RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ

D'après COSSALI. t. II, p, 96-184 (*)

(Ex|rait du Bolletiii de Bibliographie, d'Histoire et de Géographiede MathématiqueB de Terquem, t II, 18S16)

Les Indiens, les Greos et les Arabes savaient résoudre les équations binômes du troisième degré. Cette résolution se ramène immédiatement à une simple division ou à une extraction de racine carrée ou cubique. On doit la résolution d'une équation trinôme du troisième degré (^) aux Italiens du xvi« siècle. L'histoire de cette découverte jette un grand jour sur les mœurs et Tétat des mathématiciens du temps. Les combats singuliers apportés en Occident par

(A) Aux trois problèmes de géométrie célèbres traités par Rouse-Ball, nous croyons devoir ajouter Thistoire d'un quatrième problème, point de départ de la rénovation des sciences mathéinatiques en Italie.

(1) Origine^ trasporto in Ilalia, primi progressi in essa delV algebra, Storia critica di nuova disquisitione analitiche e metafisiche arrichita di D. Pietro Gossali, C. R. Deux volumes in-4. I®'' volume 1797, SgG pages. II« volume 1 709, 493 pages. Dalla reale tipografiia Parmense.

Le P. Gossali, do l'ordre des Thëçitins, né en ^748, est mort à Vérone en i8i5.

(^) M. Libri cite une solution de Téquation du troisième degré contenue dans un manuscrit du xiV^ siècle : solution fausse donnée par analogie avec la solution des équations du second degré. Exemple :

px^ = oo: -j- 6, on donne

ap

ftOTtCB tilSTÔRIQtB ^23

les Barbares du Nord, qui se livrent malheureusement encore aujourd'hui dans les champs de Thonneur, existaient aussi alors dans les champs de la science. On se portait des défis publics, non seulement pour acquérir de la gloire, mais aussi dans l'intérêt de lexistenoe. Le vaincu, perdu de réputation, ne trouvait plus de disciples : tandis que le vainqueur était appelé par diverses oités à venir pro-* fesser et à expliquer les auteurs classiques. Dès lors les inventeurs se gardaient bien de divulguer leurs découvertes ; car, munis de ces armes secrètes, il trouvaient plus avantageux de proposer des questions dont la solution reposait sur l'objet de ces découvertes. Pourtant ce secret intéressé porta malheur, compie nous Talions voir, au célèbre ïartaglia, véritable auteur des formules qu'on s'obstine à nommer /ormui«« de Cardan,

Paccioli, dans son ouvrage (*) qui a paru en i494. au VIII* chapitre du VI* traité de la VI II' distinction, énumérant les équations biquadra tiques, dit : Ma de eapitoli de numéro coaa et cubo composte over de numéro censo e cubso over de numéro cubo e cej]so de cengo non se possutfinora troppo beneformare regole gêner ali per la dispropor^ zionallta fra loro, perche fra loro non sono intervalli equali. Cela signifie en écriture moderne que les trois équations

n = ax -h bx"^, n = ax^ -h 6x', n = ax* -+- fcx*

(i) S^mmc^ de ariihmeliea^ geomctrla, proporlioni c praportionalUa. In-folio, écriture geHiiquo. A la fin, on lit :

Con spesa e diligentia e opificio dcl prudente huomo Paganino de Paganini da Brescia : nella excelsa cita de Venezia, con gratia del suo exceîso dominio che per annt x proximi nell altro in quella la posii resiampare ne uUrove slampata in quello portarla sotto pena in dilta gratia contenula negli anno dé nosira sahie îfGGCCXGlII aliio dç novembre, Aagastino Barbadico^ serenessimo principe di quello, — F rater Lucas de Bargo, iancii Sepulcri ordini^ Minorum et saère théologie humilis professor^ suo parvo ingénia ignaris compatiens hanc Summam Arithmetice el Géométrie proportianumque et proportionalikitum edidit ao impressorihus assistens die noctuqm pro posse manu propria castigavit, Laos Deo (voir Nouvelles Annales, t. XII, p. Sg),

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ne peuvent encore jasquaujôuriThui être généralement résolues. Il donne une singulière raison de cette impossibilité : c'est qu'entre x et X» il y a un milieu, c'est x' {média el censo), tandis qu'entre le nombre et la chose x il n'y a pas de milieu.

Néanmoins, il ne croit pas à une impossibilité absolue. Aussi un nommé Scipion Ferro ou dal Ferro, né à Bologne où, au dire d'Âlidosi et de Cardan, il enseignait les mathématiqueS| de 1496 à 1626, réussit à résoudre Téquation de la forme

x^ -{- px = q,

et il en communiqua la pratique à son élève Antonio Maria Fiore ou del Fiore.

C'est tout ce qu'on sait de cette découverte, dont on ignore complètement la méthode, Il n'en est pas ainsi de la découverte de Tartaglia, sur laquelle on a beaucoup de renseignements donnés par lui-même dans son ouvrage : Quesiii et inventioni diverse^

Ce sont des questions adressées à Tartaglia par diverses personnes^ avec les réponses, le tout sous forme de dialogues. Les huit premiers livres roulent sur la balistique, la fortification, Part militaire, la mécanique, etc. (*).

Le IX* et dernier livre porte pour titre : Sopra la scientia arilhmclica, geometrica el in la praiica specalativa de algebra et alinu" cabala, volgarmente detta Regola de la cosa, over Arte maggiore et massime délia inventione de Capiloli de cosa e cabo equal a numéro , et altri saoi ederenti et dependenti, et simelmente de censi el cubi equal a numéro et suoi dependenti, qualli dalli sapîenli sono stati giadicàti impossibili (^).

Cardan se sert aussi du mot capilulum pour désigner une équa-

[^) La partie balistique a été traduite par M. Rieffel, professeur à TEcole d'artillerie de Vincennes,

(3) La première édition est de i546, in-4> On lit à la fin ;

Stampata in Venetia per Ventarino BaffînelU ad inslantia et requisitione et a proprie spese de Nicolo Tartalea Brisciano aatore, nel mese de Luio, Varmo de nostre sainte MDXLVL

WOTIGB HISTORIQLE 325

lion. On voit qu'il s'agit de la résolution dos équations cubiques de ces deux formes

x^ -{- px = q et

x^ -H px^ = q

On arrangeait les équations de manière à ne renfermer que des termes positifs dans chaque membre, et une équation ainsi arrangée était considérée comme l'en-tête du problème, Capitulam,

Ce livre renferme quarante-deux questions ; la quatorzième a été proposée en i53o par Zuane de Torrini da Coi (*), qui tenait école d'arithmétique à Brescia. Il demande : i<^ de trouver un nombre qui multiplié par sa racine augmentée de 3 fasse 5, et semblablement de trouver trois nombres tels, que le deuxième surpasse le premier de a, que le troisième surpasse le deuxième de a, et que le produit des trois nombres soit égal à i ooo. Selon l'écriture actuelle, on parvient aux équations

x^ -+- 3x« = 5, x' -f- 6x^ 4- Sx = 1 000.

Tartaglia répond qu'il possède une règle générale pour résoudre la question du cube et des censi égaux à un nombre ; mais; pour plusieurs raisons, il veut, pour le présent, se taire (per al présente voglio lacère per pin respelii); quant à la seconde question, il avoue ne pas en connaître la solution, mais qu'il est bien loin de la croire impossible, et commence par dire vertement à Zuano : « Je sais que les professeurs de Brescia vous craignent et vous fuient, parce que, pour vous faire passer pour un grand mathématicien, vous leur faites des questions que vous-même ne savez pas résoudre, et je parie dix ducats contre cinq qu'il en est ainsi de vos deux questions. C'est un procédé dont vous devriez rougir. » [Et circa cio ve doviresti alquanto a rossire,^

(1) Cardan le nomme da Doile et da Colla; 2uane pour Giovanne; les Vénitiens changent souvent le 9 en ^ ; majore pour maggiorfi^

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Cette question XXV fut portée à Venise, où ïârtaglia était pro* fesseur, par un nommé Antonio de Gellatica, et, dans sa question XXV, 10 décembre i536 Tartaglia, annonce qu'il a trouvé la solu-^ tion de l'équation

àr' 4- n = mx^ le lendemain du jour ou il a trouvé la solution de Têquàtiôn

Nous ferons observer une fois pour toujours que Tartaglia ne fait usage ni de nos signes ni de nos exposants. Comme leà Arabes, il parle des capitoli et ne les écrit pas ; dans son langage^ la cosa c'est l'inconnue, le censo c'est le carré, et le cubo c*est le cube (*) ; ainsi, pour exprimer la dernière équation, il emploie cette locution : cubo e oensi egiiala numéro, et ainsi des autres.

Cependant Antonio Maria del Piore, ce disciple de Scipîon Perro dont nous avons parlé ci-dessus, se vantait de venir humilier Tartaglia pour sa prétendue habileté dans la solution des problèmes. Tartaglia, sachant que del Fiore n*était qu'un arithméticien sans aucune connaissance théorique^ ne tint aucun compte de ces vanteries ; mais ayant appris que del Fiore était en possession de la règle générale de résoudre le chapitre (capitole) du cube et de la chose égale au nombre, qu'un grand maître lui avait enseigné, il y a une trentaine d'années, il commença à avoir des craintes, s'appliqua à ce chapitre, et parvint à en trouver la solution le i4 février i535, et le lendemain il trouva la solution des équations

x^ =px -\- 5, aj* -h mec* ==r n,

Bien lui en prit. Car, huit jours après cette découverte, le ia février

(1) Cftrdati nomme iusdi riAI:k>nnu6 res el ftusiti j^iith^ dtt verbe potière ; on ne posait (|ue des quantités pO<illv)»s.

i535, del Fiore vint à Venise où Tartaglia professait alors, et lui porta un défi public qui fut accepté. Del Fiore déposa chez le notail'c Jacomo Zambelli trente questions et une certaine somme d'argent ; Tartaglia en lit autant. Celui des deux qui, au bout de trente à quarante jours ^ aurait résolu le plus de questions serait déclaré vainqueur et gagnerait la somme déposée. Voici les trente questions de del Fiore, telles qu'elles sont énoncées dans la question XXXI des Quesitii