GE==BF

Retranchant aWa membre à membre (i) de (a), il vient :

AE — GE = AF — BF, ou AC = BG

Donc, le triangle ABG est isocèle dans tous hs pas possibles, résultat évidemment absurde.

Quatrième aopbimsie* — Nous devons à l'obligeance du capitaine Turton» communication de lartifice ingéaiei» suivant ;

Sur l'hypoténuse BG d'un triangle rectangle DBG, on construit le triangle équilatéml ABC «n plaçMift le Minttiet A du même côté de BG que le sommet D. Sur GA on porte la longueur GH égale à CD. &9ii a h mKett ife BD. Traçom HK tt fmlDiigeMts cette droite jusqu'à sa rencontre en L avec le prolongement de Thypothénuse CB. Joignons le point L à D et prenons les milieux M et N des droiteg U> «t LH. Les p^petiètctilaires menées \ ces droites aux points M, N se rencontreront nécessairement en un certain point O qui sera situé à l'extérieur du triangle DBG et du côté de BG opposé au commet D de l'angle droit.

Traçons maintenant OG, OD, OH, OL.

Les deux oblii(ittes OL, OD sont égales, de même que OL et OH, donc OD = OH et Ibs triangles ODG, OHC sont égaux comme ayant les trois côtés ëgtux. — D'où celte conclusion absurde que les deux angles OGD, OGH sont égaux.

Cinquième sophisme (0. Démontrer que si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont égaux, les deux autres côtés sont parallèles. — Gonsidérons un quadrilatère ABGD tel que les deux côtés opposés AB, CD soient égaux,

Prenons les milieux M, N des côtés opposés AD, DC et élevons en ces points les perpendiculaires sur ces côtés.

Si ces deux perpendicalaîrcs lie se rencontrent pas, elles sont parallèles et il en est, par suite, de même des côtés AD, BC

Si ces deux perpendiculaires se reoconlrent, le point de rencontre est à l'intérieur ou à l'extérieur du quadrilatère.

Supposons-le à l'intérieur et traçons les droites OA, OD, OB, OC. Les obliquas OA, OO sont égales el il en est de même des obliques OB, OC ; les deux triangles OAB, ODG sont donc égaux comme ayant les trois côtés 6gaux et

AOB = DOG.

(») Matkesis, octobre 1898, série 2, vol. 111, p. 2^25.

D'ailleurs

RéGRËA.TIONS MATHÉMA.TIQUES

AOM = fioB, 6ÔN = NOC,

et Faddition membre à membre de ces trois égalités nous conduit à la relation

d'où

AOB 4- AOM -+- BON = DOC + MOD + CON,

MOA -f- AOB -h BON = 2 droits.

Fig. 6.

Les trois points M, 0, N étant ainsi en ligne droite, les côtés opposés AD, BC sont bien parallèles.

Supposons, en second lieu, le point à l'extérieur de la figure, et traçons les mêmes droites que plus haut.

On a encore :

SOB = DoC et BOÎSf = ?r0C,

donc

JCOB + IBON = DOG -h NOC ou XOT? = NOD,

c'est-à-dire que ON est la bissectrice de Pangle AOD, cette droite coïncide donc avec OM et les deux côtés opposés AD, BC sont encore parallèles.

Cette conclusion n'est généralement pas exacte et la démonstration contient un point vicieux.

QUESTIONS DE GÉOlftéTRIB Q

Sûdéxae artifice. — La démonstration suivante est empruntée à UQ traité d'électricité publié en 1889 P^^ deux mathématiciens distingués. Elle est présentée comme rigoureuse.

Un vecteur OP de longueur l peut être décomposé d'une infinité de façons en deux vecteurs OM et MP de longueurs /' et T. Nous

pouvons faire en sorte que le rapport « ait une valeur quelconque

comprise entre o et l'infini.

Supposons que le système soit rapporté à deux axes rectangulaires OX, OY et soient 0, 6', 6* les angles que font respectivement OP, OM et MP avec Ox. On obtient, en projetant sur Oy^ et Ox, les relations

Z sin 6 = U sin ô' -+- F sin 6", Z cos ô == /' cos 6' H- l" cos e,

d'où par division

. . n sin 6' -h sin 6" ^ l'

tg 6 = S7 5^ , en posant y= n.

^ n cos ô' 4- cos 6" *^ r

Ce résultat est vrai quelle que soit la valeur attribuée à n ; or, n peut prendre toutes les valeurs, et si nous faisons, n = 00 et n = 0, nous arrivons à la double égalité

tg 6 = tg 6' = tg 0^ résultat évidemment impossible.

Septième artifice. — Voici encore une détermination erronée de la valeur de ic qui nous a été signalée pour la première fois par M. Chartres. Elle repose sur des quadratures bien connues.

L'aire d'une demi -ellipse limitée à son petit axe^ a pour expression -Tzab (en adoptant les notations usuelles). Supposons maintenant que le centre se déplace sur le grand axe qui devient ainsi de plus en plus grand, jusqu'à devenir infiniment grand; l'ellipse

fo RicaÉAiaaatt lUTVEianQiTEs

iK/UlifTtB, TniT^ ciA égta UB% -s du l'ccftstiigre tifoofncnt. IStm it

premlex résultat est également vrai quelles que soîenl les (Smensions des éléments de la courlie.

On a donc

~ira6 = ôaXao, d ou « = 5.

l^ Tw i O Mft flémuéU iqaw. — Woos iafaont mîvm cb» énen ex^rciîcei àm <p»dk{0«s tfotààkanH qui ne pet^v^nt être ppëscmtô» comme de véritables artifices et qui conduisent à des réiolftitts paraissant tout d'abord iiapassiblM.

Premier paradoxe. — Voici un petit problème qui nous a été communiqué par M. Renton : il s'agit de faire exécuter uwe rotation complète de quatre angles droits à uae surftc^ pkne (comme par exemple une ctrte ou une feuille <fe |>apier posée mir une table) de telle sorte que l'effet obtenu soit le même que si la surface avait seulement tourne d'un angle droit.

On demande, par exemple, en considérant le cas d'une feuîHô de papier, que la rotation complète produise le même effet qu'un déplacement de 90° autour d'un de ses points ; la solution est la suivante :

Décrivez sur la feuille de papier cm carré OXBC et itîlet h tourner de deux angles droits autour de la diagonale OB comme aKe« puis de deux angles drotis autour de OA onoAHie a«e ; le résultat denandé est alors atleiiit*

8«oond peradiHta* -* En. géométrie eomaie ea algUbre, la théorie des probabilités conduit à de nombreux paradoxes ; en voici un exemple très simple :

On brise une canne oa one petite b^v^tte en trois morceaux quelconques qui pourront être assemblés de façon à fermer un

triangle m it longueur 4m. pluê graad •d'eate ^ux est aidadae qiM la »oaw3e des 4eux âsitres* ^mi «e qui j^vieoi .aa mèam, ù 1a loagueur du pUu gra»d esi moiadre <{ue la loûîiié 41e la came. Or, la

probabilité de briser une baguette en deux fragments é|;mre «tft '; par «vite, h. profcabîlîfé de powwîr tonstroîre un triang^B arec les trois «orccaux obtenus en brisatit one bagtrtlle en trois éctraîl ftlre

exprimée par ^ .

Ce résultat est inexact, car la probabilité est -, {*).

Troiatèaie paradoxe- -*- L eiœmple suivant est un des mieux clioisis pour nx^Miirer comment les démonstrationâ qui ne reposenl que sur le témoignage du seos de la vue sont sujettes à erreur ; ea découpant les figures suivant certaines lignes et en eflectuant ua nouvel arrangement avec les parties (^tenues on peut facilement sa tromper dans les coucluMons formulées. En général, les preuves par décomposition et superposition doivent être examinées et discutées jsoigneua^iient^ à moins qu'elles ne soient accompagnées d'un raisonnement mathématique.

Les démonstrations que Ton trouve dans certains ouvrages à Tttsage de l'Enseignement primaire des propositions suivantes :

I . La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droils ;

2^ Dans iout triangle redangle, le carré consiruil sur VhypoUnuse est égal à la somme des deux carrés construits sur ks cétés de ï angle droii;

pouvant être complétées, au besoin, par le raisonnenient, doivent être considérées comme valables. Mais quand la preuve matbéaiatique fait défaut, on peut arriver à des résultata qui paraissent étranges à première vue comme dans l'exemple que nous allons donner.

Dans cse dernier exercice on se pr<^M»e de £ujre Toir qu'un cari^

(1) Voir un trtiek do M. Lcaonc dam le Bidktm de im Sanéié mat/iématique de France, tome XI; i883.

RÉCRÉATIONS MATHÉMA.TIQUES

de papier ou de carton divisé, de même qu'un échiquier, en soixante-quatre petits carrés peut être découpé en quatre morceaux avec lesquels on formera par juxtaposition une figure contenant soixante-cinq carrés (*).

On arrive à ce résultat en coupant le carré primitif en quatre morceaux suivant les lignes marqués en traits forts sur la figure 7 ;

Fig. 7.

Fig. 8.

en réunissant ensuite ces morceaux de manière à former un rectangle comme le montre la figure 8, on constate que ce rectangle contient 5 X i3 ou soixante-cinq petits carrés.

Ce phénomène qui n'est pas de nature à embarrasser un mathématicien, provient de ce que les sommets des quatre morceaux de papier ou de carton qui, dans la seconde figure paraissent se trouver sur la diagonale AB, ne coïncident pas en réalité exactement, avec cette direction. Ces sommets comprennent effectivement une figure AGBD en forme de losange dont la surface est égale à celle de l'un des soixante-quatre petits carrés, mais dont l'une des diagonales AB est bien plus grande que l'autre.

(^) Nous ne connaissons pas celui qui le premier a fait mention de ce paradoxe. Il est donné dans plusieurs livres modernes, mais nous ne trouvons pas de citation plus ancienne que celle qui en est faite par le prof. G.-H, Darwin, dans le Messenger of Mathematics, année 1877, vol. "VI,

QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE l3

On voit facilement, d'après la figure, que l'angle formé par les deux côtés du losange qui se rencontrent en A est égale à la différence de deux angles dont les tangentes sont respectivement ^-

et g; par suite, la tangente de l'angle en A du losange allongé ACBD

est égale à r^, c'est-à-dire que cet angle est plus petit que i® ^.

Pour distinguer à l'œil un angle aussi petit il est indispensable que les lignes de division de la première figure soient excessivement ténues et que les morceaux soient juxtaposés avec le plus grand soin.

Le paradoxe en question dépend de la relation.

On arrive à des résultats analogues au moyen des formules i3 X 34 — 2i« = I, 34 X 89 — 55» == i, ...

ou encore en partant des formules

52 — 3 X 8= î. i3« — 8 X 21 = i, 34' — ai X 55 = 1, ... Les nombres 5, 8, i3, ... appartiennent à la série

qui provient du calcul des réduites de la fraction continue

Ozanam emploie un paradoxe semblable Q) pour démontrer l'égalité 389 = 288 au moyen d'un carré dont chaque côté est

(1) OzAifAM. — Ëdîtion de i8o3, vol. I, p. 399.

r4 afcirfATwrrs srATBrferATiQCEs

(fivrsé en (ffx-sept parties égaîes. Il donne atrssî on diagramme pour }a dirîsîon dTun recCangte comprenant 3 X i r = 33 petits carrés égatrr en rfwrx airtrcs nsetan^es dont les dîmeHsioiis scmHent Hre 5, 4 pottv k pveMietr «t 7, 3 pour le second.

La soixante dix-septième récréation du Capitaine Turtea. — LecaprtameTTtrton a îmaginé une récréatww phisamnsante encore cff^os sttr fa ôëcottipos^tott des ngtrres.

Bue reorHe de cartort w 33 cerrfnnètres sor si i ceu fii Hèftres" dr risée en 77 petits carrés de chacun 3 centimètres de côté peut être déccrerpée suivant les lignes êe êhmtm et les carrés obtenas disposés de feçon à reconstituer le rectangle primitif de 77 carrés avec un carré supplémentaire en saillie.

La cttMérocfcwwi esi ÎB^éaieme et ae at saiaii liic» i]tt'av«c un modèle. L^artifice consiste à utiliser la faible épaisseur de la feuille de carton potrr effectuer liss coupes en biais, de façon que les bords de chaque carré présentent un léger bisean. Le biais est si peu apparent sur les pièces du modèle qu'on ne peut s'en apercevoir qu'0n k» CKaoïsnant d» trè» près»

Le jeu ainsi donné aux petits carrés permet de les assembler en produisant en apparence un carré supplémentaire.

Coloriage des oartes géographiques. — Abordons maintenant l'étade de cette proposition géométrique que qaatre confmrs sont suffisantes pour colorier la carte d'un pays (divisée en départements, régions ou districts) de teUe sork que deux régions contigues ne soient pas de la même couhur.

Par régions contiguël il faut entendre deux régions dont les contours coïncident sur itne certaine étendue linéaire; deux régions dont les contours se touchent en un seul point ne sont pas considérées comme contigues.

Ce problème a été mentionné par A. F. ]M6bius(*) dans ses leçons

(i) Leipzig Transactions fSfalti'.-phys, classe), i885, vol. XXXYÏT, pp. t-6;

QrBsnrK«rs rm GfoMfomE

€w ï8^, mais 9 (temenia maperçu jtrycpi'â ce qtie Francis GuCbric (*) FetrI commtinîqTié à de Morgïm rers iSSes 6îen qtie, selon toute proèftbrl^^, r! fut appKcpi^ dcpttw (fclcfrrgties années par les fabricants ^csrrfe» géograpfeitpes. CTest en réaKté de Morgan qui fît connaître € M ^ pr opo srtKm strr latjtrelle Cayfe^r (^ appela de nouveau Pattention cit iS^ en s^gmtlanf (jcr'rl n'en connaissait pas (fe (fémonstratron rigoureuse.

Le raisoiifteinettt smvavt, c[ue nocrs ne prâreirtons pas comme une dénêusflra liàn r^|iiKre> pcnncffra pcfirt-étrc atr lecteur dé s'assurer (fe xCWicwIfKre cte ra proposTCTon .

Soient A, B, G trois régions contiguës et considérons une (joafnenfc^ f^gîoff X. costcigTie^ aTcc A, B c% C Es. léguiii X ne pctft occuper que deux positions : ou être com-

pièfCfflMIfnr Cft flCa.OT9 CnT CORtOQP IlIHl-

vEniit Bxici'icivnPBfifetit la Bfftfir& Foroi'ecf

par les trois surfaces A, B, C ; ou être

cofHcwË! Iciiicni en* dcaters cfcr cofifoot"

limitant intérieurement la même

BguiG r ces mff^snt posHcieins sowf map*

cfwDisj X et X'* swr nefere figure. D&ns

les décrit cas, tewfe portion Irbrc cw I*

surfiMe* Al plaît dfe fat figtrrc est conr—

prise* entre Bw contouTs cte îrois ré^

gions seulement et, par suite, il n'est

pas^ pos»iMe de traces una uoayella

iégïom Y «mtiguâ atv«fi A^ By G «i X. Ea d mtfcs tvnoesv ii est

tVB^0WS pciBBibre' de uKiJBiiiCF s€w le pnRi' qnatre régitmsi corrtign^s,

mais 3 esf împossr5fe d'en dtrssîncr cinq.

f*)Phwe«®ij« (ff the RofKÎ Sétti^ty of E^înhnr^^ 19 jxriî!felr p85o, voF. X, p. 728.

(*) PPoeee(Rn^ af theLonckm Matàematical ^We^j, i8*j8, vot. R, p. r48,

l6 RÉGRÉA.TI01IS IfATHEHATIQUES

Si les régions A, B» G ne sont pas contiguês Tune avec Tautre, ou si X n'est pas contiguê avec A» B, G, il n*est pas nécessaire de les colorier toutes d*une façon différente, d'où il résulte que le cas le plus défavorable est celui qui vient d'être examiné. D'ailleurs Tune quelconque des régions peut diminuer en surface et finalement se réduire à un point sans que le raisonnement cesse de subsister.

Il est évident, d'après la figure g, qu'il nous faut au moins quatre couleurs dans le cas le plus défavorable, puisque les quatre régions contiguês A, B, G, X doivent alors être coloriées d'une façon différente.

La démonstration de la proposition présente des difficultés d'un ordre supérieur et toutes les tentatives faites jusqu'ici pour les surmonter ont échoué.

En 1879, A. B. Kempe (*) avait présenté un raisonnement qui semblait démontrer la proposition, mais il contient un point faible (=*).

En 1880, Tait (^) publia une solution reposant sur le théorème suivant :

Dans un réseau fermé de lignes joignant un nombre pair de points de manière que trois lignes seulement se rencontrent en chaque point, il suffit de trois couleurs pour tracer les lignes de telle sorte que deux d'entre elles aboutissant au même point ne soient pas de la même couleur. Mais on ne considère pas comme réseau fermé le

(1) n envoya sa première démonstration à « V American Journal of Malhematics »» 1879, vol. II, pp. 193-200 ; mais ensuite il la communiqua sous une forme plus simple à la Société mathématique de Londres, Transactions, 1879, vol. X, pp. 229-231 et au journal Nature, 26 février, 1880, vol. XXI, pp. 399-400.

(*) Voir un article, par P.-J. Heawood dans le Qaarterly Journal of Mathematics, Londres, 1890, vol. XXIV, pp. 332-338 ; et 1897, vol. XXXI,

(') Proceedings of the Royal Society of Edinburgk, 19 juillet 1880, vol. X p. 729 et Phibsophical Magazine ^ janvier i884> série 5, vol, XVII, p. 4i.>

QtJlSTlOÎSS DE GÉOMÉTRIE I7

cas OÙ les lignes peuvent être partagées en deus groupes réunis par une seule ligne.

Il en déduisait comme conséquence que quatre couleurs sont suflîsantes pour colorier une carte géographique. Sa démonstration qui a été reproduite dans la dernière édition du présent ouvrage, parut tout d'abord, si directe, qu'elle fut généralement admise; mais on en a contesté l'exactitude {*). Son raisonnement cependant conduit à cet intéressant corollaire que quatre couleurs ne sudisent pas pour colorier une carte tracée sur le tore et les surfaces du même genre.

Bien qu'une démonstration du théorème soit encore à donner, personne cependant n'est parvenu jusqu'à présent, à tracer une carte plane exigeant plus de 4 couleurs pour le coloriage, et il n'y a aucune raison de douter de l'exactitude de la proposition.

On s'est également occupé du nombre de manières dont une telle carte peut être coloriée avec 4 couleurs {*) mais les résultats obtenus ne sont pas suffisamment intéressants pour être mentionnés ici.

Configuration physique d'une contrée. — Puisque nous parlons des cartes géographiques, nous ferons remarquer ici que la théorie de la représentation de la configuration physique d'un pays au moyen de lignes tracées sur une carte a été disculée par Cayley et Clerk Maxwell (']. Ils ont établi qu'une certaine relation existe entre le nombre des montagnes, des vallées, des défilés ou gorges,

(i) Voir J. Petebseîi de Copenhague, V Intermédiaire des MalhcmaiicienSf vol. V, 1898, pp. 225-227; et vol. VI, 1899, pp. 36-38.

(*) Voir A.-G. DixON, Messenger* of Mathematics, Cambridge, 1 902-1 903, vol. XXXII, pp. 81-83.

(') C\TLKT. — « Sur les courbes de niveau et les lignes de pente » Phi^ tosophical Magazine Londres, octobre 1859, série 4, vol. XVIII, pp. 264-268; Collected Works (œuvres), vol. IV, pp. 108- tti.

J. Clerk Maxwell. — Sur « les Montagnes et les Vallées » Philosôphicai MagcLzine, décembre 1870, série 4, vol. XL, pp. 421-/1 '•7; Collected Works ^ vol. II, pp. 233-240.

Récréations mathématiques, II, a

l8 tlÉCREATlOMS MATHEMATIQUES

etc., etc., qui peuvent se trouver sur la surface d'un continent ou d'une île. Nous allons exposer sommairement les conclusions auxquelles ils sont arrivés.

Tous les points qui sont à la même hauteur au-dessu? du niveau moyen de la mer sont dits de niveau. Sur une cartq, le lieu de tous ces points est représenté par une ligne appelée courbe de niveau. liC contour d'une île est une ligne de niveau.

Il est d'usage de tracer les lignes de niveau sur une carte de telle sorte que la diQerence des hauteurs des points de chgquQ courhe soit constante d'une courbe à Tautre, il en résulte que plus Jes courbes paraissent rapprochées sur le plan, plus la pente du terrain est rapide ; mais en nous plaçant au point de vue dynamique, les hauteurs sont mesurées par le travail à effectuer pour passer d'une courbe à une autre et non par la distance linéaire qui les sépare en plan.

Une courbe de niveau est généralement fermée.

Considérons la courbe de niveau lin^itant une certaine région en élévation et supposons que deux pareilles régions aient un point commun, ce point est un point de rebroussèrent de la courbe de niveau sur elle-même (c'est à dire un point double réel, il constitue un déjîlé ou une gorge. Considérons en second lieu une courbe de niveau limitant une partie de terrain formant dépression et supposons que deux régions de cette nature aient un point commun. Ce point est encore un poin( de rebroussement de la courbe sur elle même et est appelé une fourche ou bifurcation. A mesure que les hauteurs des courbes de niveau augraentent,les surfaces planes limitées par ces courbes diminuent et, à la limite, elles se réduisent à des points qui sont des sommets de montagnes. De même à mesure que diminue la hauteur des courbes de niveau dans une région en dépression, le vide diminue, et, à la limite, se réduit sensiblement à un point qui est appelé le /ond de la vallée considérée.

Les droites tracées normalement aux courbes de niveau sont les lignes de pente du terrain. En suivant une ligne de pente, nous

Qt7B8TIONS DE olOMlBTRtE ig

finissons généralement par atteindre le sommet d'une colline ou le fond d'une vallée suivant le sens de la marche; nous pouvons cependant, dans des cas particuliers, arriver à une gorge ou à une fourche. Les régions dans lesquelles toutes les lignes de pente aboutissent à un même point élevé forment des montagnes ou des collines : une région dans laquelle toutes les lignes de pente aboutissent à un même point bas est une vallcc.

Enfin, les lignes de faîte ou de partage sont celles qui, de tûu{.es les directions partant d'un point, ont le moins de pente, quand on considère le terrain de haut en bas ; les thalwegs sont les lignes de réunion des eaux.

Si n -h I régions en élévation ou en dépression ont un même point commun, ce point est un point multiple de la coprbe de niveau sur laquelle il se trouve ; un tel point est appelé gorge ou fourche du n™" ordre et doit être considéré comme constitué par n gorges (ou fourches) différeptes. Si une seule région en dépression en rencontre une autre en plusieurs points à la fois, Tun d'eux doit être regardé comme une fourche et les autres comme des défilés.

Ces quelques définitions topographiques données, nous pouvons aborder le sujet au point de vue géométrique.

Représentons par h le nombre de collines ou de montagnes qui existent sur un continent (ou une île), il y aura également h sommets; soit cl le nombre des vallées, nous aurops aussi d fonds; 3oit p le nombre total des défilés^ p^ étant le nombre des défiles simples, Pj celui des défilés doubles, et ainsi de suite; de mêqie, désignons par/j le nombre total des fourches simples, /, celui des fourches doubles, /j celui des fourches triples, etc.; soit enfin w le nombre des lignes de faîte et, par suite, celui des thalwegs.

En appliquant alors les théorèmes de Cauchy et d'Euler, on aura :

/lr= I -Hfj -h 2/72 + ...

d-=l -hfi + 2/2 + -

et

w = a (p, +/,) + 3 (pa 4- /a) H- ...

Jeux. — Abandonnant maintenant ces propositions purement géométriques, nous allons examiner quelques jeux ou récréations dépendant principalement de la position relative de certains objets, en renvoyant au chapitre sur la discussion de ces jeux, discussion qui n'exige pas une connaissance très sérieuse de l'arithmétique ou de l'algèbre. Quelques auteurs regardent les jeux de dames, du solitaire, des échecs et quelques autres de même nature, comme des sujets d'étude géométrique, de même qu'ils traitent les dominos» le trictrac et, d'une façon générale, tous les jeux se jouant avec des dés, comme des questions dépendant de Tarithmétique ou plutôt de l'algèbre; mais les discussions entraînent à faire trop de suppositions pour qu'elles puissent raisonnablement s'appliquer aux jeux tels qu'on les pratique ou pour être même intéressantes.

Les récréations que nous avons en vue ici sont des plus simples. Pour certaines, nous nous contenterons d'une citation en passant et nous pensons même que le lecteur qui ne recherche que des questions purement mathématiques pourra, sans inconvénient, négliger la On de ce chapitre.

Jeux de situation (*), — Un grand nombre de jeux repose sur la géométrie de situation, nous n'en citerons que trois ou quatre.

Trois en ligne. — Nous pouvons mentionner, en premier lieu, le jeu des « Trois en ligne » dont les « zéros et les croix » , forme particulière de la Marelle, et le Go-bang (^) nous offrent des exemples bien connus. Ces jeux se jouent sur une planchette ayant géncra-

(i) M. Ball divise les jeux gcomctriqucs en jeux de posUion statique (statical games of position) et enjeux de position dynamique ou mieux cinématique (dynamical g anies of position). Ces dcnominations rendent bien la pensée de l'auteur, mais nous avons hésité à les introduire, car elles ne sont pas usitées en France. Nous avons fait une distinction entre les jeux de situation et ceux de position.

(*) Voir plus loin.

QUESTIO?lS DE GÉOMÉTRIE 21

le ment la forme d'un carré divisé en n' petites cases. Le plus habituellement, voici comment on joue : Tun des joueurs place un jeton ou un pion blanc sur la case qu'il veut occuper, ou encore y fait une croix; son partenaire place également un jeton ou un pion noir, ou encore trace un zéro, sur la case qu'il désire retenir; et ainsi de suite. Celui qui le premier a disposé trois (ou un autre nombre assigné) jetons ou pions sur trois cases adjacentes en ligne droite a gagné la partie.

La théorie mathématique du jeu pour un carré comprenant neuf cases a été étudiée d'une façon complète et il n'est pas difficile de rétendre à un jeu de i6 cases, mais l'analyse est longue et ne présente aucun intérêt particulier.

Plusieurs de ces jeux étaient connus des Anciens (*) et c'est uniquement pour cette raison que nous les mentionnons ici.

Extension donnée an jeu des trois en ligne. — Nous devons cependant dire quelques mots d'une élégante mais difficile généralisation de la question, qui, jusqu'ici j du moins aussi loin que nos recherches ont été poussées, n'a été examinée dans aucun recueil de Récréations mathématiques.

Le problème consiste à placer n jetons sur un plan de manière à former le plus grand nombre possible de lignes dont chacune ne contiendrait que trois jetons seulement (*).

Il est facile de disposer les jetons suivant un nombre de lignes

égal à la partie entière de l'expression ^(n — i)^. La construction

suivante nous en fournit le moyen.

P étant un point quelconque d'une cubique, soit Q le point où la courbe est encore coupée par la tangente en P, soit de même A le point où la tangente en Q rencontre la courbe. La droite PA

(ij Begq db Fouquières. — Les jeux des anciens^ seconde édition, Paris 1873, chap. xvin.

(^) Educalional Times, réédité, 1868, vol. VlII, p. 106; ibid. 1886, vol. XLV, pp. 127-128.

cbiipë k courbe en B, QB la coupe en G, PC en D, QD en E, et ainsi de suite. Le5 jetons doivent être disposés aux points P, Q, A, B... Ainsi, neuf jetons peuvent être disposés en huit lignes; dix jetons en dix lignes: quinze jetons en vingt-quëtre lignes; quatrevingt-un jetons en huit cents lignes;' et ainsi de suite.

Si cependant P est un point multiple d'ordre n sur la cubique, Sylvester a démontré que la construction précédente donnait un nombre de lignes égal à la partie entière de Texpres-

sion n (n— i) (n — a). Ainsi, neuf jetons peuvent être arrangés

en neuf lignes, ce qui constitue une récréation facile et bien connue ; dix jetons en douze lignes î quinze jetons en trente lignes, et ainsi de suite.

Mais ces nombres mêmes donnent des limites inférieures et peuvent être dépassés : par exemple, Sylvester a établi que neuf jetons pouvaient être placés suivant dix lignes contenant chacune trois jetons. Nous ne savons pas comment il led dispose» mais voici un arrangement pouvant être adopté : on place les jetons aux points déterminés par les coordonnés (2,0), (2,2), (2,^), (4.o). (4,2), (4,4). (0,0), (3,2), (6,4); une autre disposition est donnée par les points (0,0), (0,2). {oM (2,1), (2,2). (2,3), (4>o), (4,2), (4,4).

Plus e^énéraleuient, les sommets d*un hexagone régulier et les trois points d'inlerscction des côtés opposés forment un pareil groupe; par suite, une projection quelconque de cette figure nous donnera une solution.

jusqu'à présent, il n'est pas possible de fixer le nombre maximum de lignes de trois jetons qui peuvent être fdfméeà avec n jetons dispioséà sui" lin plari.

Gëhëf»âlisati6h, ^ eh ligne. — La question qiie nous verions d'examiner nous conduit naturellement à cette généralisation : disposera jetons sur un plan, de manière à avoir le plus graiid hoihbre delignël possible, chdcUne ne contenant que/) jetons seulement.

Les problèmes de celte nature peuvent souvent se résoudre immé-

diatemetlt en sup[K>sânt à rinfini les points d'ititersection de certaines lignes suivant lesquelles les jetons sont distribués, puis en projetant, s*il est nécessaire, la figure ainsi formée, de manière à amener ces points à une distance ûiiie. INous avons donné quelques lignes plus haut un exemple d*une semblable solution.

Comme applications faciles» nous pouvons mentionner l'arran-? gement de 1 6 jetons suivant lo lignes, contenant chacune 4 jetons, et Tarrangement de 19 jetons suivant 10 lignes contenant chacune 5 jetons. On obtient une solution de ce second problème en plaçant les jetons aux 19 points d'intersection des dix lignes définies par les équations.

dettl de t^i points âont à l'infitii.

NdtÉs abanddtiriotis & nos lecteurs la recherche de la solution du pi^èmîér ptoblètilèi

Carrelage ou parquetage. — Une autre Récréation connue sous le nom de carrelage, consiste à former des dessins géométriques ou des mosaïques avec des carreaux d'une certaine nature, c'est-àdire marquetés ou de couleurs variées.

Pour ceux qui n'ont jamais examiné la question, il peut paraître singulier que des dessins formés en juxtaposant des carreaux de terre cuite, ou dé toute autre nature (divisés par une diagonale en deux parties, Tune blanche et l'autre noire) , soient un sujet d'étude pour l'analyse mathématique. Etant donnée la discussion qui a été présentée par Blontucla(*), Lucas (*), et d'autres auteurs, il nous parait nécessaire d'en faire l'objet d'un paragraphe spécial.

Les formes géométriques les plus simples et les plus régulières sont, en général, celles tjue Ton emploie avec le plus de succès pour

(i) Voir Oz-Înam. — Edition de i863, vol. I, p. 100; édition de i84o, p. 46.

(*) Lucas. — Récréations mathématiqaes, Paris, 1 882-3, vol II, part. 4 ' Qoiis aurons encore occasion de citer cet auteur un peu plus loin.

les maléiiaux destinés à entrer dans la constitution des édifices. Si Ton examine, par exemple, les différents carrelages qui se présentent le plus souvent dans l'intérieur des habitations, on y voit des triangles équilatcraux, des carrés, des hexagones et des octogones réguliers.

Les figures lo, ii et i3, ci-après représentent respectivement des

carrelages composés d'une seule espèce de carreaux, qui sont des triangles équilatéraux dans la première, des carrés dans la seconde, et des hexagones réguliers dans la troisième. Il est à remarquer que ces polygones réguliers sont les seuls que Ton puisse employer dans les carrelages où l'on ne veut pas combiner des figures dont les nombres de côtés ne soient pas les mêmes.

Représentons, en effet, par n le nombre des côtés d'un polygone

Fig. II. Fig. la.

régulier; la somme de tous ses angles intérieurs est égale h(n — 2) ir et chacun d'eux vaut

(n — a) Tt n

QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE îx5

Pour qu'il soit possible d'assembler un certain nombre de ces polygones autour d*un même point, il faut que l'expression (i) représente une partie aliquote de 4 angles droits, c'est-à-dire que l'on doit avoir

(n — 2) Tz 3TC n — a a

p représentant un nombre entier égal à 3 ou plus grand que 3.

Pour j3 = 3, 71 = 6, et pour p > 3, on obtient Tinégalité n < 6. qui montre que le problème est impossible avec des polygones réguliers de 7 côtés ou de plus de 7 côtés.

Reprenons Tégalilé

Si n est impair, les deux nombres n — 2 et n étant premiers entre eux, la fraction du premier membre est irréductible et 2 ainsi que p sont des équi-multiples de n — a et de n.

Par suite

n — 2=1, d'où n = 3 et

p =: n X a, d'où ^ = C.

Si n est pair, nous pouvons poser n = a m et Tégalilé devient

la fraction étant alors irréductible, on a :

m — 1 = 1, d'où m = a et n = 4 p = a./n, d'où /) = 4.

RécnÉATlONS MATHÉMATIQUES

Bièa plus, M. Lucien Iiévy montre comme il suit (*) qu'un carrelage sans vides, ni empiétements, est impossible si Ton yeut associer des polygones étoiles à des polygones convexes.

En d'autres termes, on ne peut faire un pavage avec la disposition

ci-contre :

KABGL polygone étoile.

PADBG polygone convexe.

GBEGH »

En effet, soit n le nombre

Fig. i3.

des côtés du polygone étbilé et p l'espèce.

L'angle du polygone

L'angle

ADBz

L*angle

DBG = -J [4(îLl=p)jJ.

Or, il faut ADB = DBG, ou (n - a p + :.L^ ^ , (l^TLi^)

d'où

Donc n doit être pair =2/1'

(**) L. Lévy. —^ Sur lès pavages à l'aido de polygones réguliers. Ballelir\ de la Société philomathiqae de Paris. 8* séHe, t. ÏIL îi* ^^ pp. 46.

QUESTIONS DE OÉOUféTRIE 27

et

Mais p est premier avec n, donc p est impair et n' est impair. Or, soit N le nombre des côtes du polygone convexe : son angle sera

2N — 4 et il faut

2N — 4 2 (fi — 2/} H- 3 ) 4>t^ — 4 p 4- 4

d'où (P— i)N = 2n', et ^-Tli N = n'.

Donc 'fi devrait être impair : mais pour qu'un polygone convexe puisse êtte entouré alternativement de polygones convexes et étoiles, il faut qu*il ait un nombre de côtés pair. Donc le problème est impossible.

11 est évident que si le polygone avait un côté traversant le triangle ABD, les angles formés extérieurement par ce côté et par AD et DB seraient plus grands que Tangle ADB : le problème serait impossible a fortiori.

Proposons -nous donc la question générale de recouvrir un plan avec des polygones réguliers convexes n'empiétant pas lés uns sur les autres et de manière à ne laisser aucun vide, sans s'imposer la condition que les figures assemblées aient nécessairement le même nombre de côtes.

Le plus petit ndtnbre possible de polygones pouvant être employés en chaque point d'assemblage est 3.

Représentons pkv n^, n^ et n^ les nombres de côtés de ces trois figures, ces nombres étant supposés ranges par ordre de grandeur croùsaiitei

Les angles au sommet de chacun des polygones ont rcspecUvement pour valeurs

et on doit avoir

0^ — 2) 2 ^ (n, -- 3) 2 ^ K — 2) 2 ^ ^^ «i 'ïa ^3

/Il /ij

d'où enfin la relation conditionnelle

1 1 = - . avec Hi << n> << n...

Le plus simple des polygones réguliers étant le triangle équilaléral, posons n, = 3 et cherchons à déterminer les polygones pouvant être associés avec ce triangle.

On a alors

et

Hj /Ij 2 3 B

n^"^ 6 avec n^ < 12.

Pour

""'= ^' ii; = 6~8=^^' ^3 = 2/1.

n =10, — = 7; = -ff . w.. = l5.

^ iu 6 10 i5 ^

n2=ii,

j;^ = g — ~j^ = gç, 713 n'est pas entier.

QUESTIONS DE G^OMéTRIE

Enfin pour n^= 12, n^= 12.

La première combinaison : 71, = 3, n^ = 7 et /ij = f\2 ne permet pas de constituer un carrelage; car les trois angles réunis au 3" sommet du triangle équilatéral ayant respectivement pour valeurs

2 de droit, — ^ et — ^ donneront une somme inférieure à 4 droits.

Il resterait donc un vide.

La deuxième combinaison :

7ij := 3, /i2 = 8 et /ij = 24

donne pour la somme des angles assemblés au 3" sommet du triangle équilatéral

somme inférieure à 4 droits.

Les 3** et 4'' combinaisons ne sont pas davantage admissibles. La seule combinaison possible est :

«j = 3, n^=zi2f 713== 12.

Assemblage du triangle équilatéral avec le dodécagone régulier; on obtient la figure représentée ci- contre.

Examinons, en second lieu, le cas où n^ = 4*

Alors

égalité qui combinée avec la relation n^ <^ n^ nous donne

4 < Hj < 8.

R^CniATIONS MATHÉMATIQUES

Pour Hj = 5, ~ = / — i; = — • «3 =^ 20, assemblage inadmissible

/I2 = 7, — = T = -O » n, n est pas entier

'^ ' Mj 4 7 28 ^ *^

nj = 8, — ==- — g = j^, 71^ = 8, seule combinaison possible.

On peut donc former un carrelage avec des carrés et des octogones et on obtient une figure identicjue à la suivante.

Supposons encore «i = 5,

alors 1 = —

«i 'Ï3 ïo et

Pour

I fa-

" iO

cette

combinaispn n

'est

is adipissible.

Fig. i5.

Enfin pour n2 = 6, on trouve n^= G.

Et la combinaison /li = n^ = Mg = 6 fournit le carrelage déjà représenté plus haut, figure la.

Ainsi avec 3 polygones réguliers ayant ou n'ayant pas le même nombre de côtés tous les trois, les seules combinaisons possibles sont

iii = 3, n.^ = 13, n^ = 13,

rii = 6, n^= 6, n^ =. 6.

QUESTIONS DB GBOMÉiaiB Si

Passons maintenant au cas de quatre polygones réguliers dont nous représentons les nombres des côtés» rangés par ordre de grandeur croissante, par rij, n^, n^ et n^,

On doit avoir en chaque sommet d'assemblage

(n, — 3) a {n , — a) 2 (n, — a) a KjTLîL? — /, n, -^ n, "^ a, "^ -1^, - ^'

d'où la relation

avec

Tii <j /la < fig <^ n^.

Par suite n^ < 4- Pour

Faisons n,, = 3. On en déduit : 1 = .,

Si

Hj = 5, — == w — pr = -p , /i^ n est pas en lier.

Ht O O 10

Ainsi, avec n^ = 3 et n^ = 3 on peut avoir «3 = 4, «♦=ia,

REGRIÊATIONS MATHÉMATIQUES

OU

Faisons «2 = 4, et /ig = 4, donne

3 < /ij < 5

Par suite, avec /ij = 3 et n^ = 4 on ne peut avoir que

^3 = 4 et ^4 = 6.

Enfin pour n, = 4» les 4 polygones réguliers sont des carres. En résumés avec 4 polygones réguliers nous avons les combinaisons

/Il == 3.

tii = 3, /ij = 3,

fh = 4»

/i^ -^ 3, vi3 = 6, n^ = 6,

/i^ = 4, «3 = 4, iv = C,

n.^ =rr /Ï3 = n^ rrr 4.

La combinaison (i) ne permet pas de constituer un carrelage, La combinaison (2) nous donne les figures 16 et 17 ci-après.

Fig. i6.

Fig. 17.

QtESTIONS DE GÉOMÉTRIE

La combinaison (3) donne lieu à Tune des trois figures i8, ig ou 20, au sujet desquelles L. Lévy (^) fait les remarques suivantes.

Dans l'assemblage régulier

(fig. 18) tous les sommets sont /\\//\ j/ /\ 3c /\ identiques. Les assemblages ^V'^N^A-^'^V-V'''^^

des figures (19) et (20) con- ^^ry^-^^.^^^^A^^

servent quelques propriétés V yC \/ yC \/ /C \/

de l'assemblaee régulier. Ainsi ^Ti"^ 1 I 1 r

vxxxy

.'assemblage régulier on trouve dans les deux groupements des hexagones, un sur deux, dont les six axes de symétrie aa, bb, ce, dd, ee,ff *'' sont axes de symétrie des figures complètes. Les autres hexa-

(*) lilémoire déjà cité.

Récréations mathématiqaes, II.

RÉCRÉATlOWa MATHÉMATIQUES

gones n^ont en commua avec la fîguro totale, que quatre symétries dans Tune des figures» trois dans l'autre; dans la figure 19, un carré sur deux, dans la figure ao un carré sur troîg ont deux axes de symétrie communs avec la figure ; ce sont les perpendiculaires au milieu des côtés. Il est d'ailleurs bon de remarquer que les diagonales des carrés ne sont axes de symétrie dans aucune

rx^Y-

jXv^ /\

ik^>

\/yy<^

^ /"sC / ' \ Jv^*'^

^>vf ^y'\^ \ 1 / y^>s,^^ ^^

~Kj^ f "</r-'

Fig. ao.

des trois figures. Dans la figure 19, un triangle équilatéral sur deux a ses trois axes de symétrie qui servent d'axes à la figure complète. L'autre triangle, comme tous les triangles de la figure 20 n'a qu'un axe de symétrie commun avec la figure.

On pourra ainsi, avec les mêmes polygones^ obtenir autant de groupements que l'on voudra, et présentant des symétries de plus en plus rares. Mais il est évident que, pour le coup d'oeil, lorsqu'on

aura à recouvrir un espace déterminé, on devra choisir un dessin qui reproduise la même disposition, un certain nombre de fois, sans cependant trop la répéter.

Par exemple, dans un espace restreint, on emploiera le pavage de la figure 18, si Ton dispose d'un peu plus de place, celui de la figure 20, puis celui de la figure 19, etc. Il est encore bon de remarquer qu'à cause des symétries multiples de ces figures, l'eiTet artistique sera entièrement différent suivant qu'on disposera parallèlement au côté de la pièce à paver une diagonale d*un hexagone ou la droite joignant le3 milieux de deux côtés opposés.

De nombreuses questions peuvent être posées à propos de ces assemblages : ainsi on peut se demander si le nombre en est illimité. A.utant qu'il m*a semblé, la réponse doit être affirmative ; on peut se donner arbitrairement une file de ces polygones ayant leurs centres en ligne droite et il restera encore une infinité de manières de terminer le pavage. Voici cependant quelques précautions à prendre : on ne devra pas mettre à la suite, dans la file de polygones, plus de trois carrés, ni plus d'un triangle, ni plus d'un hexagone; ces remarques sont faciles à vérifier. En voici encore une dont le lecteur trouvera^ sans peine la démonstration : considérons l'ensemble de polygones (fig. 21).

Lorsqu'on rencontrera sur un axe de symétrie, le sommet A, commun Fig. ai. Fig. aa.

à un hexagone et à un triangle, suivi lui-même d'un autre hexagone, tout l'ensemble (fig. 21) devra être dessiné.

D'ailleurs un triangle équilatéral ne peut être entouré que de l'ensemble (fig. 21) ou de l'ensemble (fig. 22) (*).

Arrivons au cas de cinq polygones réguliers.

(*) L. LivT. — Sur les pavages à l'aide de polygones réguliers. Bulletin de ta Société philomatique de Paris, 8® série, t. III, n» 2^ p. 46.

36 fiÉCRÊATIO^^S MATHEMATIQUBS

'Si ''il '^4* «i et /iç désignant toujours les nombres des côtés, on

AVOC

Ou ud i)aut avoir

II, = a, = n, = «4 = fij i'nr il ou riHuIlcrait

lO

vhIpiii* Itou 0n(li^iH)« hl Mt — J<» «lor*

h^ w,^ «^ Hj a o o 3 < Wj < 4

)<^ *' ïi^ 6 3 a

Au^*^^ ^\>v \^s>j ^v,vK^^^^^v\ i\N<<i^^,KN;^ o«i 41 Vs deux sudations S - >^« ^ — c^. V — >V \ ^ -V ^ = *

QUE8T101VS D« oioutriM

la première fournit les trois combinaisons représentées par les figures 33, 24, a5.

La seconde ne permet pas de constituer un carrelage.

Avec 6 polygones on arrive à la relation

avec

"t < «a < 'ïg < ••• < '»6

et la seule solution possible est

jii = /ig =

Tout ce qui précède donne ridce d'une récréation des plus '^' ^ •

intéressantes et à la portée des enfants. Elle consiste à découper dans

Fîg. 24.

Fig. 25.

des morceaux de carton blanc un certain nombre de polygones réguliers susceptibles de constituer un carrelage, ces figures une fois

RÉQlii/lTIOlfS ItATHÉlIAlIQUBf

teintées de diverses couleun sôiit mélangées et il s'agit de lés assem-^ bler de façon à former un carrelage.

On obtient ainsi des dessina variés dont quelques uns présentent beaucoup d'originalité et offrent de jolis sujets de décorations.

On obtient également des effets très agréables que les architectes pourraient avantageusement mettre à profit pour le carrelage des édifices publics et particuliers» en employant de simples combinaisons de carreaux partagés en deux triangles de couleurs différentes. Le P. Sébastien Truchet, de Tancienne Académie des Sciences ; est le premier qui envisagea ce sujet sous le point de vue géométrique. Il raconte, dans un Mémoire imprimé parmi ceuï de Tannée 1704, qu'étant allé faire un voyage au canal d'Orléans, il rencontra, dans un château voisin, des carreaux de faïence carrés et mi-partis de deux couleurs par une diagonale ; ils étaient destinés à carreler une chapelle et quelques appartements. Gela lui donna occasion d'examiner de combien de manières deux de ces carreaux pouvaient se joindre ensemble par le côté pour en former différents dessins.

On trouve d'abord, suivant la situation qu'un seul carreau peut prendre, quatre dessins différents (i, 3, 3, 4, fig. 26), qui néanmoins peuvent se réduire à deux, puisque le premier et le troisième, le second et le quatrième, ne diffèrent qu'en ce que les parties claires et ombrées sont transposées mutuellement.

Maintenant, si Ton combine deux de ces carreaux ensemble, il en résultera 64 arrangements différents ; car, sur chacun des quatre côtés d'un des carreaux représentes par les figures à6 ci-dessus, i, a, 3 et 4. on peut placer un quelconque des trois autres carreaux dans quatre positions différentes.

Il faut cependant observer que de ces 64 combinaisons il y en a précisément une moitié qui ne fait que répéter l'autre absolument dans le même sens, ce qui les réduit à Sa. On les réduirait à 10 si l'on n^avait pas égard à la situation.

Fig. a 6.

QUESTIONS Dft OÉOM^.TRÏE

On pourrait combiner d*une manière analogue trois, quatre, cinq, etc. carreaux les uns avec les autres, on trouverait que 3 carreaux peuvent former entre eux s"^ = 128 dessins, que quatre en forment 3* =2: 4* == 266, et que le nombre des dispositions distincte» renfermées dans un carré formé par 64 carreaux est égal à 2«* ou 18446744078709561 616.

On trouve chez quelques tabletiers sous le nom de jeu du parquet,

une petite table garnie d'un rebord et contenant G4 ou 100 petits

carrés mi-partis, que Ton choisit parmi un plus grand nombre, de

manière à établir des combinaisons agréables à l'œil. Les personnes

curieuses de cet amusement, en verront de très nombreuses dans le

Mémoire cité du P. Truchet, et surtout dans un traité spécial sur

la matière, publié en 1722 par le P. Douât, confrère du P. Truchet,

sous le titre : Méthode pour faire une infinité de dessins différents avec

des carreaux mi-partis de deux couleurs par une ligne diagonale.

Carrelages anallagm a tiques. — • Sylvester (*) a étudié tout spécialement des assemblages particuliers de carreaux blancs et noirs auxquels il a donné le nom de carrés anallagmatiqaes.

Un tel carré est formé de cases noires et blanches, en nombre égal ou inégal, mais disposées de telle sorte que, pour deux lignes ou deux colonnes quelconques, le nombre des variations de couleurs soit toujours égal au nombre des permanences.

La figure 27 est un carré anallag ma tique de 16 cases.

Considérons le carré anal lagma tique de 4 cases représenté ci-contre (fîg. 28)

et remplaçons les cases ^'g« ^7- ^'^S- *«• i^jg. 29.

noires par des cases blanches et inversement, on obtient un nouveau carré (fig. 29) qui est V opposé ou le complémentaire du premier.

(») Voir VEdacatioml Times reprints, Londres 1868, vol. X, pp. 74, 76, 112; voir aussi vol. XLV, p. 127; vol. LVI, pp. 97-99

Laisant a donné le procédé suivant pour construire les carrés anallagmatiques de 2** cases de côté (').

Prenons les deux carrés anallagmatiques figures 26 et 27 de deux cases de côté. Avec ces deux figures on forme les carrés suivants, complémentaires, de Fig. 28. Fig. 29. 4 cases de côté :

c'est-à-dire

Fig. 3o.

Si, dans la figure précédente, on remplace A et B par les carrés que nous Tenons d'obtenir, on obtient les carrés complémentaires de 8 cases de côté ; et, ainsi de suite. D'ailleurs il est évident que Ton peut déduire d'un carré anallagmatique un grand nombre d'autres : 1° par la permutation des colonnes et des lignes ; 2® par le changement des couleurs des cases d'une ligne ou d'une colonne quelconque.

L'idée du carré anallagmatique a été déduite par Sylvester de la démonstration qu'il a donnée, le premier, d'un théorème énoncé par Newton, dans V Arithmétique universelle.

Préférable à celui de Descartes, ce théorème fournit une limite supérieure du nombre des racines réelles d'une équation numérique par la considération de la succession des signes dans l'ensemble des coefficients de trois termes consécutifs.

Au Congrès du Havre {Association française^ 1877) Lucas a fait remarquer l'analogie qui existe entre le carré anallagmatique de Sylvester, et les formules qui donnent la décomposition du produit

(•) LA.isA.ifT. — Notice historique sur les travaux des sections de mathématiques. Association française pour Vavancement des Sciences, Compte rendu de la 8® session, Montpellier, 1879,

QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE ^l

de sommes de 4. 8, i6, ... carrés, en une somme de 4. 8, i6, ... carrés. On sait que cette formule a été donnée par Léonard de Pîsô pour 2 carrés, par Euler pour 4. par Prouhet et Gayley pour 8 et par Genocchi pour a'* carrés.

Par exemple, en remplaçant les cases blanches du carré anallagmatique de 4 cases de côté représenté fig. 37, plus haut, par le signe -f- et les cases noires par le signe — , on forme le tableau

que l'on retrouve dans le produit de

a2 -h 6» -H c* -4- d^ par

mis sous la forme suivante d'une somme de 4 carrés

(-h ap — bq — cr — ds)^ (-f- as — br -\- cq -h dp)^ (+ aq -h bp — es -f- drY ( — ar — bs — cp -h dqY

Nous conseillons au lecteur de rechercher les figures des carrés anallagmatiques de 64 cases et de a 56 cases.

Il existe un pavage anallagmatique de ce genre, en marbre blanc et rose, dans Tune des cours d'un établissement public de Londres.

Les difficultés du problème augmentent si l'on emploie des carreaux de plus de deux couleurs. Gomme simple exemple de ce genre de question, nous mentionnerons la récréation suivante dont nous devons la communication à l'obligeance d'un correspondant qui lui donne le nom de « jeu de la croix en quatre » (Gross-fours). On

4â RÉCRÉATIONS BtATHÉMATIQÙES

se sert de seize jetons carrés, dont la moitié supérieure de chacun d'eux est respectivement jaune, rouge, rose ou bleue, et la moitié inférieure dorée, verte, noire ou blanche, mais deux jetons ne sont pas coloriés de la même façon ; il s'agit de disposer ces jetons en carré de telle sorte qu'il y ait huit couleurs seulement dans chaque ligne horizontale, dans chaque colonne verticale et dans chaque diagonale. Les jetons peuvent également être arrangés de façon que chacune de ces dix directions (*) ne contienne que six couleurs seulement, ou encore cinq couleurs ou enfin quatre couleurs. Les questions de cette nature sont peu connues, elles sont cependant assez instructives.

Problème du cube colorié* — Comme un nouvel exemple de récréation analogue à celle du carrelage, nous citerons le problème du cube colorié ; nous le choisissons de préférence d'abord, parce qu'il présente quelques difficultés, ensuite, et principalement parce qu'il a été soumis à l'analyse mathématique (*).

Abstraction faite de toutes notions spéciales de mathématiques, la question se résume ainsi : les six faces d'un cube sont peintes avec six couleurs différentes, et en permutant l'ordre de ces couleur» on peut obtenir trente cubes dont deux quelconques ne sont pas coloriés de la même manière. Considérons l'un deux que nous représenterons par la lettre K, le problème consiste à choisir huit cubes parmi les vingt-neuf qui restent, avec lesquels on se propose de construire un nouveau cube (dont les dimensions linéaires seront doubles de celles de K) colorié comme K, les petits cubes élémentaires étant disposés de telle sorte que les faces en contact de deux d'entre eux soient de la même couleur.

Il n'existe qu'une seule collection de huit cubes satisfaisant à la question, mais il ne s'agit pas de les déterminer d'une façon empi-

(*) Les ligne horizontales, les colonnes verticales et les deux diagonales.

(*) Par le Major Mac Mahon ; un extrait de son Mémoire présenté à la Société mathématique de Londres, le 9 février 1893, a été donné dans le n° du 23 février 1898, du journal Nature vol. XLVIl, p. 4o6.

QUHSYlOlfS DE GéOMiTRIB ^S

rique. L'analyse mathématique nous fournit la règle suivante pour les obtenir sans tâtonnements.

Considérons une face quelconque du cube K, aux quatre angles de cette surface se rencontrent trois couleurs ; en eiïecluant sur ces couleurs considérées comme des nombres une permutation circulaire, nous obtenons avec chaque angle deux cubes différents et les huit cubes ainsi déterminés répondent à la question.

Supposons, par exemple, que les six couleurs soient représentées par les lettres a, b, c, d, e,f. Plaçons le cube K sur une table et, pour fixer les idées, admettons que la face coloriée/ soit la face inférieure, celle coloriée a la face supérieure, et que les autres couleurs b, e, d ei e soient orientées suivant les directions Est, Nord, Ouest et Sud.

Nous représenterons une pareille disposition par la notation (/, a; 6.0id.e). Une permutation circulaire des couleurs qui se rencontrent à Tangle N-E de la face supérieure nous donne le cube (/»o; a.6«d.e). De même, les deux permutations circulaires des couleurs qui se rencontrent à Tangle N-0 de la face supérieure du cube K, nous donnent les cubes (f, d; b.a.cé) et (f, c; 6.d.a.e.). L'angle S-0 de la face supérieure du cube K nous fournit les deux nouveaux cubes (/, « ; 6.c.a.cf) et {/, d ; 6.c.c.a) ; et enfin, avec les couleurs de l'angle S-E, nous formons les deux derniers cubes (/. e; a.c.(f.6), (/, b; e.cd.d).

Les huit cubes cherchés étant ainsi obtenus, il n'est pas difficile de les disposer de façon à former un nouveau cube colorié comme K et remplissant cette condition que deux faces en contact soient de la même couleur. Ces conditions peuvent être satisfaites au moyen de deux arrangements différents. Voici une façon d'opérer : donnons un numéro d'ordre aux divers cubes décrits plus haut, et plaçons les n°» 3. 6, 8 et 2 aux sommets S-E, N-E, N-0 et S-0 d'un carré, la face coloriée /étant, bien entendu, à la partie inférieure, les cubes 3 et 6 ayant les faces coloriées 6 tournées vers l'E et les cubes 3, 8 tournant vers l'O, les faces coloriées d. Les n**" 7, i, 4 et 5 seront alors placés au-dessus des premiers, respectivement

dans les angles S-E, N-E, N-0 et S*0, les faces coloriées a étant, bien entendu, toutes à la partie supérieure; les cubes 7 et i ayant les faces coloriées b tournées vers TE et les faces coloriées d des cubes 5 et 4 regardant TO.

Si on ne se donne pas au préalable le cube K, il devient alors bien difficile, sans le secours de l'analyse mathématique, de disposer les huit cubes élémentaires de manière à former un seul cube dont les faces soient coloriées comme celles d'un des vingt-deux cubes restants avec cette condition que les faces eu contact dans deux petits cubes soient de la même coulenr.

Il est bien facile de construire un jeu semblable, ayajit des dimensions raisonnables, il est même surprenant qu^on n'en trouve pas chez les marchands de jouets, mais nous n'eu avons jamais vu d'autre que celui que nous avons construit pour notre usage.

Nous ne croyons pas sortir du cadre que nous nous sommes tracé en exposant ici un joli problème sur la sphère traité par A. Hermann dans une publication aujourd'hui oubliée {Journal des sciences mathématiques public par Labosne).

Voici le problème en question :

Quels sont les polygones réguliers sphériques que Von peut employer pour recouvrir la sphère en n'utilisant que des polygones égaux entre eux, associés en même nombre autour d*un sommet quelconque de Vun des polygones ?

Rappelons d'abord ce théorème important qui est dû à Ëuler,

Théorëme d'Euler. — Dans tout polyèdre convexe, le nombre des arêtes augmenté de deux est égal au nombre des faces augmenté du nombre des sommets.

Autrement dit, si on appelle S le nombre des sommets, A le nombre des arêtes, F le nombre des faces, on a :

Considérons un point quelconque à l'intérieur du polyèdre. De ce point comme centre décrivons une sphère. Les droites qui joignent

le point choisi aux sommets du polyèdre percent la Bphère en différeats points que nous joindrons par des arcs ,de grand cercle. Ces arcs de grand cercle détermineront sur la sphère des polygones sphériques correspondant aux différentes faces du polyèdre et dont Tensenabie recouvre la surface de la sphère. Soit ABCDE Tun de ces polygones et soit n le nombre de ses côtés, sa surface aura pour expression

S représentant la somme de ses angles. Si nous faisons la somme des surfaces de ces polygones, nous trouverons la surface de la sphère, qui est égale à 8. D'un autre côté, la somme des angles des polygones est égale à 4 S, puisque la somme des angles des polygones qui s'ajustent autour d'un même point est égale à 4 droits et qu'il y a sur la sphère autant de sommets que dans le polyèdre ; de plus on a :

2n==aA, 24 = 4F

par conséquent on a l'égalité

ou S -h F = A H- 2.

Passons maintenant à la solution du problème énoncé. Soient :

n le nombre des côtés d'un polygone :

K le nombre des polygones associés autour d'un même sommet ; m le nombre des polygones ; A l'angle de l'un des polygones.

La surface du polygone sphérique étant contenue m fois dans la surface de la sphère, nous aurons la relation

n.A — a(n^ — !>^) 8 ^ (*) L'unité de surface est comme Ton sait lo triangle sphérique trirectanyle ,

égalité d*où nous déduisons

or nous avons

donc

'"-3(n + K)-Kn'

Examinons maintenant ce que devient cette formule pour Içs hypothèses diverses que Ton peut faire sur la nature du polygone. Si nous nous servons de triangles équilatéraux, nous aurons :

La formule (i) nous donne

m devant être un nombre entier, on ne pout donner à K que les valeurs 3, 4 et 5 auxquelles correspondront pour m les valeurs

Pour n 3c= 4 , on a :

'^ = 4^^ et on ne peut donner à K que la valeur 3, ce qui donne

Pour n = 5 la formule (i) devient

et OTi T\e peut encore donner à K que la valeur S qui nous conduit à

m = la.

Pour n = 6 la formule (i) devient

et on Tie peut donner à K aucune valeur ; il en est a fortiori de même pour n > 6.

« Ainsi, on ne peut recouvrir que de 5 manières la sphère de polygones réguliers égaux, assemblés en même nombre autour d'un même sommet ».

Première remarque, — On sait qu'il existe 5 polyèdres réguliers : si on considère un polyèdre régulier inscrit dans une sphère, et si on joint les sommets consécutifs 2 h 2 par des arcs de grand cercle, nous diviserons la sphère en polygones réguliers égaux. On voit donc que les 5 manières de diviser la sphère en polygones réguliers égaux correspondent aux cinq polyèdres réguliers de la géométrie, et qu'il n'y en a pas d'autres.

Deuxième remarque. -^ On pourrait croire qu'en n'assujettissant pas les polygones à être réguliers et égaux entre eux, on pourrait disposer d'un plus grand nombre de manières des polygones d'un même nombre de côtés. Il n'en est rien. Pourvu que Ton s'assujettisse toujours à associer les polygones en même nombre autour d'un même sommet, que les polygones soient réguliers ou non, qu'ils soient égaux ou non, la formule (i) et ses conséquences ont toujours lieu. Il suffit pour établir la formule (i) dans toute sa généralité^ de remarquer que le théorème d'Euler s'applique à la sphère considérée comme un polyèdre à faces courbes dont les faces sont les polygones sphériques qui la recouvrent. De sorte que si nous désignons par S le nombre des sommets de co polyèdre, par A le nombre de ses grêtes, noua avous la relation

le nombre des faces étant m, si nous conservons la même nolation que tout à l'heure. Mais a et K désignant encore le nombre des côtés d'un polygone sphérique et le nombre des polygones associés autour d'un même sommet, nous avons

substituant dans (a), nous retomberons sur la formule (i).

Toutefois, s'il est démontré qu'il est impossible de recouvrir la sphère avec des hexagones inégaux, par exemple, et que si on se sert de pentagones, il faut les associer 3 à 3, il resterait à examiner si on peut prendre un premier pentagone au hasard, et le degré d'indétermination que présente la solution du problème, ce premier pentagone une fois choisi. Mais ce sont là des questions fort délicates qui sortent des limites que nous nous sommes imposées. Nous tenions simplement à montrer que la solution générale du problème n'est pas trouvée quand on a interprété les conséquences de la formule (i).

Jeux de position. — Les jeux qui dépendent des mouvements que l'on peut faire exécuter à des pièces sur des tablettes de formes variées — comme la marelle simple, double, triple, le jeu du renard et de l'oie, le jeu du solitaire, le trictrac, le jeu de dames et les échecs — présentent généralement beaucoup d'intérêt. Le cadre de cet ouvrage ne nous permet pas d'entrer dans la description et l'étude de tous ces jeux que l'on trouve d'ailleurs dans des traités spéciaux, nous nous contenterons de dire quelques mots de l'un d'eux, le Go-bang ou Gobang dont il a été question un peu plus haut et que nous croyons encore peu connu.

Le Go-bang oa dames japonaises. — Ce jeu de combinaisons serait, paraît-il, connu au Japon depuis la plus haute anti-> quité et aurait été introduit en Europe par un amateur anglais nommé Gremer.

QUESTIOIfS DE GÉOMÉTRIE 49

On peut se le procurer, à Paris, à la NeaVs library, rue de Rivoli, 246, avec une notice anglaise, ou encore dans les grands bazars parisiens accompagné de la règle du jeu en français. Il se joue avec un nombre quelconqae de jetons, sur un carton divisé en un nombre quelconque de cases. Les cartons qui accompagnent le jeu, à la librairie anglaise, contiennent soit 16* = 256 cases, soit i8* = 824 cases, soit 30^ = 4oo cases.

Lesjeux français contiennent, dans une boite, un échiquier en carton, plié en 4. de 4oo cases, et 4 séries de couleurs différentes, de 5o jetons chacune (parfois un de plus ou de moins) (^).

La règle du jeu est très simple : le plateau étant divisé en un certain nombre de carrés, les joueurs adoptent chacun une couleur et prennent un nombre égal de jetons.

Chacun d*eux joue alternativement un pion; le hasard décide de celui qui a le premier lai pose. Les pions se posent comme on veut, sur n'importe quelle case. La partie est gagnée par le premier des joueurs qui a réussi à placer 5 pions en ligne droite dans une direction quelconque, de manière que ces 5 pions soient dans des cases qui se touchent, sans vide et sans inlercalatipn des pions de l'adversaire.

S'il arrive que chacun des adversaires a placé ses pions sans que la partie soit gagnée, on la continue, en jouant alternativement un pion quelconque à son propre choix et en le déplaçant seulement d'une case dans chaque sens., comme le roi aux échecs. La partie est gagnée dans les mêmes conditions, c'est-à-dire quand un des adversaires a amené, par des déplacements successifs. 5 pions consécutifs dans le même [alignement. Cette phase de la partie est fort intéressante et se prête à de multiples combinaisons.

Dans la pratique, lorsqu'on joue le Go-bang à deux, il est rare, à moins qu'on ait fait une étude très attentive de ce jeu. qu'on

(^) On peut construire soi-même un jeu de Go-bang avec du papier quadrillé et des pains à cacheter.

Récréations mathématiques, II. 4

6o RécaBATIOVP lUTHélflTIQUBS

arrive à placer chacun plus de a5 jetons avant la fin de la partie, et qu'on atteigne les bords de Téchiquier, car il y a évidemment avaria tage à se placer au centre ; c'est pourquoi le nombre de^ cases de Téchiquier et des jetops de chaque joueiir p'a aucune importance, et l'essai quoi) peut faire de ce jeUf av^ un damier de lûp ca4e« trop restreint, ne donne qu'une idée iocomplèlQ de la ymé\é d^ ses combinaisons.

Il efit facile 4^ voir que ç»]m qui joue U fv^imv peut toujours placer 3 jeton# consécutifs en ligue droite Hu troisième coup, §( qu'il ne faut qu'un très petit nombre de coups joués correctement pour en placer 4 ^ la file sur une ligne droite parallèle h Tun des bords de Téchiquier ou à Tune de ses diagonales* Four cinq pions consécutifs, si Tadversaire joue correctement, il en faut beancoup p}u9> peut-être 3o ou 4o, ou même davantage.

Pour gagner au n'*"® coup du jeu du Go-bang. il suffit de placer 4 jeton» de môme couleur au (n ^ ^)iôri»e çQyp ^^^ ^ ç^^^ consécutives en lignQ droite, les cai^i contiguës dans le prolongement de cette ligne étant libres. Pour arriver h ce dernier résul(at| il sufSt de placer au (h — /i)ième copp, un jçton qui forme, dan9 4çw directions différentes, deux séries de trois jetons de mém9 couleuP sur trois cases consécutives en ligne droitei les cases contiguçs dans le prolongement de ces deu?^ lignes étant libres ; il y a d'autres dispositions qui assurent le gain de la partie.

Il sernit intéressant de chercher combien il y a de diagrammes ou types différents de dispositions des jetons d'qne même couleur, qui assurent le g^in de la partie, et quel çst le nombre d§ coups mini^ mam nécessaire pour réaliser chacun de ces types sur l'échiquier, quel que soit le jeu de l'adversaire, }e nombrç des cases et dç» jetons étant supposé illimité ?

La question a été pq^ée par H. Tarry dans Vlnlçfmédlaire de$ mathématiciens (Tome II, iSgS, p. 3ao) et est restée jusqu'ici; croyons nous, sans réponse.

Si on limite le nombre des cases ou dés Jetons, la question pmsente, en dehors du cas général, des complications qui rendent inap»

QUEStlONS D« OÉOMIÉTRIE 6l

plicables à un échiquier carré les formules applicables h un échiquier à deux bords (au lieu de 4), dans le problème des n reines (*).

Bien que le Go-Bang paraisse h première vue d'une simplicité enfantine, et que le gain de la partie semble dû au hasard pour les commençants, il est très curieux, parce qu'il exige une extrême attention lorsque le nombre de pions placés est considérable ; il est encore plus difficile qu'au jeu des échecs, de jouer sans faute le coup eorreet. Aussi tout en étant beaucoup moins sérieux que le jeu des échecs, il est bien plus animé que le jeu de dames, et a d'ailleurs sur eux l'avantage qu'il peut s'apprendre en quelques minutes et que les parties sont courtes. ,11 n*est pas rare en eflet, lorsqu'on joue Avec mii adversaire inexpérimenté, de gagner avant le dixième coup.

Ce jeu mérite donc toute TaUention des amateurs de la géométrie de réc})iquier ; très simple de matériel et de mécanisme, ce qui est un grand mérite, il est aussi amusaqt que profond, subtil et varié. Le Go-bang a reçu plusieurs modifications : voici par exemple, une m^^nière asscg ingénieuse de le jouer sur un damier de n^ cases et en supposant deux joueurs ayant chacun ^n* pions.

Chaque adversaire pose à son tour un pion en se donnant pour but d'envelopper complètement un pion adverse ; le pion enveloppé est enlevé du jeu ; la victoire appartient à celui des deux joueurs qui a fait le plus de prises pendant le temps qu'il a fallu pour poser tous les pions sur le damier.

D^une façon générale les mouvements autorisés ou conventionnels des pièces dans les divers jeux rappelés un peu plus haut sont si nombreux que l'analyse mathématique du jeu devient réellement trop ardue pour être traitée d'une façon complète.

Bien que cela paraisse évident à beaucoup de nos lecteurs, nous ferons encore mieux ressortir l'impossibilité de discuter ces jeux d'une façon pratique en ajoutant qu'on a prouvé que le jeu des échecs comportait 197299 manières différentes déjouer les quatre

(*) Voir LuGAS^ RécNatkni ma^ématiqueÊ, t. I.

53 RÉGRÉATIO^fS MATHÉMATIQUES

premiers coups et qu'on comptait presque 7a 000 dispositions dififérentes des pièces sur Téchiquier, le quatrième coup une fois joué (deux de chaque côté), dont 16 556 sont données par le mouvement des pions seulement (*).

Les jeux dans lesquels les mouvements conventionnels des pièces sont très limités, sont susceptibles d'une étude mathématique. Nous en donnerons un ou deux exemples dans le chapitre suivant, nous contentant pour le moment de décrire quelques récréations et de simples amusements.

Problème du garage. — Nous mentionnerons tout d*abord une petite question que nous avons eu occasion d'acheter, il y a quelques années et qui était connue sous le nom de « question du garage ». C'est une récréation pouvant être considérée comme le type de plusieurs problèmes basés sur le croisement des trains el, bien qu'elle repose sur une hypothèse peu admissible, nous la donnons ici comme spécimen.

Le jeu consiste en une portion de voie ferrée DEF, se raccordant en D et F avec deux voies en courbe DBA, FCA, se croisant en A. La portion de voie en A qui est commune aux deux courbes présente le développement strictement nécessaire pour donner passage à un simple wagon comme P ou Q, mais non à la machine R. Par suite, si cette machine s'engage sur Tune des courbes, elle ne peut en sortir qu'en revenant sur elle-même en sens contraire. Des petits rectangles de bois coloriés de façon à simuler des wagons sont disposés en P et Q, comme le montre la figure 3 1, et un rectangle de bois un peu plus grand représentant la machine est placé en R. Le jeu consiste à intervertir la position des deux wagons en se servant de la machine.

(*) 1j Intermédiaire des mathématiciens ^ Parb, décembre 1908, vol. X, t>p; 3o5-3o8.

Voir aussi Royal Engineers Journal, Londres, aoàt-novembfe, 1889, ou encore British Association Ti^ansaction», 1890, p< 746»

QUESTIONS DE QÉOMÉTRIE

L'opération peut s'effectuer ainsi :

(i) La machine R pousse le wagon P en  ;

(a) Elle revient, s'engage sur la seconde courbe et pousse le wagon Q jusqu'à tamponner le wagon P déjà en A. On accouple alors Q et P, et la macliine les amène sur la voie rectiligne, puis, marchant en sens contraire, elle les conduit en E.

Fig. 3i.

(3) On détache le wagon P, la machine ramène le wa^on Q en A et l'abandonne dans cette position.

(4) La machine K revient chercher le wagon P et l'amène sur la voie en courbe FCA dans la position occupée primitivement par Q, puis elle se détache.

(5) R revient alors sur la voie droite, s'engage sur la seconde courbe, prend le wagon Q, ramené dans la position occupée primitivement par P et l'abandonne (*).

Voici encore un jeu à peu près du même genre qui se vendait dans les rues de Londres en 1906.

Une voie d'évitement BGE se raccorde en B et E avec une voie principale AF qui est supposée fermée aux deux extrémités A et F. Sur ces deux voies se déplacent 8 wagons et une machine de mêmes dimensions que les wagons. Au début du jeu les 8 wagons numérotés de I à 8 se trouvent sur la voie principale de A en F, dans

(') La même récréation peut se présenter en supposant que les deux voies en courbe viennent aboutir à une plaque tournante d'un diamètre suffisant pour permettre la manœuvre d'un wagon, mais trop petit pour la machine.

54 RÉGRiAtlOllS MATHBHUTIQUGS

Tordre naturel i, a, 3, 4» .*. 8. La machine stationne sur la Voie d*évilement. Les distances égales AB, EF sont telles qu'il est possible d'y loger a wagons seulement quand les branchements B, E, aux eitrémités de la voie d'évitemcnt sont dégagés» cette voie peut recevoir 4 wagons et seulement 4» H n'wt pas possible de loger plus de 8 wagons sur la voie AF.

Quand la rame entière des 8 wagons est sur AF, seul l'avant dernier wagon à chaque extrémité peut être déplacé et amené sur la voie d*évitement ; quand il y a moins de 8 wagons sur la voie principale AF, les deux derniers véhicules, à chaque extrémité, peuvent cire amenés sur la voie BGE.

Gela posé, le jeu consiste à déplacer les wagons sur la voie principale de manière à les disposer dans Tordre inverse 8, 7, 6 .... i de A en F en eflectuant le plus petit nombre possible de déplacements de la machine ou d'un wagon de la voie principale à la voie d'évilement et inversement.

Il n'est pas difficile avec les indications qui précèdent de construire soi même un petit modèle polir étudier la question.

Celui que nous avons pu nous procurer et qui est représenté par la figure 3a ci-après, présentait les dimensions suivantes : AF = G, 325, AB = EF = o,o46 AH = FK = BG = DE = o,oo5.

Les petits véhicules mesuraient o,oa5 de long sur o,oo5 de large.

^•8 3a. Q^ trouve bien

d'autres qucslions sur les garages, mais ces deux exemples suffiront pensons nons.

Problème du bateau. — Tout le monde connaît l'histoire de cet homme qui, voyageant avec un loup, une chèvre et un panier de choux arrive sur le bord d'une rivière dont il ne peut effectuer la traversée qu'au moyen d*un petit bateau juste assez grand poUty

If

QUESTIONS DE GéOHÉTRIE 65

introduire àtec liii i'un des deux animaux oU le panier de choux. Comme, pour des raisons faciles à comprendre, il ne lui est pas possible de laisser le loup seul avec la chèvre, ou la chèvre seule avec ses chouxf on demande comment il va s*y prendre pour passer la rÎTière (*).

Un problème semblable présenté par Alcuin, Tartaglia et d'autres auteurs est le suivant (') :

Trois jeunes dames fort aimables ont pour maris trois hommes très jaloux ; dans une excursion faite en commun les trois Couples rencontrent une rivière qu'ils se proposent de traverser, mais ils n*ont à leur disposition, à cet effet, qu'un petit bateou dans lequel deux personnes seulement peuvent trouver place. On demande comment s'effectuera le passctge sachant qu'il est convenu entre les maris qu'aucune femme ne sera en compagnie d'un homme si son mari n'est pas présent.

La façon d'opérer dans ce cas est presque évidente et peut se montrer très simplement en se servant de six figures prises dans un jeu de caries.

Un autre problème analogue au dernier mentionné est celui de n couples (hommes et femmes) qui se proposent de traverser une rivière au moyen d'un bateau manœuvré par une seule personne et ne contenant que n — i places, avec cette condition qu'aucune femme ne peut être sans son mari en société avec d'autres hommes. Le cas où n = 3 nous donne le problème d'Alcuin.

Désignons par y le nombre des traversées nécessaires d'une rive à l'autre. On démontre que pour

n 2= 3, y att: II,

n =2 4, j' = g, et que pour

1 > 4. r = 7- La démonstration ne présente aucune difficulté.

(') Ozi!fAM. — Edition do i8o3, vol. I, p. 171 ; édition de i84o, p. 77. (*) Bachbt. — Appendice, problème IV, p. 512.

Le problème suivant toujours dans le même ordre d'idée est dû au défunt et regretté Lucas (*).

Trouver le plus petit nombre x de passagers qu'un bateau peut contenir pour permettre à n couples de personnes mariées de traverser une rivière, sachant qu'aucune femme ne peut être laissée en compagnie d'un autre homme si son mari n'est pas présent, et que le bateau n'est manœuvré que par une seule personne. Déterminer également le plus petit nombre y de traversées nécessaires d'une rive à l'autre.

M. Delannoy a montré que si

n = 2^, on a x = 2, y = 5,

/l = 3, X = 2y J = II,

et enûn

a > 5, x=ii, yz^^n — i.

M. de Fontency a fait remarquer qu'en admettant l'existence d'une île au milieu de la rivière, le passage peut toujours s'effectuer avec un bateau ne contenant que deux personnes. S'il n'y a seulement que deux ou trois couples, l'île n'est pas nécessaire et le cas est compris dans ce qui précède. Mais si on suppose n > 3, le plus petit nombre de passages à effectuer d'une rive à l'autre est 8(n— i).

Voici sa solution : Les neuf premières traversées sont les mêmes quel que soit le nombre des couples en présence : le résultat est le transfert d'un couple sur la rive opposée. Les huit passages qui suivent ont pour effet de faire passer un couple de la première rive sur la rive opposée. Cette série de huit opérations doit être reprise autant de fois qu'il est nécessaire jusqu'à ce qu'on n'ait plus qu'un seul couple sur la première rive, un seul couple dans l'Ile et tous les autres couples sur la seconde rive. Les sept dernières traversées ont pour résultat d'amener les deux derniers couples sur la seconde rive.

(1) Lucas. - ■ Vol. I, pp. i5-i8, 287-238.

La solution pour le cas de quatre couples se résume dans un tableau : représentons les quatre couples par les lettres A, a; B, 6; C, c ; D, d ; les positions des hommes et des femmes après chaque manœuvre du bateau sont indiquées par la position respective des lettres dans les lignes verticales du tabloau ci-après :

Sur la première rive

Dans l'Ile

Dans la

seconde rive

Position à 1

origine

Après le i"'

passage.

ADGD . .cd

ab..

ABCD .bcd

ABCD...d

.... abc .

ABCD . .cd

. . . . ab. .

. .CD..cd

AB . . ab. .

. .CD..cd

AB

ab..

. . CD . .cd . . CD . .cd

AB . ..b..

AB . .a...