I. — Exposé de la méthode
Lorsque Téquation du troisième degré a ses trois racines réelles, la formule de Cardan devient illusoire et ne peut pas servir au calcul numérique des racines de Téquatiôn ; il est cependant possible, dans ce cas, d'exprimer les racines à Taide de formules pouvant servir à leur calcul numérique.
Soit
x^ — px — 5 =
1 équation du troisième degré, dans laquelle je mets les signes en évidence. Je puis écrire l'équation sous la forme
x^ =px -^r q, x^ = p -+- J*
le radical ayant une double détermination et la valeur de x sous le radical ayant le même signe que le radical. Cette formule peut servir de formule d'approximation successive pour deux racines de l'équation du troisième degré.
Celle qui correspond au signe -h du radical est évidemment supérieure à yp ;
est une valeur de cette racine approchée par défaut ; une valeur approchée par excès ;
une valeur approchée par défaut.
Cette racine x^ peut être exprimée à l'aide d*un nombre illimité de radicaux par la formule
NOTE H1ST0RIQU15 353
La deuxième a/' ne peut être exprimée que par défaut par la for-
mule
■=V-.7rr
Vp
Ces formules sont susœptibles d une interprétation géométrique très simple.
Les racines de l'équation du troisième degré peuvent être considérées comme les abscisses des points communs à la parabole et à l'hyperbole :
Nous cherchons l'abscisse du point a.
La première valeur approchée
représente l'abscisse du point a,, la deuxième l'abscisse du point oj, la troisième l'abscisse du point a^, etc. On Voit sur la figure comme sur la formule que ces valeurs vont constamment en se rapprochant de la racine exacte.
La trobième racine peut être obtenue d'une manière un pei; différente. L'équation peut s'écrire
P P La troisième racine est négative et supérieure en valeur absolue
Rioréatioiif mathématique, II. aS
RÉCRÉATIO!fS MAtirfMATIQUES
Fîg. 167
îfOTB HISTORIQUE
est une première valeur approchée de cette racine ;
Fig. i58 une deuxième valeur plus approchée, etc.
356 KéCRÉATtOifS MATHEMATIQUES
Cette formule est également susceptible d'une interprétation géométrique.
La racine que nous cherchons est Tabscisse de l'un des points d'intersection de la parabole cubique et de la droite
La méthode d'approximation substitue à l'abscisse des points a les abscisses dés points a^, a^, a^,»., etc.
II. — Calcul de V erreur commise dans le calcul des racines par la
méthode précédente après un certain nombre d* opérations.
Considérons d'abord la première racine exprimée par la formule
Désignons par e,, i^,..., e„ les erreurs commises après i, 3, 3 n opérations, nous aurons
JL
^. < y/p-H^ -\/p ou < — — ^
Vp
j'augmente évidemment le deuxième membre en remplaçant
\//» + -i parVp.
VP
J'aurai donc
j'aurai de même
VP v/p \/p + ^
V Vp V y/p + X
ou
JJl.
..<-^- ou -'t„-^-.--- On trouvera de même
\ap v/p/
La méthode que je viens d'indiquer pour calculer une limite de l'erreur sera applicable toutes les fois que l'on aura
l<^P\/p ou g' < 4/>'.
Elle sera donc applicable dans une limite plus étendue que celle de la réalité des racines de l'équation du troisième degré, puisque.
358 RÉGRÉATIONS MATHÉMATIQUES
pour la réalité des racines» il suffit que Ton ait
Si g = I ,
e» < — X ou <, •
^ ^ aoo a 000 ^ 400 000
Cette méthode est donc assez commode pour le calcul des racines» lorsque q est petit par rapport à p.
On pourrait de même calculer une limite de Terreur commise dans le calcul des deux autres racines ; mais comme la méthode que j'indique ne me paraît avoir d'intérêt qu'au point de vue théorique, ce que j'ai dit suffit pour le but que je me propose.
Pages
Sophismes géométriqueA a
Paradoxes géométriques / lo
Coloriage des cartes géographiques .,...< i4
Configutatîon physique d'une contrée ^ 7
Jeux 20
Trois en ligne .'.-.'//. 20
Extension donnée 8 li jeu de trois en ligne ai
Carrelage ou parquetage a3
Carrelages anallagmatiques ^9
Problème du cube colorie ^2
Théorème d'Euler 44
Jeux de position 4^
Le 60-bang ou dames Japonaises . . , 4^
Problème du garage 52
Problème du bateau 54
Lignes géodésiques .....•• 58
Problèmes avec des jetons disposés en ligne . . . ^ Sg
Problèmes sur un échiquier avec des jetons ou des pions ^ • . * 6a
Problèmes sur un échiquier avec des pièces de jeu 66
Problème de Guarini • • 67
Les rubans paradromiques. « ^ .. . • • • vQ
36o TABLE DES MATIERES
Pages
Paradoxe de Zenon . • • : 71
Achille el la Tortue 72
Paradoxe de Zenon sur le temps 73
Paradoxe de Trislam Shandy 74
Mouvement angulaire 74
Du mouvement relatif 76
Lois du mouvement. • • . 76
Equilibre^ 81
Bouteille magique âa
Expérience du double cône remontant le plan incliné 85
Mouvement perpétuel 86
Modèle 89
Naviguer plus vite que le vent , . , • * 91
Bateau mis en mouvement au moyen d'une corde 96
Loi de de Hauksbeo. • • . • 96
La balle du Tennis 99
Théorie du vol des oiseaux • 100
Curiosités physiques lOi
