AB==2. BC

quelle est la valeur de DE ?

Cette lettre est suivie des observations de Tartaglia. « Je trouve, dit-il, que Cardan a un esprit plus obtus que je ne croyais. Zuane n'est pas venu pour qu^il lui cède son cours, mais pour le lui enlever. Cardan en a peur. Aussi Zuane lui en donne à garder lorsqu'il dit posséder la solution des équations {capitoli). L'extraction de la

racine cubique de lo -f- y io8 ne présente pas de difficulté : il suffit de décomposer lo en deux nombres dont l'un soit un cube et l'autre divisible par 3, et on trouve de même le résida (*) »

Il découvre encore d'autres traces de simplicité dans la conduite de Cardan, et ses observations se terminent ainsi :

Et per qaesio non li voglio dar allra riposta per che è non vi ho piu affectione à lai che à messer Zuane, e pero li voglio lassarfar tra loro; ma me la vedo che lui e perso d'animo, non so mo comme Pandera,

« C'est pour cela que je ne veux plus lui faire d'autre réponse, parce que je n'ai pas plus d'affection pour lui que pour messer Zuane ; je veux les laisser faire entre eux, mais je vois qu'il a peidu l'esprit et ne sais maintenant comment cela ira.

Depuis, toute correspondance cesse avec Cardan. Le pauvre Tartaglia croit que Cardan est la dupe de Zuane» et il ne soupçonne pas d'être lui-même dupe de Cardan, qui fait intervenir ce Zuane pour se ménager un prétexte de dégager sa parole et d'être impunément parjure.

i54i. — Le quesito XLll a encore rapport à l'équation cubique. C'est un dialogue entre Tartaglia et un gentilliomme anglais nommé Ricardo Venluorthe, son disciple et son ami {comparé).

{*) Euclide nomme binôme les expressions a -|- y/6 et apotome (segment) les expressions a — /6 ; de là en la|in recisus et en italien reciso ; c'est \p réiidu de Tartaglia,

Tartaglia refuse de lui donner ses règles ; maïs, après qu'il aura fini son travail sur Euclide et Archimède, il publiera un ouvrage qu'il dédiera à ce genlilhomme (*) et où toutes les règles seront développées et démontrées ; le disciple consent d'attendre, mais demande au moins quelques exemples ; Tartaglia donne les suivants :

x^ -f- 6rr* = ICO, x = yA» -h /i 700 + y/ia — \^i 700,

x^ •+■ gjx^ = 100, a? = — a H- y/24.

rc' -j' 7 33^ = 5o, X = — I -h y/ï I .

C'est pour avoir trouvé le premier exemple d'une vériGcation trop pénible, qu'il a donné les trois autres ; et le gentilhomme ayant demandé un exemple de la forme

il lui donne

cr' H- 4 = 5 aî«, a: = a -h y/8, rr' -4- 6 = 7 ac^, ar == 3 + y/îsl,

Yentuorthe se montre satisfait et pense pouvoir, d'après ces solutions, trouver lui-même la règle. Tartaglia le dissuade de s'appliquer à de telles recherches qui sont très-fatiguantes et sans résultats : on ne peut rien trouver' par la voie des essais. Ces équations ont chacune deux solutions diverses et p#ut-être davantage, chaque solution nécessitera d'autres essais. Il l'exhorte à attendre patiemment la publication de son ouvrage. A cela, Yentuorthe dit qu'il est dur de croire que la même équation puisse avoir deux solutions et peut-être davantage. A cela Tartaglia répond :

LÀ è certo cosa dura a credere^ et certamente se la sperientia non me facesse tesiimonianza, quesi che non il crederei,

{*) La première partie du General Trattato est en effet dédiée à ce genti)? boimuej dQnt il vante lep bienfaits qu'il en fji reçus^

3/j6 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

« Certes la chose est dure à croire, et certainement si rexpérience n'en rendait témoignage, je ne le croirais presque pas » . Il donne pour exemple l'équation

x^ -^ Sx = i4.

où Ton a évidemment a: == 2 et cependant la règle donne

a: = \/7 4- 4i — \/7 — /JT

solution différente de 2. Ici Tartaglia commet une erreur de calcul: il faut d'aprcs sa règle

^ — v/7 -^ v/5o -t- v/7 — V^^' et s'il s'était rappelé la règle donnée ci-dessus, il aurait trouvé

v/7 H- V^5o == I H- /a, v/7 — - \/5ô = I — v/a, d'où

les deux autres racines sont

Tartaglia ne mentionne nullement les racines imaginaires. Il paraît qu'il ne savait pas s'en rendre raison ; en général, il n'avait pas une idée nette de la multiplicité des racines ; mais il fait ici une observation importante : Il dît à son disciple que dans son ouvrage il fera voir que toutes les solutions des équations cubiques se ramènent à la solution des trois formes

x^ -\- px = q, ic' + ç =: pr, x^ 3= /Mc -f- 9,

généralisation qui indique un grand progrès analytique.

Tartaglia raconte encore dans le même qnesito que dan« la nuit

de la Saint*Martiii de i536 qui était un samedi, étant au lit sans pouvoir dormir, il avait trouvé de« règles pour

x^ -hfx^ = 6, x^ =yx' -\- g^ ^^ -^ g =/c^

Il en indique les solutions à son disciple qui prend congé en promettant de lui écrire dès son retour en Angleterre, et Tarlaglia lui dit :

Andaii, messer compare, che Iddio va dia il baon viaggo et vi prego che^me scriveU subitOy che viseti aggiunto, comme haveii detio.

« Allez, mon cher ami, que Dieu vous donne un bon voyage; et je vous prie de m'écrire dès que vous serez arrivé, comme vous l'avez promis ».

Le disciple répond : Faro senza fallo. (Je le ferai sans faute).

Ce sont les derniers mots des quesiti. Nous voyons que Tartaglia avait lafTeçtion de ses élèves ; c'est qu'il était lui-même très-affectueux.

Tartaglia, absorbé par sa traduction d'Euclide et par les corrections d-erreurs commises par les traducteurs d'Arcbimède, ne s'occupait des équations cubiques que de temps à autre, tandis que Cardan, aidé de son excellent élève Louis Ferraris, s'en occupant sians cesse, parvint à donner de l'extension aux règles de Tartaglia, à résoudre les équations du quatrième degré et à donner des éclaircissements sur la nature des équations. Il réunit toutes ces règles et ces connaissances nouvelles en une théorie qu'il publia en ï545 sous le titre : Ars magna; il y joignit le livre Régula aliza (^) où il donne le fcas irréductible. Le serment de foi prêté fut violé, et ce qui devait être écrit en chiffres pour être inintelligible après sa mort fut divulgué au monde entier par des milliers d'exemplaires imprimés. Non-seulement, il manqua de foi, mais même il ne fut pas entièrement juste envers Tartaglia. Il prétend qu'après d'instantes prières, il n'en avait reçu que la solution du cube et de la chose égale au nombre ; tandis que par les tercets rapportés ci-dessus

(*) Cardan ne donne pas l'explication de ce mo^.

3/|8 RKCRÉATIONS MATHEMATIQUES

il avait encore reçu les deux autres formes. Indigné d'une telle félonie, Tartaglia eut à soutenir, en 1647, une dernière lutte où pourtant il ne fut pas le provocateur. Voici comment il raconte ce fait dans son General Tratiato, etc., II® partie, IP livre, chapitre VII, S 7, imprimé en i556.

(( En i547, Cardan et sa créature, Ludovic Ferraro, dans deux bulletins imprimés, me portèrent un défi. Je leur adressai trente et une questions, à condition qu'elles seraient résolues en quinze jours ; passé ce délai, les solutions devaient être considérées comme non avenues. Ils restèrent deux mois sans donner signe d'existence, et puis ils m'envoyèrent tremte et une questions sans me donner la solution d'aucune des miennes ; d'ailleurs le terme fatal était dépassé de plus de quarante cinq jours. Je trouvai le jour même les solutions de dix, le lendemain de quelques autres, puis de toutes les autres, et, afin de ne pas dépasser l'intervalle de quinze jours, je me hâtai de les faire imprimer et de les envoyer à Milan. Pour cacher leur lenteur à répondre à mes questions ou du moins à quelques-unes, ils m'entretinrent d'autres choses pleines de longues sottises, et ce n'est qu'au bout de sept mois qu'ils m'envoyèrent une réponse publique, où ils se vantaient d'avoir résolu mes questions. D'abord, si même tout cela était vrai, ces solutions données si longtemps après le terme fixé n'étaient d'aucun mérite; ensuite la plus grande partie d'entre elles étaient complètement fausses. Désirant proclamer publiquement ces faussetés et me trouvant à Brescia, dans le voisinage de Milan, je m'y rendis et envoyai à tous les deux un cartel imprimé où je les invitais à se trouver vendredi prochain, 10 août i458, à 10 heures, à l'église surnommée le jardin dit des Frères Zoccolanti, pour discuter publiquement mes réfutations de leurs prétendues solutions. Cardan, pour ne pas se trouver à l'examen, s'éloigna précipitamment de Milan, et, au jour fixé, Ferraro vint seul au rendezvous, et accompagné d'une foule d'amis et de plusieurs autres ; j'étais seul avec mon frère que j'avais amené avec moi de Brescia. Je me présentai en présence de toute cette multitude et commençai par exposer brièvement le sujet de la discussion et la cause de mon

arrivée à Milan. Lorsque je voulus en venir aux réfutations des solutions, on m'interrompit pendant deux heures par des paroles et des gestes, sous prétexte qu'on devait choisir, en l'endroit même, un certain nombre de juges parmi les auditeurs présents, tous amis de Ferraro et à moi entièrement inconnus. Je ne voulus pas consentir à cette astuce, et dit que mon intention était que tous les auditeurs fussent juges, de même que ceux qui liront mes réfutations lorsqu'elles seront imprimées. Enfin ils me laissèrent parler, et, pour ne pas ennuyer l'auditoire, je commençai, non par des objets fastidieux sur les nombres et la géométrie, mais il me parut convenable de réfuter la solution d'une question sur le chapitre XXIV de la Géographie de Ptolémée, et je contraignis Ferraro à convenir publiquement qu'il s'était trompé. Voulant continuer, tous se mirent à crier que je devais maintenant parler de mes propres solutions obtenues en trois jours, des trente et une questions qui me furent proposées. J'eus beau objecter qu'on devait d'abord me laisser achever ce qui concernait mes réfutations, qu'ensuite j'aborderais ce qu'ils demandaient : ni raisonnements ni plaintes ne furent écoutés ; on ne me laissa plus parler, et on donna la parole à Ferraro, qui commença par dire que je n'ai pu résoudre la quatrième question sur Vilruve, et il s'étendit là-dessus jusqu'à l'heure du souper. Chacun vida le temple et s'en alla à la maison » .

Ainsi se termina ce duel, original même en ces temps.

Tartaglia s'éloigna tout de suite de Milan, et, craignant des violences, regagna Brescia par un chemin détourné.

Dans le Traitaio général, IIP partie, livre III, on lit vingt-deux des trente questions de Cardan, avec leurs solutions données par Tartaglia ; il dit avoir des raisons pour ne pas envoyer à Cardan les solutions des huit autres. On y lit aussi les trente et une questions proposées par Tartaglia ; la solution de la trente et unième et dernicre question est la seule qui soit exacte. Il s'agit de trouver la valeur de X dans l'équation

a7x^ -f- 36a:^ -I- 54»' 4- Sx^ = xooo,

35o HEGnéATlONS IIATHÉMATIQUCS

ils extraient la racine cubique et trouvent 3 «• -4- a a? = lo, équation cubique, et Tartaglia ne manque pas de faire observer que c'est à lui qu'ils doivent cette solution.

Voici ce qui a occasionné le terrible échec de Cardan et de Ferrari t Les quinze livres d'Euclide renferment cinq cent quatorze propositions tant géométriques qu'arithmétiques. Ce nombre comprend cent cinq problèmes dont quatre-vingt-dix-huit sont géométriques ; il y en a soixante quinze sur un plan et vingt-trois dans Tespace. Or, Tartaglia était parvenu à résoudre soixante-sept des problèmes plans à Taide de la règle et d'une ouverture de compas invariable, et à démontrer l'impossibilité de construire ainsi les huit restants. Cardan, portant son défi, croyait que Tartaglia ne possédait que la règle du cube, et ne se doutait pas qu'il avait encore d'autres armes ; la plupart de ses questions roulent sur cette méthode particulière de solution, à eux inconnue. Aussi furent-ils pris au dépourvu et honteusement vaincus : juste punition d'une trahison, utile, il faut en convenir, à la science ; mais toutes les fois qu'une mauvaise action a de bons résultats, il faut en remercier la Providence et nullement Fauteur qui reste toujours flétri. Tartaglia, sans avoir jamais manqué à l'honneur, n'est pas irréprochable. Sa découverte de i53o n'est pas encore publiée par lui-même en i556. Il la tenait en réserve, comme il a été dit, pour son grand ouvrage General Trattato, divisé en six parties ; or il est mort en 1 556 pendant l'impression de la cinquième partie. La sixième partie, consacrée à l'algèbre, devait renfermer les règles pour la résolution de l'équation cubique. Curtio Trajano, libraire, qui a fait imprimer à Venise les cinq premières parties, chargea un savant mathématicien (undotio matemaiico) de réunir et de mettre en ordre tous les manuscrits laissés par Tartaglia pour cette dernière partie. Or on n'a jamais imprimé que le premier livre de cette sixième partie, où l'on ne trouve que le» règles pour les opérations algébriques et rien sur l'équation cubique. Le libraire a-t-il refusé les ionds pour imprimer le reste, ou le mathématicien s'est-il mal acquitté de sa besogne P Ce qui est certain, c'est que sans les traltreuses révélations de Cardan, on serait resté

TfOTÎCB niSTOiaQUE 35 î

encore longtemps sans savoir résoudre les équations cubiques, et, par conséquent aussi, les équations biquadratiques. En mathématiques, il ne faut, sous aucun prétexte, différer longtemps. Car ce que Tun découvre au Nord, un autre le découvrira au Midi, et, comme dit très bien Arago, la priorité appartient à celui qui publie le premier ; et dussiez-vous prouver invinciblement que vous avez eu la même idée il y a vingt ans, la réclamation est de nulle valeur. Votre droit est périmé. Ce qui est arrivé à Tartaglia, et depuis à Newton pour le calcul infinitésimal, sont des enseignements que nos grands géomètres ne devraient pas oublier et qu'ils oublient toujours.

Nous croyons intéressant de compléter la notice historique de Terquem par la méthode d'approximation que M. A. Hermann a donnée en 1869 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, qui permet de résoudre l'équation du 3* degré sans faire intervenir les fonctions trigonomé triques.