PB
2BP = 3,1414284...
Quand on a en vue la quadrature du cercle, on peut la réaliser approximativement par Tun des procédés suivants ;
Construction Willich (*). — Soit dans un cercle la corde AB égale au rayon. On prend les milieux E et C de cette corde et de Tare sous-tendu, puis à partir de G on porte deux fois le rayon de G en D ; enfin on trace la corde DEF. Gette corde est sensiblement égale au côté du carré équivalent au cercle. L'arc AD vaut
^ — — = t- de la circonférence. Cette corde représente donc le côté du carré inscrit et l'angle AOD est droit.
Si on abaisse la perpendiculaire AH sur BD, on a AH = - AD
et il est, par suite facile, de calculer la corde DB.
On calcule ensuite la médiane DE du triangle ADB, puis le segment EF par la proportion
DE.EF=AÊ'.
On trouve ainsi
DF = 1,77198 au lieu de 1,77245.
Voici deux autres constructions.
Fig. i/i9
On trace un diamètre AB et la tangente indéfinie en A. On prend
(*) Nouvelles Annales Tbme XV, p. aal:
TH018 PROBLEMES DE oéOMéTRIE
sur OB la longueur OC égale au ?, du rayon et du point C comme
centre avec une ouverture de compas égale au double du diamètre on décrit un arc de cercle qui coupe la tangente en D. On trace
enfin la sécante DB qui coupe la circonférence en E et la corde AE représente approximativement le côté i ^ du carré équivalent au cercle.
On trouve AE = 1,7734502 au lieu de i, 7734588.
Sur deux diamètres rectangulaires on porte, à partir du centre O, les 4 longueurs OA. OB, OC, OD égales
aux -1- du rayon ; la surface du carré
Fig. i5o Fîg. i5i
ABGD est à peu près égale à celle du cercle (*). AB = 1,768 au lieu de 1.772.
Gonstruotion donnée par Périgal (*). — Soit AB le côté
(*) Cette construction et la précédente sont dues, croyons-nous, à Sonnet; («) The Messenger ôf mathematics, vol. IV, 1875, J*. vi.
AÉCEEATI05S MATHÉSIATIQinS
de l'hexagoîte régulier inscrit dans le cercle O. On trace le diamètre perpendiculaire MOC. et da point A comme centre ayec une ouTerture de compas ^ale au côté du carré inscrit, on trace un arc de cercle qui coupe COM en D. Enfin on porte DA en DG sur le diamètre DOC et CG représente aj^roximatÎTeme&t le côté du carré équiralent au cercle.
0E = 1^3, ED = iv/y.
CG = I 4- i (v^ + V^ —2 V^) = 1.7746874
au lieu de 1,7724539.
Donnons enfin celte dernière construction.
M Sur le diamètre AB du cercle donné
on prend le segment OD = les ^ du
rayon et, dans le sens opposé, le segment OF égal trois fois la moitié du rayon. Soit E le milieu de OB. Sur
Fig. i5a Fig. i53
DE et AF comme diamètres, on décrit de part et d'autre de AB des demi-circonférences qui coupent en G et H le diamètre élevé perpendiculairement à AB.
TROIS i*ROBLÈMÈS DE GÉOxViÉTRIE SOg
Le carré construit sur 6H est équivalent très approximativement au cercle.
Og'=OE.OD=~, OG=i/ï;ôn'=OA.OF=?. OII=v/- 10 V 10 2 Va
nri V^30 + V l5o ,p
GH — j^ = 1,77246
au lieu de 1,77245
Terminons ce chapitre en consacrant quelques pages aux géomètres qui prétendent avoir trouvé la quadrature du cercle. Ils sont légion et nous ne pouvons songer à les citer tous ou à résumer leurs recherches, nous nous bornerons aux principaux.
Dans sa célèbre Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Montucla s'exprime ainsi :
« J'ai donné dans le cours de cet ouvrage, le nom de quadrateurs « à ces hommes qui, pour la plupart, à peine initiés dans la géomén trie, entreprennent de quarrer le cercle ou s'obstinent à main- « tenir d*absurdes paralogismes pour une solution légitime de ce
« problème Si Terreur grossière^ et presque volontaire, n'était
(( punie que de l'obscurité et de loubli, ce châtiment léger serait (( trop peu capable de retenir les nombreux imitateurs de ceux dont « je parle, ils deviendront peut-être plus circonspects en voyant le (( mépris et l'espèce de tache qui accompagnent les noms de ceux « dont ils suivent les traces (*) ».
L'espoir que manifestait Montucla ne s*est pas réalisé : chaque année de pauvres esprits, qui n'ont certainement pas les premières notions des choses dont ils parlent, avancent, aux Académies et au public (^), qu'ils ont trouvé le rapport exact de la circonférence au
(*) Histoire des recherches, elc. Nouvelle édition (de Lacroix) pp. aoo-201.
(') Dès i83i, Lacroix disait « Les choses ne sont pas changées depuis la publication de Montucla. Sans cesse de nouveaux quadrateurs assiègent les corps savants, avec des paralogismes plus ou moins grossiers, mais qu'ils
3io
RÎCBiATIOTIS MATHEMATIQUES
diamètre ! Bien entendu ce rapport exact diffère pour chaque inventeur et est ordinairement fautif dès la deuxième décimale.
En France, FÂcadémie des Sciences a pris, depuis longtemps, le bon parti de ne pas plus s'occuper des Mémoires qui traitent de cette question, que de ceux qui ont pour but la recherche du mouvement perpétuel. (*)
Les géomètres de l'antiquité furent pour ainsi dire tous atteints de la fureur de la quadrature. Au nombre des plus ardents se trouvait Méton, célèbre par son cycle et Aristophane, le Molière des Athéniens, le tourne en ridicule sur la scène, à ce sujet. (*) Le cardinal de Cusa est le premier des Alchimisies-géomèlres modernes. Il s'imaginait avoir trouvé la quadrature du cercle, en faisant rouler un cercle ou un cylindre sur un plan, jusqu'à ce qu'il eût décrit toute sa circonférence ; mais il fut convaincu d'erreur par Régiomontanus. Après lui, vers le inilieu du XVI* siècle, un professeur royal de Mathématiques, Oronce Fine s'illustra encore par ses singuliers paralogismes. Voici ce qu'il dit en substance :
Soit un cercle dont AB et CD sont deux diamètres rectangulaires ; on joint le point C au milieu G de Tare CB, et on divise cette droile GG en moyenne et extrême raison, GH étant le plus grand segment. Par H on mène à AB la parallèle HK qui rencontre
soutiennent toujours, avec un entêtement et une jactance invincibles »• (Histoire, etc., p. 20).
Suivant une remarque malicieuse d'Arago, la quadrature du cercle est une maladie qui sévit, surtout au printemps.
(*) Voyez ses mémoires, année 1776, hist., p. 6i,
(') Aristophane , — Lei Oiseaux.
3ll
CD en K : la longueur OK est le demi-côté du carré équivalent au cercle (*).
En supposant exacte cette quadrature de Fine, on trouverait pour Tt une valeur supérieure à 3,4 (^).
Charles de Bovelles, chanoine de Noyon, donne également la construction suivante (^).
On trace dans le cercle E les deux diamètres rectangulaires BED, GEA ; on partage le rayon EA en 4 parties égales et l'on porte lune des divisions en AH sur son prolongement. Puis du point H comme centre avec une ouverture de compas égale à HB, on décrit un arc
de cercle qui coupe en F et G la tangente indéfinie menée en A aU cercle considéré.
De Bovelles ajoute alors : « Je dy doncques que la ligne AG sera esgale à la quarte partie de la circonférence, et aussi de l'autre costé la ligne AF. » »
(i) AUrontii Finœi Delphinatis, Regii Mathematicarum professons, De rébus mathematicis, etc. (Lutetiœ Parisiorum, Anno Ghristi Servatoris MDLVI) Liber Secundus, p. 72 et 78.
(e) Nous empruntons ces renseignements à un charmant ouvrage de G. Maupin. Opinions et curiosités touchant la Mathématique, Paris 1898.
(3) La Géométrie Pratique, composée par le noble philosophe maistre Charles de Bovelles. Paris^ i54a«
3l2 RÉCnÉATIOIfS MATHÉMATIQUES
Cette quadrature suppose que Ton prenne iz = y lo. L*un des commentateurs du P. Leurechon (*) donne une quadrature du cercle, qui est basée sur le théorème suivant : si dans un
i56 triangle rectangle l'hypoténuse vaut —^ R et qu'un des angles
soit de Se", le grand côté de Tangle droit est égal à irR. Un autre commentateur démontre dans le même livre la fausseté de cette proposition, qui paraît due à Longomontanus Q) et il s'exprime ainsi : « n'en déplaise à ce nouveau cyclomètre, ny à son prétendu traicté des Curvilignes, c'est avoir le jugement curviligne que d'admettre telles absurdités. Si cette faulse monnoye prend cours en Danemarck, la France, ou du moins Paris, ne la élèvera jamais, ou bien elle n'y aura cours que parmy les ignorans » .
Cette quadrature donne pour lu une valeur comprise entre 3, i4i8 et 3,i4i9 O-
La Hollande a fourni un grand nombre de quadrateurs. Le premier en date est Simon Vander Eycke, appelé aussi Simon Dachesne ou Simon a Qaercu, En i584, il publia la quadrature du cerclcy dans laquelle il prétend démontrer que
ou que le rapport entre le côté du carré équivalent à un cercle et le
rayon du cercle, est rigoureusement égal à -^. Il se basait sur le
théorème suivant :
Si de l'extrémité D du diamètre BD d'un cercle, on mène une tangente DF et que de l'autre extrémité B on tire une ligne droite
(*) Le P. Leurechon jésuite, confesseur de Charles IV de Lorraine (de iSgi ? à 1670) auteur du traité de Récréations mathématiques,
(-) Le danois Longomontanus vivait de i562 à 1647. ^^^ ouvrage, paru à Amsterdam en i644 est intitulé : « Ghristiani Severini Longomontani, Gimbri, Rotundi in piano, seu circuli absoluta mensura ».
(s) Maupin. — Opinions et curiosités touchant la mathématique y p. a4.
BCG qui coupe le cercle et la tangente, en sorte que la partie DG coupée delà tangente soit égale à BG, cet le partie inscrite BG sera égale à la quatrième partie de la circonférence du cercle.
Le Teuncr montra la fausseté de cette quadrature dans son « Traité des quaniitez incomensurables » •
Mais en Hollande même cet ouvrage avait provoqué une première réfutation de Ludolph Van Geulen [Cher Bewiys), laquelle, après une réponse de Vander Eycke {Claerder Bewiys)y fut suivie d'une seconde réfutation (Prœfsieen et Claerder Widerleggingh). Dans le ce Glaerder Bewiys » Fauteur abandonne sa première valeur de îc pour y substituer Texpression
surtout connue par la mention qu'en fait Nicolas Dithmarsus dans son Fandameniam astronomicum.
De Beaulieu, ingénieur géographe du Roy reproduisit, en 1676 dans « La Géométrie Jrançaise y ou la pratique aisée » la quadrature déjà donnée par Gharles de Bovelles.
Rémy Baudemont fit paraître en 171 2 un petit traité in-S" intitulé « La Grande et fameuse découverte de la quadrature du cercle (*) dans lequel on trouve ce passage :
(') Remy Baudemont présente ainsi sa découverte : Au lecteur Dois-je avant de résoudre un si fameux Problème, Me fraïant un chemin à la gloire suprême, Marquer ici les noms de mes vains concurrents ? Non sans doute, et je hais cet indigne artifice. J'attends de toy. Lecteur, une entière justice, Sans briguer ton estime aux dépens des Sçavans.
3i4 RÉG&iATIONS HATHÉMA^TIQUES
a Dinostrate... partagea la circonférence d'un quart de cercle en autant de parties égales que le rayon, et il mena des rayons par tous les points de division de cette circonférence et des parallèles à l'autre rayon par tous les points de division du premier, de l'extrémité duquel il commença une ligne courbe, la continuant par Tintersection de la première parallèle et du second rayon, de la seconde parallèle et du troisième rayon, et ainsi de suite. Puis il démontra que la base de cette courbe est au rayon, comme le rayon est au quart de la circonférence. »
Ce théorème est exact, comme l'on sait, et si on prend un quart de cercle DAB, que DE soit l'arc de quadratrice dont il est parlé ; si on suppose AB = i , on a :
