Trouver un nombre qui ajouté à son cube fasse

4. Trouver trois nombres en proportion ^triple [x, 3x, gx) tels, que le carré du plus petit multiplié par le plus grand et ajoutant au produit le nombre moyen, la somme soit égale à 7.

5. Deux homihes mettent en société un capital de 900 ducats ; le premier met la racine cubique du second. Quelle est la part de chacun ?

6. Deux hommes gagnent ensemble 100 ducats ; le gain du premier est la racine cubique de la part du second.

7. Trouver un nombre qui ajouté à deux fois sa racine cubique fasse i3,

8. Trouver un nombre qui ajouté à trois fois sa racine cubique fasse i5«

9. Trouvet un nombre qui ajouté à quatre fols sa racine cubique fasse 17.

10. Partager i4 en deux parties dont Tune soit la racine cubique de l'autre.

I I . Partager ao en deux parties dont l'une soit la racine cubique de l'autre.

13. Un joaillier vend un diamant et un rubis pour 2,000 ducats ; le prix du rubis est la racine cubique du prix du diamant.

i3. Un juif prête un capital à celte condition qu'à la fin de l'année on lui payera pour intérêts la racine cubique du capital. A la fin de Tannée, le juif a reçu 800 ducats, capital et intérêt. Quel est ce capital ?

i4. Partager i3 en deux parties telles, que le produit de ces deux parties soit égal au carré de la plus petite partie multipliée par elle-* même.

i5, Quelqu'un vend un saphir pour 5oo ducats et y gagne la racine cubique de son capital.

Les quinze autres questions reviennent à partager les nombres 7, 13, 9, 25, 20, 28, 27, 29, 34, 12, 100, i4o, 3oo, 810, 700 chacun en deux parts dont Tune soit la racine cubique de l'autre.

On voit que toutes ces questions amènent à Téquation x^ -^ px ^= q.

Aussi Tartaglia les résolut toutes en moins de deux heures, et Fiore ne résolut aucune des trente questions posées par Tartaglia ;du moins il ne voulut pas communiquer ses solutions et ne s'en rapporter qu'au jugement de ses amis. C'était s'avouer vaincu. Tartaglia se contenta de la gloire et renonça au prix.

On ne connaît que les quatre premières des trente questions posées par Tartaglia. On les trouvera plus loin.

Tel est le récit que fait Tartaglia à Zuane di Coi (quesito XXV). mentionné ci-dessus, qui s'était rendu à Venise, le 10 décembre i536, *pour prier instamment Tartaglia de lui donner communication des trente questions qu'il avait proposées. Tartaglia dit qu'il n'en avait pas gardé de copie, mais qu'en allant chez le notaire et lui offrant une légère rétribution [donaie gli una gentilezza)^ il en aurait une copie ; mais, en tout cas, il refuserait de donner les solutions, de crainte que ces solutions ne fassent trouver la règle. Toutefois, il lui donna les quatre premières questions.

V Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en la multipliant par sa racine carrée augmentée de 4o, le produit soit égal à un nombre rationnel donné,

a* Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en la multipliant par 3o moins la racine carrée de cette quantité, on obtienne un nombre rationnel donné.

3* Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en y ajoutant quatre fois la racine cubique, on obtienne i3.

4° Trouver une quantité irrationnelle telle, qu'en en soustrayant trois fois sa racine cubique, il reste lo.

Les autres questions sont restées inconnues, mais elles roulaient sur la géométrie, l'algèbre.

Zuane vit tout de suite, ce qui annonce même une certaine per-» spicacité, que la première question mène à l'équation

la deuxième a la troisième à la quatrième à

x^ -+■ mx^ = n,

m^ çc^ z=z x^ -\- n,

x^ -h mx = n,

x^= mx-\- n.

Comme il était tard, Tartaglia l'engagea à rester avec lui à souper. Zuane lui dit qu'il était invité chez un sien cousin. Piqué de ce refus, Tartaglia lui dit : Attendez que le désir me vienne encore que vous restiez (Aspettl quanta voglia, che voglio^ che reslati),

Zuane se mit en vain l'esprit à la torture pour trouver les solutions, et il retourna le 16 décembre vers Tartaglia et renouvela ses supplications. Tartaglia lui dit que ses découvertes lui avaient coûté beaucoup de peines et qu'il ne se croyait pas tenu de les publier sans en tirer aucun honneur, aucun profit ; qu'il savait d'ailleurs qu'il n'était pas licite de vouloir ensevelir totalement de telles inventions ; que son intention était que, lorsqu'il aurait fini d'autres travaux (*), de tout publier. Pour montrer qu'il n'attachait pas une importance exagérée à ses découvertes, il fit cette offre à Zuane ;

(*) Il élail occupé à traduire Eqclide.

33o REGRÉiATlOlfS MATllélfATIQUES

<\ Pour chaque problème que vous me donnerez et Avec la solution, si je n'ai pu la trouver, je vous donnerai en échange une de mes formules générales. » Zuane accepta et proposa tout dé suite ces deux questions : t** dans tout triangle rectangle la somme des deux côtés de l'angle droit est égale à l'hypothénuse plus le diamètre du cercle inscrit ; la^^dans un triangle ABC on a AB = i3, BG = i4, CA = i5 ; sur la hauteur AD, on prend dans rintérietir DF = 3 ; on mène la droite BF et on la prolonge jusqu'à ce qu'elle rencontre AC en E. Trouver les segments AE et CE {*). Tartaglia lui répond » (( Tout cela est si facile, que si vous me donnée une heure de temps, je vous en donnerai la solution. A cette occasion je vous rappellerai que l'année dernière me furent apportées de votre part trois questions, dont Tune était ainsi conçue : Trois hommes ont acheté chacun une certaine quantité de livres de viande dont la somme est 20 livres : la quantité moyenne est égale au produit des extrêmes, et le produit des deux moindres quantités est 8 ; et, selon votre habitude, vous ne pouvez en savoir la solution puisqu'elle est impossible (^)9. Enfin vaincu par les prières et les serments, Tartaglia lui donna la solution de sa première question pour le cas particulier où le nombre rationnel est a 888, et il lui dit qu'alors la quantité

irrationnelle ce* est *J8 — v^3o8 ; en effet, on parvient à Téquation

(b3 4-4oœ2 = a 888 et

a;==— I -F \/yÎ.

De retour à Brescia, Zuane réfléchissant sur cette solution, en

Q) Il suffît de prendre un triangle dont les trois côtés et Taire soient ratîonfiels | alors les hauteurs et les segments formés par ces hauteurs sur les côtés sont rationnels. Posons

pq = PQ;

les troM côtés sont p» — ç» -f P« — Q\ p« + q\ P2 + QK

(^) Cette question exige la résolution d'Utie équation du quatrième degré.

IIOTtCfi HUTOHIQUE 33 1

trouva de semblables; ainsi il ll>oiiVa pour Téquakion x^ -i- 8 a;^ = 7a,

a:;* = i4 — \/5a . a? = — i -+- \/iî, et pour l'équation x' H- 7a = 8 oî*

ic? = i4 -f- y/Sa, a?= I H- v/l3.

Sa solution de Téquation

x^ -H mx^ = 4 revient à prendre

x^ =:z ^m — a — y 4 (a m — a — i) ; c*est le cas particulier où Ton aurait dans l'équation x^ -f- ai = dix^ :

on patt dune forme de la racine pour trouver Véquation correspondante à cette racine (*). Enflé de cette prétendue découverte, Zuane écrit à TaHaglia, en date du 8 janvier l537, une lettre d'une extrême insolence, déniant la primauté de ses découvertes, et dit qu'en dotinant cinq sois pour chacune de ses trente réponses à del Flore, elles auraient été très bien payées. Tartaglîa dédaigna de répondre ; mais Zuane étant revenu à la charge le 17 février 1637, Tartaglia lui annonça qu'il eût à cesser toute correspondance, et que s'il veut obtenir des explications, il n'avait qu'à se rendre de sa personne à Venise.

Ici finit la première partie de la vie militante de Tarlaglia. Dans la seconde partie, la plus célèbre, il eut à lutter contre un homme de science universelle, d'un génie souvent très pénétrant, d'une extravagance souvent gigantesque, muni de beaucoup de ruse, d*as-

(^) Tartaglia ne fait pas cette observation, d*où Gossali est tenté de croire qu'à la fin de i536 il ne possédait pas encore de règle générale. Mais sans la connaissance de cette règle générale, comment aurait-il pu, en moins de deux heures, résoudre les trente questions de del Fiore ?

tuce et de peu de conscîwice : tel était Cardan. Tandis que Tartaglia, enfoncé dans Euclide et Archimède, d'un caractère candide, croyant naïvement que dans les affaires du monde la ligne droite est la plus courte, devait succomber, et il a succombé.

Zuane venait de quitter Brescia pour se transporter à Milan, où il fut bien accueilli de Cardan qui lui céda même un de ses cours. Il l'entretint de Tartaglia et de son invention. Cardan r occupé de publier son Ars magna, et vivement excité pour le duel algébrique de Tartaglia et de del Fiore, voulait enrichir son ouvrage de la découverte de la nouvelle invention. Il chargea un libraire, Zuan Antonio de Bassano, de prier de sa part Tartaglia :

I* De lui envoyer la résolution de l'équation

x^ -h px= q;

20 De vouloir bien lui résoudre les sept questions suivantes :

1. Partager lo en quatre parties proportionnelles dont la première soit Q.

2. Partager loen quatre parties proportionnelles dont la seconde soit 2.

3. Trouver quatre nombres en proportion continue dont le premier soit 2 et dont la somme du second et du quatrième fasse lo.

4. Trouver quatre nombres en proportion continue dont le premier soit 2 et dont la somme du troisième et du quatrième fasse lo.

5. Trouver six nombres en proportion continue dont le second soit 2 et dont la somme du premier et du quatrième fasse lo.

6. Partager lo en trois nombres continuellement proportionnels et dont le produit du premier par le second fasse i6.

7. Trouver un nombre qui multiplié par sa racine carrée augmentée de 3 fasse 2 1 .

Ces questions amènent respectivement aux équations :

IfOTICE HISTORIQUE 333