation est serrée et difficile à suivre : le même raisonnement démontrerait qu'une courbe ovale fermée ne peut être représentée en coordonnées polaires par une équation algébrique.

(*) Géométrie de Legexdre, traduction Brewster, Edimbourg, 1824, pp. 289-245.

(2) Ueber die Zahl Tt] Mathematische Annalen, Leipzig, 1882, vol. XX, pp. 21 3-225. La démonstration conduit à cette conclusion que, si x est une racine d'une équation algébrique à termes entiers et rationnels, e* ne peut être rationnel : par suite, si ni était racine d'une telle équation, c^* ne serait pas rationnel; mais e'^^ est égal à — i, et, par conséquent, est rationnel ; dès lors ni ne peut être racine d'une équation algébrique à termes entiers et rationnels, et, par suite, il en est de même de ic.

(3) Vera eirculi et hyperbolœ quadraiara, Padoue, 1868 : cette démonstration est reproduite dans Hutghens. — Opéra Varia, Lejde, 1724» pp. 4o5-462.

(*) Prineipitty livre I, section vi, Lemne xviii.

TROIS PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE sSl

Aucune conclusion ne peut être tirée de cette proposition en ce qui touche la quadrature du cercle et Newton n*en a en réalité tiré aucune. Dans les premières éditions de cet ouvrage nous émettions cette opinion que le résultat établi présupposait une définition particulière du mot ovale, mais après examen plus complet, nous pensons que la conclusion est valable sans aucune restriction.

La quadrature du cercle s'elTectue aisément avec la quadratrice, la spirale ou la cycloïde, mais la construction de ces courbes supposant la connaissance de la valeur de ir, il en résulte que la question, telle qu'elle a été posée, subsiste toujours.

Il est peut-être nécessaire d'ajouter ici qu'en considérant ir comme représentant simplement le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre, la détermination de sa valeur numérique ne présente qu'un intérêt secondaire. Niais ce n'est qu'accidentellement que 7c a été ainsi défini, il représente, en réalité, un certain nombre dont l'existence s'impose dans l'analyse algébrique.

Il nous revient le souvenir d'un professeur distingué cherchant à rendre compte des modifications qui pourraient subvenir dans notre genre de vie ordinaire si, ce qui, d'ailleurs, aurait facilement pu se produire à l'origine de notre race, les procédés fondamentaux de l'arithmétique et de l'algèbre avaient été différents de ceux qui nous sont familiers. Mais, concluait-il, il serait impossible de concevoir un univers dans lequel c et ir n'existeraient pas.

Nous avons cité, dans une autre publication, une anecdote qu'on relira peut-être avec plaisir, pour montrer que la définition usuelle de ic donnait une bien faible idée des propriétés de ce nombre.

De Morgan, expliquant à un actuaire quelle chance une proportion déterminée d'un groupe de personnes avait d'être encore en vie h la fin d'un temps donné, mentionnait la formule dans laquelle figure Tt qui, disait-il, pour répondre à une question, représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Son auditeur qui, jusqu'ici, l'avait écouté avec intérêt, l'interrompit alors pour s'écrier : « Ce doit être une erreur ; que vient faire un cercle

382 HÉGRéATIOÎfS MATHEMATIQUES

et son diamètre dans une question relative au nombre de personnes qui seront encore en vie à une époque déterminée ? »

En réalité, le fait que le rapport de la longueur de la circonférence à son diamètre est le nombre désigné par tc ne donne pas la meilleure définition analytique de it, et ne spécifie qu'une de ses propriétés.

La lettre « n'a pas été choisie au hasard pour représenter le nombre 3,i4i59..., elle est l'initiale de irepi^ipeia ou de •jrspi^jis'cpD; et il paraît difficile de déterminer exactement l'origine de cette notation qui paraît cependant remonter au xvii* siècle.

On lit en effet dans l'ouvrage d'Oughtred : La Clefde^ Malhématiques (The key of the Mathematics, London, 1647. p. 72).

if in a circle 7 . 32 : : 8 . tt : : 1 13 . 355 it shal be S . ir : : 2 RP :

and 8 . ir : : %. circl. and ir . 8 : : ^ Pc. circL etc.

Barrow employait également la lettre tz dans ses leçons publiques, continuées jusqu'en 1669 à Cambridge. En effet, dans le livre Isaaci Barrow-Mathematicœ lectiones habitœ in scholispublicisAcademiœ Caniabrigensis, Londini, typis i, Playford, a. i684, on lit (p. 343) : « Circulus œquatur dimidio rectangulo ex circumferentia et radio,... Hoc est, posito (ut semper posthac) circumferentiam vocari ir, et radium R (vel r). et diametrum 8 (vel D)

Moritz Cantor (Geschichte der Mathemaiik, III, 296) signale l'emploi de la lettre ir par William Jones dans la Synopsis Palmariorum Maiheseos, Londres, 1706, pp. 242, 263 et suivantes (*). Quelques années plus tard, Jean Bernoulli (^) désignait ce nombre par c ; Eu-

(*) Intermédiaire des Mathématiciens y tome IV, juin 1897, pp. i24, I25; tome V, juillet 1898, p. i54, octobre 1898, p. 23i.

(*) Voir les notes de G. Enbstrôm dans Bibliotheea Mathematica, Stockholm, 1889, ^ol. III, p. 28; ibid., 1890, vol. IV, p. 22.

1er, en 1734, se servit de la lettre p, et en 1786 de la lettre c; Chr. Goldback employa Tt en 174a ; et ce symbole devint d'un usage général après la publication de V Analysé d'Euler.

La valeur numérique de ir peut être calculée au moyen de deux méthodes avec une approximation aussi grande qu'on le désire.

La première de ces méthodes est géométrique : elle consiste à calculer les périmètres d'une série de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle en considérant la circonférence comme toujours comprise entre les longueurs de ces périmètres (^). L'approximation serait plus grande en calculant les surfaces au lieu des périmètres. La seconde méthode, qui est la méthode moderne, repose sur la détermination d'une série convergente représentant ir.

Ajoutons que les géomètres qui calculent ti au moyen de la première méthode regardent ce nombre comme un simple rapport géométrique, tandis que les mathématiciens qui emploient la méthode moderne le considèrent comme un symbole représentatif d'un certain nombre figurant dans plusieurs branches de l'analyse mathématique.

Nous intéresserons peut-être nos lecteurs en donnant ici une liste de quelques valeurs approchées de ir déterminées à diverses époques par plusieurs géomètres (^). Nous nous rendrons ainsi incidemment compte de ceux qui ont fait progresser la question.

Le document mathématique le plus ancien qui existe, le Papyrus Rhind (environ 2.000 ans avant J.-C), énonce déjà le problème sous cette forme : construire un carré équivalent à un cercle donné. L'auteur du Papyrus, Ahmès, donne la règle suivante : on

(*) L'histoire de cette méthode a été écrite par K.-E.-L Selakdbr. — Historik ôfver Ludolphska Talet, Upsal, 1868.

(2) Au sujet des méthodes usités dans les temps classiques et des résultats obtenus, voir les notices publiées dans Geschichte der Mathcinatik de M. Gaktor, Leipzig, vol. I, 2® édition, 1892. Au sujet des valeurs approchées obtenues au Moyen âge et dans les temps modernes, voir l'article de A. DE Morgan sur la quadrature du cercle dans le vol. XIX de Penny Cyclopœdia, Londres, i84i, avec les additions données par B. de Ha.vN dans le Verhandelingen d'Amsterdam, i858, vol. IV, p. 22 ; ces divers résultats ont

a84 RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

retranche du diamètre une quantité égale à son neuvième ; on construit un carré ayant pour côté la partie restante, il est équivalent au cercle. On obtient ainsi pour ir une valeur pas trop erronée.

La valeur 3 un peu moins approchée était en usage chez les Babyloniens (^) et chez les Juifs (•*). 11 est probable que ces nombres ont été obtenus d'une façon empirique.

Nous arrivons ensuite à une longue suite de mathématiciens grecs qui abordèrent le problème. Il est douteux que les recherches des disciples de l'école Ionienne, les Pythagoriciens Anaxagore, Ilippias, Antiphon et Bryson conduisirent à une valeur numérique de Tt plus approchée, et il n'est pas nécessaire de nous y arrêter. La quadrature de certaines lunules présentée par Hippocrate de Ghios est ingénieuse et correcte, mais on ne peut en déduire une valeur do 7T ; il paraît d'ailleurs probable que les derniers élèves de l'école Athénienne firent porter leurs recherches sur d'autres questions.

Euclide (*), Tillustre fondateur de l'école d'Alexandrie, savait probablement que i: est compris entre trois et quatre, mais il n'en fait pas mention d'une façon explicite.

L'étude mathématique de la question commence avec Archimède

qui prouva que it est moindre que 3 - et plus grand que 3 — , c'està-dire est compris entre 3,1^38... et 3,i4o8... Il arriva à ce

été réunis, corrigés et étendus par le Dr WT.-L. Glajsher dans le Messenger o/ Afa</)ema<ics, Cambridge, 1873, vol. II, pp. 1 19-128; et ibid., 1874, vol. III, pp. 27-46.

(2) A. ÈiSENLOUR. — Èin Alathemalisches Handbuch der allen Aegypter, Leipzig, 1877, Art. 100-109, 117, i24-

(') Oppbrt. — Journal Asiatique^ août 1872, et octobre 1874.

(*) I. Livre des Rois^ ch. vu, ver. 23; 2. Chroniques, ch. iy, ver. 2.

(1) Ces résultats peuvent se déduire des propositions i4 et 8 du livre IY d*£uclide.

résultat (*) en inscrivant et en circonscrivant à un cercle les polygones réguliers de 96 côtés, en déterminant géométriquement les périmètres de ces figures et enfin en admettant que la longueur de la circonférence est comprise entre les périmètres.

Cette méthode revient à appliquer la proposition résumée dans la double inégalité

sin 6 < 6 < tang 6

en faisant = -7> . Archimède déduisait les valeurs de sin et tang 9 de celle de sin ^ tï et tang ^ it par des divisions successives d'angles

en deux parties égales. Avec un polygone de n côtés, ce procédé nous donne une valeur de ic exacte au moins jusqu'à la décimale dont le rang est marqué par la partie entière de l'expression (3 log. n — 1,19). Le résultat donné par Archimède est exact jusqu'à la deuxième décimale. Son analyse de la question conduisait à cette conclusion que les périmètres des deux polygones considérés pour un cercle de 4970 pieds de diamètre étaient compris entre i56io et i5 620 pieds. 11 faut compter environ pour la circonférence i5 6i3 pieds 9 pouces.

Apollonius a discuté ces résultats, mais ses observations critiques sont perdues.

Héron d'Alexandrie {^) a donné la valeur 3, mais il a mentionné

également le résultat — (^) : il est possible que le premier nombre

servait seulement pour une approximation grossière.

La seule autre valeur approchée ayant une origine grecque que

(*) Archimedis Opéra, KuxXou fjLétpYjcriç, prop. 3, édition Torelli, Oxford, 1792, pp. 2o5-2i6; édition Heiberg, Leipzig, 1880, vol. I. pp. 263-271.

(^) Mensurœ^ édition Hultsch, Berlin, i864, p. 188.

(3) Geometria, édition Hultsch, Berlin, i864, pp. ii5, i36.

nous croyons devoir rappelé est celle de Ptolémée (*) qui a donné 7t == 3® 8' So" ; ce qui revient à prendre

TT = 3 + > — h ô-g — = 3 --i- = 3,i4i6.

6o 3 6oo 120 '

Les géomètres romains semblent avoir employé, pour des calculs approchés, la valeur 3 et quelquefois aussi le nombre 4. Pour une

plus grande approximation ils adoptaient souvent 3 ^ au lieu de 3 -

à cause de l'avantage que présente la première fraction dans le système duodécimal. D'un autre côté, Gerbert (^) préconisait Tem-

ploi de la fraction — .

Avant de parler des recherches faites par les mathématiciens européens du Moyen Age et des temps modernes, il n*est peut-être pas sans intérêt de résumer les résultats obtenus dans l'Inde et dans rOrient.

Baudhayana Q) prenait -M pour valeur de n,

Arya-Bhata (*), vers 53o,a donné pour valeur dcTr, , frac-

-^ ^ ^ ï^ 'aoooo

tion égale à3,i4i6. lia montré qu'en représentant par a le côté

d'un polygone régulier de n côtés inscrit dans un cercle ayant

l'unité pour diamètre et par 6 le côté du polygone régulier inscrit

de 2 /i côtés, on avait

(i) Almagestt livre VI, chap. vu; édition Halma, vcl. I, p. 421.

(2) Œuvres de Gerbert j édition Olleris, Clermont, 1867, p. 453.

(3) G. Thibaut. — Le SulvasutraSy Asiatic Society of Bengal, 1875. Art. 26-28.

(*) Leçons de calcul d*Aryabhata, par L. Rodet, dans le Journal Asiatique, 1879, série VII, vol. XIII, pp. 10, 21.

Parlant alors du côté de Thexagone régulier inscrit, il calculait successivement les côtés des polygones réguliers inscrits de 13, 24» 48, 96, 19a et 394 côtés. Le périmètre de ce dernier polygone serait, d'après lui, égal à v^9,8394. et il en déduit le résultat approché mentionné plus haut.

Brahmagupta (*), vers 65o, a donné pour valeur approchée de -ïT, v^'ïô, qui est égale à 3,1622... Il serait arrivé à cette valeur en inscrivant dans le cercle de diamètre i , les polygones réguliers de de 12, 24, 48, 96 côtés, et en calculant successivement leurs périmètres qui étaient respectivement égaux à

v/giM, /giBi, \/9M> 79^7-

Il supposait que ces périmètres tendaient indéfiniment vers v/Iô lorsque le nombre des côtés des polygones réguliers inscrits augmente indéfiniment.

Bhaskara, vers ii5o, donna deux valeurs approchées. L'une (^). empruntée, selon toute probabilité, à Arya-Bhata, mais qu'il annonce avoir calculée en appliquant la méthode d*Archimède jusqu'au polygone régulier de 384 côtés, est — ^r^ , fraction égale à

3,i4i6 ; PautreC) est ^■^, soit 3,i4i6d66...

Chez les Arabes, nous trouvons les valeurs — , i/îo et ^

données par Alkhàrizmi (^), vers 83o, mais elles sont, sans aucun

doute d'origine indienne. Il donne la première comme une valeur

(*) Algebra.,, Jrom Brahmegupta and Bhascara, traduction H.-T. Gole^ BROOU!, Londres, 181 7, chap. xii, art. 4o, p. 3o8.

O /6id., p. 87.

(*) The Algebra of Mohammed ben Musa, édition F. Rosen, Londres, 1 83 r, 77-72.

288 RÉGRÉATIOIHS MATHEMATIQUES

approchée, la seconde comme étant employée par les géomètres et la troisième comme servant aux astronomes.

On prétend que les valeurs 3, — et -w figurent dans les ouvrages chinois : les deux dernières sont probablement empruntées aux Arabes.

En revenant aux Mathématiciens du continent nous trouvons la suite des valeurs approchées de it énumérées ci-après. La plupart de ces résultats antérieurs au xviii^ siècle ont été originairement calculés en vue d'établir Tinexactitude de certaines quadratures données comme rigoureuses.

Léonard de Pise (*) au xiu* siècle, donna pour ii la valeur

7WÏ ^S^^® à 3, i4i8. Au XV* siècle, Purbach {^) donna ou mentionna

6â83a la valeur - , qui est égale à 3,i4i6 ; Cusa pensait que la valeur

exacte était donnée par Texpression 7 (v/3 + v^B) qui nous fournit

3,1423... ; et on attribue à Regiomontanus (^), en i464. la valeur

Viète (*), en 1679, démontra que ic était plus grand que

3i4i5926535 , , ,.^ 3i4i5û26537 „ ,,, . .^ Y^ et plus petit que — ^ — ^ '-. 11 déduisait ce

résultat du calcul des périmètres des polygones réguliers inscrit et

(*) BoNCOMPAGNi. — Scritti di Leonardo, vol. II (Practica Géométrie), Rome, 1862, p. 90.

(^) Appendice au De Triangalis de Regiomontanus, Basle, i54i, p. i3i.

(3) Dans sa correspondance avec le cardinal Cusa De quadratura circuliy Nuremberg, i533, dans laquelle il montre Pinexactitude du résultat de Cusa. Nous ne pouvons donner la référence exacte, mais les chiffres sont donnés par des écrivains compétents et sont, sans nul doute, corrects,

(*) Canon Mathematicus seu ad Triangula, Paris, 1679, pp. 56, 66 : cet ouvrage a probablement été imprimé pour un petit nombre de lecteurs, il est excessivement rare.

circonscrit de 6x2*® côtés, obtenus en appliquant successivement la formule a sin* -6=1 — cos 6. Il a donné également (*) un résultat équivalent à la formule :

ir a . a a

Le père d'Adrien Métius (^), en i585, donna la fraction — 5 qui

est égale à 3,i4i59a9a, valeur exacte jusqu'à la sixième décimale, C'est le résultat vraiment curieux d'une supposition heureuse, car tout ce qu'il est arrivé à démontrer est que ir est compris

entre — ^ et — ? ; partant de là il se crut autorisé à formuler lao 106* *^

cette conclusion que la valeur exacte de ir s'obtenait en formant

une nouvelle fraction dont le numérateur et le dénominateur

étaient les moyennes des numérateurs et des dénominateurs des

deux premières.

En 1598, Adrien Romanus(^) calcula le périmètre du polygone régulier inscrit de 1078741834 côtés (c'est-à-dire a'®) et il en déduisit une valeur de tc approchée jusqu'à la quinzième décimale.

L. Van Ceulen consacra une partie de son existence à l'étude de la question. En 1596 (*), il fit connaître un résultat exact jusqu'à la vingtième décimale calculé au moyen des périmètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 60 Xa'^ côtés, obtenus en

(*) Vietœ opéra, édition Schooten, Leyde, 1646, p. 4oo.

(2) A. Mbtius. — Arithmeticae libri duo et Geometricœ, Leyde, 1826, pp. 88, 89 (l'édition originale date probablement de 161 1).

(*) Idese MathematicT, AoA^ers, 1,593; livre très rare qu'il ne nous a pas été possible jusqu'ici de consulter.

(*) Vanden Circ^e/, Delf., 1596, fol. i/J, p. i; ou De circulo, Leyde, 1619,

RécréaHoDê tnathématiques» II. I9

2 go REGREATIOIfS MATHÉMATIQUES

appliquant successivement un théorème qui lui appartient et qui conduit à la formule :

I — cos A = a sin^ - A.

Nous avons en notre possession une estampe finement exécutée, datant de cette époque, qui le représente, avec le résultat mentionné plus haut inscrit autour d'une circonférence tracée sous le portrait. Il mourut en 1610, et, suivant ses inàtructioBs, la valeur de tk avec 35 décimales (<jui représentait le résultat de ses dernières recherches) fut gravée sur son tomheau (*) à Leyde dans l'église de Saînt-Pierrç. Dans son arithmétique pojsthume (') on trouve la valeur de tz avec 82 décimales ; résultat obtenu en calculant le périnaètre d'un polygone régulier dont le nombre de» côtés est a^^, c'est-à-^dire 4611686018427387904. Van Geulen formçi également une table des périmètres d'un certain nombre de polygones réguliers.

Willebrord Snellius (^), en 1621, obtînt au moyen du polygone de 2^^ côtés une valeur approchée jusqu'à la trente-quatrième décimale* Cette approximation est un peu plus faible que celle de Van Geulen, mais la méthode de Snellius est de beaucoup préférable car il obtient ces 34 décimales au moyen d'un polygone qui n'avilit fourni à Van Geulen que i4 (ou peut-être 16) décimales exactes. De même Snellius parvint avec Tbexagone régulier à une approximation aussi grande que celle obtenue par Archimède avec le polygQ?ie régulier de 96 côtés, tandis que ce dernier polygone lui.

(^) Cette inscription est mentionnée par le professeur De Haan dai^s le Mcs$enger of Mather^aties^ i874» "^®^* 5'» P' 26.

(^) De Arithmelische en geometrische Fondamenteiij Leyde, 16 15, p^ i63 ; ou p. 144 <^G ^^ traduction latine de W. Si«eluus, puhHée k Leyde en i6i5 sous le titre Fundamenia arithmetica et geometrica. Cet ouvrage fut réédité avec une traduction latine de Vanden Circkel^ en i6i(|^ soust le titre De circulo; voir ce dernier ouvrage aux pp. 3, 29-82, 92.

(3) Cyclometricas, Leyde, 1621, p. 55.

TROIS PAOBLÉMES DE GÉOMÉTRIE 2g t

donnait une valeUr de ic avec 7 décimales exactes, au lieu de deux comme Tavait trouvé Ârchimède. En voici la raison : À.rchiKnède, après avoir calculé les côtés des polygones réguliers inscrit et cir* conscrit de n côtés, supposait que la longueur de la n*"* partie de la circonférence était comprise entre ces deux côtés ; tandis que Snellius déduisait de ces deux côtés deux autres lignes qui consti^ tuaient des limites plus resserrées entre lesquelles l'arc se trouvait compris. Sa méthode repose sur le théorème traduit par la double inégalité :

3 sin 6 ^ A ^ . I ^ . t ^

son application conduit à une valeur de ir exacte jusqu'à la décimale dont le rang est marqué par la partie entière de (4 log. n — o,33o5) ; approximation deux fois plus grande que celle donnée par la règle ancienne. La démonstration que présente Snellius de son théorème est erronée, bien que le résultat soit exact.

Snellius construisit une table (*) des périmètres de tous les polygones réguliers inscrits et circonscrits dont le nombre des côtés est compris dans la forme générale 10X2", n variant de 3 à 19. Beau* coup des résultats donnés sont empruntés à Van Goulen, mais quelques-uns furent calculés de nouveau. Cette table servit utilement pour réfuter certaines quadratures. James Gregory (*) publia également une semblable liste.

En i63o, Grienberger (^) en se servant du théorème de Snellius poussa l'approximation jusqu'à la trente neuvième décimale. C'est le dernier des mathématiciens qui appliqua la méthode classique consistant à calculer les périmètres d'un certain nombre de poly-

(i) Elle est mentionnée par Mo.ntucla, édition i83i, p. 70. (2) Vera circuli et Hyperbolœ qaadraiiira^ prop. 29, mentioniio pal» HuYGENS, Opéra Varia, Leyde, 1724» p. il?-

(*) Elemenim Trigonometricaj Rome, t63o, à la fin de la Préface;

29a RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

gones réguliers inscrits et circonscrits. Une plus* grande approximation ne serait d'aucune utilité pratique. Des démonstrations des théorèmes employés par Snellius et par d'autres géomètres, en appliquant cette méthode, se trouvent dans un ouvrage de Huygens (^) qui doit être considéré comme renfermant toute l'histoire de la méthode.

En i656 Wallis (*) démontra que :

et signala une proposition donnée quelques années plus tôt par le vicomte Brouncker établissant que Ion avait :

mais aucun de ces théorèmes n'a été employé pour donner une plus large extension aux calculs.

Les géomètres qui suivirent utilisèrent les propriétés des séries convergentes et en déduisirent une méthode dont l'application aurait été bien difficile avant l'invention du calcul des séries, bien que Descartes (*) eût fait connaître un procédé géométrique équi-

(*) De Circuit magnitudine Inventa^ i654,' Opéra Varia, pp. 361-387. Les démonstrations se trouvent dans l'ouvrage de G. Pirie. — Geometrical methods of approximating to ihe value of tz^ Londres, 1877, pp. 2i-23.

(2) Arithmelica Infinitornm, Oxford, i656, prop. 191. Une analyse des recherches de Wallis a été donnée par Gatley dans le Qaarterly Journal oj MathematicSy 1889, vol. XXIII, pp. 165-169.

(3) Voir un mémoire d'Euler dans le Novi Commentarii Academiœ Sçien^ tiarum, Saint-Pétersbourg, 1763, vol. VIII, pp. 157-168.

TROIS PROBLÈMES DE GEOMETRIE 2g3

valent à Temploi de telles séries. L'usage des séries indéfinies a été proposé par James Grégory (*) qui démontra la relation :

tango — 5 tang'e H- ^ tang^Ô —

dans laquelle 6 doit être compris entre — jizeXj iz.

Le premier mathématicien qui se servit de la série de Grégory pour obtenir une valeur approchée de n fut Abraham Sharp (') qui, en 1699, conseillé par Halley, poussa le calcul jusqu'à 73 décimales

(dont 71 sont exactes). Il obtint ce résultat en posant 8 = ^ ir dans

la série de Grégory.

Machin (®), avant 1706, donna une valeur de ir avec 100 décimales exactes, calculée au moyen de la formule :

| = .4arctg|-arc tg^.

De Lagny (*), en 1719, obtint une valeur avec 127 décimales (dont 113 exactes) en faisant = s dans la série de Grégory.

(*) Voir la lettre à Gollîns, datée du i5 février 1671, imprimée dans le Commerciam Epistoliciuny Londres, 1712, p. 25, et dans la collection Macclesfield, Correspondence of scientific Men of the Seventeenth Centary, Oxford, i84i, vol. II, p. 216.

(') Voir Life of A, Sharp, par W. Gudworth, Londres, 1889, p. 170. Le travail de Sharp figure dans Tun des discours préliminaires (p. 53 et seq.) annexés aux Mathemaiical Tables de H. Sherwin. Ces tables furent publiées à Londres en 1706 : les discours furent probablement publiés à la même époque, bien que les plus anciennes copies que nous en ayons vues portent la date de 171 7.

(*) W. Jones. — Synopsis Palmariorum de Londres, 1706, p. a43 ; et Maseres. — Scriptores Logarithmici, Londres, 1796, vol. III, p. 7-9, i55i64.

(*) Histoire de V Académie pour 17 19, Paris, 1721, p. i44.

29Â nécnéATIONl MÂTHfiMATIQUBS

Hutton (*), en 1776, et Euler (2), en 1779, préconisèrent Tem-

il I I

ploi de l'une ou Tautre des formules ^ = arc tg - + arc tg g^,

ou 7 = 5 arc tg — ha arc tg — .

Mais ni l'un ni l'autre ne poussèrent Tapproximalion aussi loin que leurs prédécesseurs.

Vega, en 1789 (^). donna la valeur dé Travée i43 décimales (dont 126 sont exactes) ; et, en 1794 (*), avec i4o décimales (dont i36 exactes).

Vers la fin du siècle dernier, le baron Zach trouva dans la biblio-> thèquc Radclifle, à Oxford» un manuscrit, dont Tauteur était inconnu, et qui donnait la valeur de iz avec i54 décimales (dont iSa étaient exactes).

En 184 1, Rutherford (^) calcula tt avec 208 décimales (162 exactes), au moyen de la formule

| = 4arctgA arctg^-i-arctg^.

En 1844, Dase (^) trouva rz avec 2o5 décimales (200 exactes) en partant de la formule ^ = atc tg — h arc tg ? -+- arc tg ^ .

(1) Philosophical Irftnsdceîons, 177Ô, vol. LXVI, pp. ày^'k^2,

(i) Nom Acta Aèademiae Seiéntiarum PetrtojmUianm pour 1793, Saint-Pé* lersbourg, 1798, Vol. XI, pp. ï33-t49 î le mémoire fut lu on 1779.

(3) Nova Acta Acadâmiae Scientittrum PutrùpolUatiêi pOUr 179O, Sainl-Pé* tersbourg, 1796, vol. IX, p. /*i.

{*) ThesauruB Logarlthmofam {IwjûrUhmiith^Ti'igometrischer Tûfeln)^ Leipzig, 1794, p. 633.

(5) Philosophical Transactions, 1841, p. 283.

(6) Journal de Crelîe, i844, vol. XXVII, p. Ï98.

TROIS PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE îgS

En 1847» Clausen (*) poussa Tapproximalion jusqu'à abo décimales (348 exactes) en calculant tu au moyen des deux formules :

j = a arc. tg g -h arc. tg i, ^=4 arc. tg g — arc. tg ^^

En i853, Rutherford (^) poussa sa première approximation jusqu'à 44o décimales (toutes exactes) et William Shanks alla jusqu'à 53o décimales. Ces 53o décimales se trouvent également reproduites dans les tables d'intégrales définies de Bierensde Haan (Amsterdam 1858-1867). La même année, Shanks fit connaître une nouvelle valeur de ir calculée avec («07 décimales (^). Dans les Proceedings ofthe Royal Society of London, 1872-78, Vol. XXI, p. 3i8, la valeur de it est donnée avec 707 chiffres décimaux, mais on a découvert que trois décimales étaient fausses ; la valeur corrigée avec 707 décimales a été donnée dans le Vol. XXII, p. 45, dans une communication de William Shanks, lue par le professeur G. G. Stokes, le i3 octobre 1873. Ces 707 décimales ont été rééditées tout récemment dans le Zeitschrift d'Hoffmann, 1896, T. XXVI, p. 263, avec une réimpression textuelle d'un article de W. Shanks, daté du i4 avril 1873, et une courte esquisse biographique de cet infatigable calculateur.

La formule employée pour cette évaluation du nombre it est celle de Machin.

| = 4ftrctg^-arctg^.

En i853, Ritchcr, ignorant probablement les résultats obtenus jusqu'alors par les géomètres anglais, trouva une valeur de « avec 333 décimales (♦) (dont 33o sont exactes) ; son approximation fut

(*) Schumacher. — AsironomUche Nachrichten, vol. XXV, col. 207.

(2) Proceedings of the Royal Society ^ 20 janvier i853, vol. VI, pp. 278-

(3) Contributions to Mathematics, W. Shanks, Londres, i853, pp. 86-87. (*) Archiv. de Grunert, vol. XXI, p. iip.

2g6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

poussée jusqu'à 4oo décimales, en i854 (*), et jusqu'à 5oo décimales en i855 (^).

De toutes les séries ou formules qui ont été employées pour calculer ces valeurs approchées de ir, celles de Machin et de Dase sont peut-être les plus simples et les plus commodes. Signalons deux séries dont la convergence est rapide

. 1 1-00 HTC f 17 . -l- arc f fr ^ nrr ftr

. w f^ n me* # r»

^ IIOI8

cette dernière est due à M. Escott (^).

Les résultats qui précèdent se trouvent résumés dans le tableau de la page suivante.

Pour retrouver tt avec un nombre de décimales plus que suffisant pour les calculs les plus approchés que Ion puisse avoir à faire, il suffit d'écrire la phrase ci-dessus qui se retient facilement lorsqu'on Ta lue une fois

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages 3i4i5 9 a 653 5

en comptant le nombre des lettres qui entrent dans chaque mot et en écrivant les totaux dans Tordre où on les trouve, on obtient le nombre iz avec ses 10 premières décimales.

Puisque nous sommes en si bonne voie citons le quatrain mné-

(*) Archiv, de Grwiert. "Vol. XXIII, p. 476 : l'approximation donnée dans le vol. XXII, p. 473, n'est exacte que pour les 33o premières décimales.

(2) Ibid. Vol. XXV, p. 472 ; et Elbinger Anzeigen, n» 85.

(') Intel médiaire des Mathématiciens ^ Paris, Décembre 1896, Vol. III. p. 376.

TROIS PaOBLÈHES OE GÉOMéTIlIB

Nombre

Dates

Noms des calculateurs

des décimales

calculées

exactes

Archimède

Regiomontanus

Les astronomes indiens

J. Rheticus

Pierre Metius

Viète

Lud. Van Ceulen

Adrien Romanus

i6io

Lud. Van Ceulen

Snell

Abr. Sharp

Machin

De Lagny

Vega

(inconnu)

Rutherford

Dahse

Glausen

Shanks

Rutheiford

Shanks

Richter

Richler

4oo

Richter

4oo

Richter

5oo

. Shanks

monique suivant (en pitoyables vers d'ailleurs) qui permet de retrouver les 82 premiers chiffres de ir :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages 3i4i5 9 a 6 535

ItnmorUl Archimède, artiste, ingénieur,

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?

Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Ce quatrain a été publié dans le tome V, 1879 de la Nouvelle Correspondance malhématiquey p. 449 d*après une communication de Radicke, empruntée à Vlllustrirte Zeitang. Le même quatrain est rapporté dans les Problèmes de géométrie de Laisant et Elie Perrin (Paris 1894), p. 42 et les auteurs ajoutent, comme ravaitfait Catalan (loc. cit.) : « la Sa* décimale (*) est un zéro ce qui empêche d'étendre davantage ce procédé mnémotechnique »,

Dans Touvrage d'Aimé Paris intitulé Principes et applications diverses de la Mnémotechnie (2 vol. in-8®, Paris i834), on trouve à la page 676, le moyen d'apprendre le nombre tc avec i54 décimales (*).

La valeur de - se retient par un procédé analogue en faisant un

emprunt à Thistoire.

Les révolutions ont été assez fréquentes en France.

La révolution de i83o a succédé à celle de 89.

Les trois journées de i83o ont précédé 89 à Tenvers

(1) On a imprimé par erreur 3i°*®.

(-) A l'Ecole polytechnique, tous les élèves connaissent le moyen mnémotechnique de retenir lés premiers chiffres de la partie décimale de tc. On dit un quatre et un cinq font neuf.

L'expression faire deux pi signifie décrire une circonférence et, par extension, faire le tour complet de la cour. Faire pi, c'est faire une moitié de tour. Faire pi sur deux, c'est profiter du sommeil d'un camarade pour le redresser verticalement sur son lit.

Pour la plupart des cas, les 3 journées de i83o suffisent pour rappeler les premiers chilTres 3 i83o de la partie décimale. Enfin disons qu'on a trouvé pour e la phrase suivante :

Tu aideras à rappeler ta quantité à beaucoup de docteurs amis o=:a,7i8 a 8 i 8 a 8 4

On peut aussi obtenir expérimentalement une valeur approchée de :r au moyen de la théorie des probabilités. A cet effet après avoir tracé sur un plan un certain nombre de droites parallèles distantes les unes des autres d'une même quantité constante a, on laisse tomber sur ce pian une petite tige de longueur / (l étant moindre que a). La probabilité qu'elle tombera de façon à couper une des parallèles

est exprimée par — (*). Si l'expérience est reprise plusieurs centaines de fois, le rapport du nombre des cas favorables R au nombre

R 2I total des chutes N sera sensiblement égal à cette fraction, -^ == —

d'où résulte it = ^- .

Le Magasin pitioresque de i838 (p. 3oo) rappelle ce procédé en prenant pour exemple l == 5o millimètres, a = 63'°"\6, et ajoute dans le même article que le choix de ces longueurs (ou plutôt de leur rapport) est tel que sur un nombre de coups déterminé on a ainsi le plus de chance d'obtenir la plus grande approximation possible. F. Robellaz a examiné la question dans V intermédiaire des Mathématiciens et a démontré que, contrairement à l'afiirmation ci- dessus, ces conditions se trouvent réalisées lorsque la longueur de la tige est égale à Téquidistance des parallèles (*).

Citons quelques résultats obtenus par cette méthode ; en i855. En i855, M. A. Smith (^) d'Aberdeen fit 3 2o4 essais et en déduisit

(*) Voir Touvrage de J. Richard. San la philosophie de» Mathématiques* Paris 1908, pp. 157-161.

(') Intermédiaire des Mathématiciens ^ T. II, 1896, pp 45-4?.

(") A. DB M0RGA.N. •— Budget of Paradoxes, Londres, 1872, pp. 171 -173 (extrait d'un article de De Morgan publié en 1861).

71 = 3,1 553. Un élève du Prof. De Morgan (*), trouva tz = 3,i37 après 6oo essais. En i864, le capitaine Fox recommença 1 120 fois Texpérience avec quelques précautions additionnelles, et obtint la valeur moyenne ic = 3, 1419.

D'autres méthodes semblables permettent d obtenir tt avec une certaine approximation. On sait par exemple que la probabilité que deux nombres écrits au hasard soient premiers entre eux a pour

expression -^ ; comme cas particulier à citer {^) 5o élèves furent invités à écrire chacun au hasard 5 couples de nombres et, ceci fait, on constata que sur les aSo couples écrits, i54 étaient constitués par des nombres premiers entre eux. Il résultait de là l'égalité

2 — X^ doÙ 71 = 3.12.

Plusieurs géomètres ont présenté, pour la rectification approchée de la circonférence, quelques constructions, dont quelques-unes sont très ingénieuses. Nous donnerons les principales.

Remarquons d'abord qu'on obtient une valeur de -k avec deux décimales exactes en remplaçant la demi-circonférence par la somme des côtés du triangle équilatéral et du carré inscrit.

En prenant le rayon pour unité, la somme des valeurs de ces deux côtés a pour expression

au lieu de

ir= 3,14159.

La valeur ainsi obtenue est donc par excès avec une erreur absolue plus petite que o,oo5.

{}) Messenger of Mathemalics, Cambridge, 1878, vol. II, p. Ii3-ii4. (2) Note sur tt, par R. Chartres. Philosophical Magazine, Londres, série 6) \ol. XXXIX, mars igo/j, p. 3t5*

3oi

Citons encore l'expression indiquée par Canlor dans le Gesch, der Mathem, __

5oi H- 80 V^ïô ^ . I I ^ V^io " r

et due à Gergonne (A. G. Tome VIII), elle donne la valeur de n avec 9 décimales exactes.

Construction de Specht (^). — Soit OA le rayon d'une circonférence de centre ; sur la tangente indéfinie en A on prend à partir de ce point, des longueurs AB, BC, CD respectivement égales au double, au cin-

quième et aux ^ du rayon. On trace

les droites OC, OD, et Ton prend sur AO et dans le sens AO, une longueur AE* égale à OC. Enfin on mène par le point E une parallèle à OD, jusqu'à son intersection en F avec la tangente AB. La droite AF est très approximativement égale à la circonférence.

On a, en effet, en prenant le rayon pour unité

oc=^.^(^)'

donc

AE=r

Fig. 145

(1) Procédé indiqué par Specht dans le Journal de Crelle (T. IIÏ, p. 83r836. Specht a donné une autre sohition encore plus approchée, mais beaucoup moins simple.

302 RIÎGRÉATIONS SIATHÉMATIQUES

D'autre part

AF AD ,, , .„ .„ ï3