CHAPITRE Yl

Nous allons passer maintenant à Texamen de quelles questions de mécanique conduisant à des résultats intéressants peut-être au point de vue historique mais dont quelques-uns paraîtront paradoxaux. Les problèmes de mécanique sont généralement plus difficiles que ceux d'arithmétique, d'algèbre ou de géométrie, et les explications que Ton donne de certains phénomènes — tels, par exemple, que le vol des oiseaux — sont encore bien incomplètes ; d'un autre côté, les théories sur lesquelles sont basées plusieurs autres questions présentant beaucoup d'intérêt sont trop ardues, trop scientifiques, pour trouver place dans un livre qui n'est pas purement technique. ISous nous bornerons donc ici, comme dans les chapitres qui précèdent, à traiter des questions absolument élémentaires et bien connues de tous ceux qui ont quelques notions de mécanique.

Nous supposons le lecteur familiarisé avec les principes fondamentaux de cinématique et de dynamique et ayant une parfaite connaissance des trois lois formulées par Newton que nous rappelons ci-après :

I" Tout corps qui est à l'état de repos ou qui se meut d'un mouvement uniforme suivant une ligne droite persiste dans cet étal de repos ou de mouvement à moins qu'une cause extérieure n^agissc sur lui.

QUESTIONS DE M^GAIflQUK 7I

a" Toute variation de mouvement (*) e«t proportionnelle h la force qui le produit et a lieu en ligne droite suivant la direction de cette force.

3<* L'action d*un corps sûr un autre est égale en grandeur mais opposée en direction à la réaction du second corps sur le premier.

De la première et de la seconde de ces lois on déduit les principes sur lesquels on s*appuic pour résoudre toutes les questions relatives au mouvement d'un point matériel soumis à l'action de forées connues*

De la troisième loi découle le principe sur lequel on se base pour résoudre les problèmes dans lesquels on fait intervenir l'action combinée de deux ou de plusieurs points matériels Tun sur Fautre.

Mouvement* -^ L'idée de mouvement soulève des difiîcultés qui depuis longtemps ont été des sujets favoris de paradoxes 9t dont quelques uns sont du domaine de la philosophie des matliématiques.

Paradoxe de Zenon. — Un des plus anciens est cette remarque faite par Zenon : une flèche ne peut se mouvoir Ih. où elle n'est pas, et puisque d'un autre côté elle ne peut se déplacer là où elle sq trouve (c'est-à-dire dans l'espace qu'elle occupe exactement), il s'ensuit que la flèche ne peut être mise en mouvement.

La réponse que l'idée même du mouvement de la flèche impliquait le passage de Tendroit occupé à un autre point de l'espace n'était pas valable pour Zenon, qui paraissait croire que l'apparence du mouvement d'un corps était un phénomène produit par les apparences successives d'un corps au repos mais dans diflërentes positions.

(') Le mouvement s'entend ici comme mesuré par ce qu'on appelle momentam en Angleterre et quantité de mouvement en France.

Le mot momenlum est usité par abréviation pour désigner le produit de h muse mise en mouvement par la vitesse.

Zenon avançait également que l'idée elle-même de mouveme^'' ne pouvait se concevoir : attendu que ce qui se déplace doit atteindre le milieu de sa course avant d'en atteindre l'extrémité. Par suite, la supposition du mouvement présuppose un autre mouvement, à son tour ce dernier en présuppose un autre, et ainsi de suite indéfiniment. Son objection était, en fait, analogue à ladifiQculté biologique que Swift a exposée ainsi.

« Ainsi que le remarque le naturaliste, une puce a des puces plus petites qui vivent sur elles. Celles-ci sont mordues à leur tour par de plus petites. Et cela continue ainsi indéfiniment. > Ou comme de Morgan a préféré l'exprimer :

« Les grosses puces ont sur le dos des petites puces qui les piquent, m et les petites pucesenontdepluspetitesetainsi de suite indéfiniment* (( Mais les grosses puces elles-mêmes, peuvent aller, à leur tour, € sur de plus grosses encore, et ces dernières sur de plus grosses, a et encore de plus grosses et ainsi de suite. »

Achille et la tortue. — Le paradoxe de Zenon relatif à la course d'Achille et de la tortue est plus connu.

Achille marchant dix fois plus vite que la Tortue et celle-ci ayant une avance de i.ooo mètres (par exemple), Zenon prétendait que l'animal ne serait jamais atteint par le guerrier agile. Voici le raisonnement qu'il tenait : pendant qu'Achille parcourt les i 000 mètres d'avance, la tortue parcourt un chemin dix fois plus petit ou 100 mètres; pendant qu'Achille parcourt ces 100 mètres, la tortue en parcourt 10 ; et ainsi de suite. Achille s'approche bien de plus en plus de la tortue, mais il reste toujours un certain espace qui les sépare, de sorte qu'en réalité la tortue n'est jamais atteinte*

Zenon estimait que ce raisonnement confirmait sa façon de voir : l'idée commune du mouvement étant selon lui contradictoire.

Paradoxe de Zenon sur le temps. — On fait généralement ressortir l'erreur commise dans le raisonnement de Zenon en re«

marquant que si, comme on vient do l'expliquer» le temps mis par Achille pour atteindre la tortue, c'est>à-dire pour gagner ses avances successives peut être divisé en un nombre infini de parties, ces parties deviennent de plus en plus petites et forment les termes d'une progression géométrique décroissante; la somme de tous ces termes donne le temps fini après lequel Achille atteindra la tortue.

Zenon aurait probablement répliqué à ce raisonnement qu'il est basé sur cette supposition que l'espace et le temps sont indéfiniment divisibles, et c'est ce qui fait précisément Tobjet de la discussion ; ce philosophe avançait, en effet, que la division des grandeurs était limitée*

11 parait de plus avoir soutenu que, de même qu'il n*était pas possible à un observateur judicieux d'admettre la divisibilité infinie du temps, de même il lui était également impossible de conce<» voir une mesure minimum du temps.

Car, avançait-il, supposons que t représente le plus petit inter^ valle de temps qu'il soit possible de

concevoir, et considérons trois lignes abc

horizontales abc, a' b' c', a" b' c*, com- ~, 7, ,

posées chacune de trois longueurs | 1 1 ^|

consécutives égales p, disposées de telle

Fig. 38.

sorte que les longueurs a, a\ a"; ' 6, 6' 6*; c, c', d'y soient verticalement Tune au dessous de l'autre.

Imaginons maintenant que la seconde ligne se déplace vers la droite, en entier et d'une longueur/) dans le temps x, pendant que simultanément la 3* ligne se déplace vers la gauche.

Les trois longueurs 6, a', c" se trouveront au bout du temps t verticalement au-dessus l'une de l'autre, et pendant ce temps t (qui par hypothèse est indivisible), la longueur a' est passée verticalement au-dessus des deux longueurs 6", et c". Donc le temps est divisible contrairement à l'hypothèse faite»

74 RécaéiiTioiis mathématiques

Ij^' paradoxe de Triatam Shandy. — M. Russell a énoncé (*) un paradoxe à peu près semblable à celui d'Achille et de la Tortue, sauf que les intervalles de temps considérés vont en croissant de plus en plus avec le cours des événements.

Tristam Shandy a consacré, comme nous le savons, doux ans à écrire Tbistoire des deux premiers jours de sa vie et il te désespé* rait attendu qu'à ce compte, les événements devant s'accumuler plus rapidement qu'il ne lui était possible de les raconter, il ne pourrait jamais arriver à écrire l'histoire entière de sa vie, si longue que pût-ôtre son existence. Cependant s'il avait vécu asses longtemps, et ne s était pas fatigué de son travail, il lui aurait été possible de faire sa biographie complète, quand bien même sa vie aurait tou^ jours été aussi fertile en événements qu'au début. Car en passant la première année à composer le récit des événements survenus le premier jour de sa vie, ceux du n® jour auraient été décrits la n' année, par suite, avec le temps, les événements d'un jour quelconque se trouveraient racontés et aucune partie de sa biographie n'aurait été inconnue.

Cette augmentation pourrait être mise sous forme de démons-^ tratîon pour établir que la partie est égale au tout.

Les questions telles que celles dont nousvenons déparier, et dans lesquelles intervient la notion du continu dans l'espace et dans le temps sont d'un ordre élevé.

Mouvement angulaire. — L'idée dqi mouvement angulaire présente des difficultés h toute personne peu familiarisée avec les matliéma tiques.

Voici, par e?^emple, une proposition bien connue relative au mouvement sur une spirale logarithmique (et dont le résultat est exact avec les conventions ordinaires des mathématique») qui montre qu'un corps qui se déplace avec une vitesse uniforme et aussi lentement

(*) B.-A.-W. RussELL, Principles of Mathematics, Cambridge 1903» vol. I,

QUESTIONS DK MéCAlflQUE 'jb

qu'on le désirô, peut dans un temps fiai, tourner autour d'un point un nombre infini de fois.

Une droite OP tourne autour d'un de ses points et en même leciq»s un mobile P parcourt la droite de façon que si l'angle que fait OP avec une direction fixe OX croît en progression aritbméti'que. la longueur OP croisse en progression géométrique, la courbe décrite par le point P eit une spirale logarithmique. A chaque rotation de quatre droits du rayon vecteur OP correspond une spire.

Si l'on fait tourner OP en sens inverse, la longueur OP décroit au lieu de croître, et le point P décrit des spires de plus en plus rapprochées deO.

Toutes ces spires sont semblables et la longueur de cfaacune

d'elles est une fraction constante-, par exemple, de la longueur de

la spire précédente, et à l'intérieur d une spire quelconque il y a un nombre infini de spires dont les longueurs diminuent de plus en plus à mesure qu^on se rapproche du pôle 0.

Considérons maintenant un mobile Q qui se déplace d^une façon uniforme sur la spirale en marchant vers le pôle. S'il parcourt la

première spire en a secondes, il mettra - secondes pour parcourir la deu^^ièn^e spire, -j secondes pour parcourir la troisième spire, et ainsi de suite. II atteindra donc le pôle au bout de

c'est'à^ire en — • secondes. La vitesse est uniforme et Ton voit

ainsi que dans un temps fini, le mobile Q aura parcouru un non^bre infini de spires, c'est-à-dire aura tourné un nombre infini de fois autour du pôle (*).

(') La proposition est présentée sous cette forme dans l'ouvragG de J. RiaHunDy Phiiosaphie det Mathémaiiqaet, Paris, igo'j, p». 1 19-120.

Du mouvement relatif. — Bien que les discussions philoso* phiques soulevées par Zenon soient tranchées ou abandonnées, la notion élémentaire du mouvement relaiif a souvent suggéré des objections et Zenon lui-même n'a pu donner lexplioation d'un simple phénomène reposant sur cette notion.

Comme l'un des exemples les plus faciles du genre, nous pouvons citer cette question : combien de trains allant de B vers A un voya* geur, se rendant de A en B, rencontrera-t-il et croisera-t«il en adipet* tant que le voyage dure, de toutes les manières, quatre heures et demie et que les trains partent toutes les heures de chaque extrémité î — La réponse est évidemment 9.

Ou encore : disposons en contact sur une table deux pièces de 10 centimes, les faces apparentes ; supposons Tune de ces pièces (ï^e et faisons tourner l'autre autour mais sans qu'il y ait glissement, et de façon qu'elle revienne dans sa position initiale après une révolution complète. On demande combien la pièce mobile a fait de révo^ luttons autour de son propre centre. La réponse est a.

Lois du mouvement. — C'est maintenant le moment de faire quelques remarques sur certains points de la mécanique dépendant, ou conséquences, des lois du mouvement.

On a souvent dit que la première loi de Newton définissait ce qu'on devait entendre par l'expression « force » mais ceci ne doit être entendu que dans le sens qualificatif.

Cette phrase de Clifibrd précise peut-être mieux le sens de la loi (i une force, dit-il, est la description d*un certain genre de mouvement ]0. En d'autres termes, ce n'est pas une entité mais bien sim« plement, une façon convenable de constater, sans circonlocution, que Ton observe une certaine nature de mouvement.

On montre facilement que toute autre interprétation conduit à de véritables difficultés. Ainsi certains auteurs, partant de cette loi, en déduisent cette définition, a On donne le nom de force à toute cause produisant ou tendant à produire le mouvement d'un cocpa ».

QUBSTIOMS 1>E BiéCAlflQUfi 77

Or» plus loin ces mêmes auteurs parlent de la machine à vapeur mettant un train en mouvement ; il semblerait donc, d'après eux, que la locomotive est une force.

L'idée de force est difficile à saisir. Combien de personnes, par exemple, pourraient prévoir d*une façon certaine ce qui se produira dans la petite question suivante, cependant des plus simples P Une corde dont le poids est négligeable, passe sur la gorge d'une poulie ; à l'une de ses extrémités on fixe un poids de 70 kilogrammes et à l'autre on attache un homme (un marin) d'un poids égal. Le poids et Thomme suspendus dans les airs sont dans une position d'équilibre. Le marin grimpant le long de la corde, le poids sera-t~ii mis en mouvement? Si oui, dans quel sens se déplacera-t-il ?

Il importe de bien remarquer, que d'après la première loi du mouvement, tout corps en mouvement, à moins d'être soumis à l'action d'une force extérieure, continue à se déplacer : i** avec une vitesse uniforme, et 2^ en ligne droite. La tendance que possède tout corps de rester à l'état de repos ou de continuer à se déplacer d'un mouvement uniforme a été appelée son inertie. Cette tendance donne l'explication d'une foule de phénomènes ou d'expériences dont le lecteur nous saura gré de citer quelques-unes.

Formons avec un certain nombre de dominos, ou de pions d'un jeu de dames, une pile verticale et donnons avec l'arête d'une règle plate ou avec une lame de couteau, un coup sec sur Tun d'eux à la base de la colonne ; le domino ou le pion ainsi frappé est projeté hors de la pile en laissant un vide que la partie supérieure vient immédiatement combler en descendant d'un seul bloc et sans que les pions se séparent.

Le mouvement provoqué par le choc tend bien à se communiquer de proche en proche de façon à modifier la position relative des dominos ou des pions, mais l'effet ne se produit pas instantanément et exige plus de temps qu'il n'en faut à la partie supérieure de la colonne pour descendre.

Un grand nombre de tours dont on tiouve la description dans les

78 RÉGRB4TI01IS MATfiÉMATlQllES

collections de jenx mathématiques (^) repose sur le môme principe. C'est encore à Taide du même principe qu'on explique qu'un corps lancé et animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe pria-cipal passant par son centre de gravité continue à se mouvoir avec une vitesse angulaire uniforme en même temps que Taxe de rotation se maintient dans une direction fixe. La mesure du temps est basée sur le premier de ces faits et la théorie du déplacement d'un projec tile dans un milieu résistant s appuie sur le second «

On comprend ainsi pourquoi les canons des fusils, et en général des armes à feu sont rayés et pourqucn, lorsqu'on se propose de lancer dans une direction donnée un objet plat, léger (tel qu'une carte) ou de forme irrégulière, il est nécessaire de lui imprimer en même temps un mouvement de rotation.

Nous trouvons de nombreuses et curieuses applications de ce dernier fait dans plusieurs tours ou exercices exécutés par les acrobates, mais leur explication complète s'appuie sur des considérations étrangères à notre sufet. Nous citerons cependant une expérience intéressante, reproduite dans tous les cirques, et due, croyona^nous, à des jongleurs japonais. On place sur la surface supérieure d'un parasol un disque métallique (une pièce de ô francs par exemple) de façon qu'il se tienne verticalement en reposant par son bord. £n imprimant alors au manche du parasol un rapide mouvement de rotation, le disque est forcé de rouler sur lui-même, mais comme le parasol so déplace en glissant sous lui, il demeure en apparence immobile, tandis qu'en diminuant ou en augmentant la vitesse an-^ gulaire du parasol , le disque avance ou recule sur la surface supérieure. Ce tour s'exécute sans difficulté (^).

(*) Voir le» Récréations scientifiques de G. Tissandhh où Ton trouvera plusieurs applications ingénieuses du Principe de l'Inertie.

(^) Citons encore les applications suivantes : le grand danger qu'il y a de sauter d'une voiture dont le cheval est emporte ; le mouvement que doit faire le cavalier lancé au galop lorsque son cheval s'arrête subitement ; Je même une personne qui descend d'une voilure en marche, doit imprimer à son corps un mouvement en sens contraire à Finstant où elle toucha le

QtiSfltIOlli D« lfiGAlnQt« 79

La tendance que possède tout corps en mouvement de continuer à se déplacer en ligne droite est quelquefois appelée /or^Jtf centrifuge. Par exemple, lorsqu'un train passe sur une partie de voie courbe, il tend à se mouvoir suivant une ligne droite et il est retenu dans la direction imposée par la résistance que lui opposent les rails de la ouurbe extérieure qui sont pressés d'autant plus fortement que la vitesse du train est plus grande. Cette pression peut ôtre diminuée joiqti'à un certain point en surélevant le rail extérieur (*) et en posant à l'intérieur de la voie un contre-rail parallèle et près de la oourbe intérieure (*), contre-rail contre lequel les boudins des roues et wagons viendront s'appuyer du côté du petit rayon <

Nous rapporterons à ce sujet un épisode peu connu de la guerre âe sécession entre les deux Amériques (^). Dans ]e courant du printemps de l'année 1862 un parti de volontaires de Tarmée du Nord coupa la route à Tarrière-garde des armées du Sud et s'empara d'un train avec Tintention de détruire (au moment de leur passage) la voie qui constituait la principale ligne de communication entre les différents corps confédérés et leur base d'opérations. Mais il fut découvert et poursuivi. Pour se sauver les volontaires s'arrrètèrent sur une courbe prononcée et enlevèrent quelques rails dans le but de faire dérailler le train lancé à leur poursuite. Malheureusement pour eux, dans leur ignorance des principes de dynamique, ils enlevèrent les rails du côté du petit rayon de la voie et l'opération ne gêna en rieii la poursuite de leurs adversaires (^)4

sol ; ce principe explique l'claii que l'on prend pour franchir un obstacle ; c'est rinertie qui rend si terribles les accidenls de chemin do fer. Les ouvriers utilisent le même principe pour emmancher leurs marteaux, etc., etc.

(*) C'est le problème du devers,

C) Ceci ne se fait pas en France, sauf pour de très faibles rayons.

(3) W. PiTTENGER. — Caplurlùg a Locomotive, Londres, 1882, p. io4.

(^) Un pareil fait ne peut s'expliquer qu'en supposant la voie posée sur longrines, et encore !

On peut citer d'autres applications de la force centrifuge : par exemple Texpérience de la coupe remplie d'eau et que l'on fait tourner après l'avoir sikaohée à uoe oords ; le jeu de la fronde ; rexplicalion de la positioa prise

8o R£CRéATIO!fS MATHEBIATIQUBS

La seconde loi nous donne le moyen de mesurer les masses, les forces et, par suite « le travail »,

Un agent mécanique donné ne peut produire dans un temps déterminé qu'une quantité finie de travail. S'il est théoriquement exact qu'avec un levier rigide et un point d'appui, une force, si petite qu'elle soit, puisse déplacer une masse quelconque, si grande qu'elle soit, il n'en est pas moins vrai que ce qui est gagné en puissance est perdu en chemin parcouru. C'est une vérité rendue uni ver-* selle par l'expérience de tous les jours.

Montucla (^) a donné un exemple frappant de ce principe basé sur 'anecdote bien connue d'Archimède déclarant à Hiéron qu'il lui serait possible de soulever le monde si on lui donnait un point d'appui.

Montucla a calculé le poids du globe terrestre et partant de ce fait que le travail journalier d'un homme était de i5 kilogrammes par seconde (ce qui est une estimation très élevée) il est arrivé à ce résultat qu'il faudrait environ 3 milliards de siècles, c'est-à-dire 3 X lo*^ années pour soulever de près de o'"o3 une masse égale à celle du globe; pour déplacer de 3 centimètres une pareille masse sur un plan horizontal, il faudrait 74*000 siècles (*)•

par les écuyers dans un cirque ; la description du chemin de fer aérien de Glavière ; l'explication de la rupture de meules, de volants ; Tapplication aux essoreuses destinées à sécher mécaniquement le linge mouillé dans les lavoirs, etc., etc.

(*) OzARAM. — Edition de i8o3. Vol. II, p. 18; édition de i84o, p. 202.

(^) La question peut être envisagée à un autre point de vue également intéressant.

La terre est un ellipsoïde de révolution dont le grand axe =3 12764796 mètres

et le petit axe = 12712160 mètres.

Son volume= I ^ x il2M29§ x 1221^

sss 107922464342^130163855 mètres cabes.

Or, la densité moyenne de la terre =: ô,5o, ce qui donne pour son poids

QUESTIONS DE MÉCANIQUE 8t

Ecpiilibre. — Tous ceux qui ont la moindre notion de mécanique savent que lorsqu'un corps est en équilibre sous Tinfluence de son seul poids, la verticale du centre de gravité tombe à l'intérieur de la base de sustentation ou passe par Taxe de suspension, suivant que le corps repose sur un plan horizontal ou est soutenu par un axe horizontal.

On peut énoncer d'une manière générale les conditions pour qu'un système pesant soit en équilibre stable ou en équilibre instable. Dans le cas de l'équilibre stable la hauteur du centre de gravité est un minimum par rapport aux positions voisines que prend le système quand on le dérange un peu de l'équilibre» elle est un maximum dans le cas de l'équilibre instable. Cela tient à ce que le centre de gravite tend toujours à descendre. En d'autres termes, si, pour pro. duire le déplacement d'un corps, on est obligé de développer un certain travail afin de contrebalancer l'action de la pesanteur, ce corps est dans un état d'équilibre stable, tandis que le corps est à l'état d'équilibre instable lorsque la pesanteur agit dans le même sens que la force tendant à le déplacer.

Enfin, si pour tout déplacement du corps reposant sur un plan

un nombre de kilogrammes représenté par 5 935 786 566 338 215901 202 5oo; nous prendrons pour simplifier nos calculs 5935 X lo*^

Supposons maintenant que le point d'appui du levier soit seulement à I mètre de la terre et donnons à Archimède la force moyenne d'un homme, soit une force de 75 kilogrammes, en représentant par x la longueur du bras de levier à Textrémité duquel il doit agir, on aura

X = ' X5935X 10»^ = 79 133 333 333 333 333 333 333 mètres.

Or, si l'on observe que la distance du soleil à la terre est de 1 53 491 ai5o64 mètres, on voit que x vaut plus de 5i5 milliards de fois cette distance.

Si Archimède avait voulu déplacer la terre de i millimètre seulement, il aurait eu à déplacer l'extrémité de son bras de levier de 79 133 333 333 333 333 333 mètres, c'est-à-dire de plus de 19 788 333 milliards de lieues.

Récréations matLématiques^ II. 6

^2 RéCRiATIOfVfl MATHÉMATIQtJËS

horizontal la distance de son centre de gravité au-dessus de ce plan reste invariable, le corps est dit en équilibre indifférent.

Un grand nombre de jouets mécaniques des plus simples nous offrent des applications de ce principe.

Bouteille magique (*). — Un de ces jouets très répandu consiste en une petite bouteille qui se tient toujours debout et qui ne S6 renverse que lorsqu'elle en reçoit Tordre,

La bouteille en verre très mince ou en carton verni» est collée sur la section plane d'une demi-sphère solide (ou d'un petit segment de sphère). La distance au centre de la sphère du centre dô gravité d'un hémisphère homogène est égale au 3/8 du rayon, et la masse de l'appareil est si faible comparativement à celle de l'hémisphère formant la base que le centre de gravité de tout le système peut être considéré comme coïncidant sensiblement avec celui de la demi- sphère.

Soient alors c le centre de l'hémisphère et G le centre de gravité de l'ensemble, si la bouteille est posée sur un plan horieontal, la droite Gc étant verticale, tout déplacement de l'appareil tend à élever G, et, par suite, l'équilibre est stable.

On peut aussi le montrer comme il suit : la bouteille légèrement inclinée est soumise à l'action de deux forces formant couple : la première qui est la réaction du plan d'appui est verticale, agit de bas en haut et passe par c ; la seconde également verticale appliquée en G est égale au poids du système et agit de haut en bas. Si G est situé au dessous de c, ce couple tend évidemment à ramener la bouteille dans sa position primitive.

Si maintenant on introduit dans la bouteille un grain de plomb ou seulement un clou assez lourd pour amener le centre de gravité de l'ensemble au-dessus de c, l'équilibre devient instable et si peu qu'on incline l'appareil, il achève de basculer et se couche sur la table.

(*) OzANi^M. — Édition de i8o3, vol. Il, p. i5 ; édition de i84o, p. 20i.

QUBSTIONS DE MÉCANIQUE 83

Moniucla raconte que de son temps on vendait un jouet d'enfant consistant en une boite remplie de soldats d'étain fixés sur des hémisphères en plomb ; aussitôt qu on enlevait le couvercle de la boite, on voyait les petits soldats se dresser verticalement et menaçants.

La manière de faire tenir un crayon par la pointe sur le bout du doigt et en équilibre dans une position verticale est une application du même principe, Texpérience est décrite dans presque tous les livres de récréations (^). Yoici comment on peut Texéculer : on ptond un canif dont on ouvre une lame de façon à former un angle assez grand (lao^ par exemple) et on pique la pointe de cette lame dans l'extrémité supérieure du crayon en disposant le manche en saillie en avant du doigt. Le centre de gravité de lensemble est alors audessous du point d'appui, et un petit déplacement du crayon ayant pour effet de Télever, l'équilibre est stable.

Comme autre réaction du même genre, nous citerons (^), l'expérience du seau que l'on peut faire tenir en équilibre à l'extrémité d'un bâton reposant, par une certaine longueur, à l'autre extrémité, sur le bord d'une table. On se sert à cet effet d'un second bâton disposé transversalement, s'appuyant par un bout sur le fond intérieur du seau et par l'autre sur l'extrémité en saillie du bâton horizontal, de façon à déplacer le centre de gravité et à l'amener verticalement au-dessous de la partie qui repose sur la table. Qui ne connaît la jolie petite expérience de la pièce de 5 francs se tenant horizontalement en équilibre sur le bord d^un verre au moyen de deux fourchettes disposées de façon à former avec la pièce un système dont le centre de gravité est verticalement au-dessous du point d'appui.

Un autre jouet représente un cavalier qui ^*se^ tient en équilibre sur le bord d'une 4able dans une position telle qu'il semblerait qu'à

(*) OuGHTRED, — Mathematlcal Récréations^ p. a4. Ozaiîam. — Édition de i8o3, vol. II, p. i4;'édilion de^iS/jo, p. 2oo.

(') OuGHTRED. — p. 3o. OzAWAM. — Édition de i8o3, vol. II, p. i2 ; édition de i84o, p. 199.

84 RéCRÉATIOIfS MATHEMATIQUES

chaque instant il va tomber. Un arc en fil de fer, fixé par Tune de. ses extrémités aux pieds du cavalier, se termine à l'autre par une boule d'un certain poids. Lorsqu'on place le cheval de façon que ses pieds de derrière s'appuient sur le bord de la table, ses jambes de devant étant en Pair dans le vide, la petite masse pesante se trouve exactement au-dessous de la partie du bord de la table qui porte le coursier. Le tout constitue un ensemble dont le centre do gravité se trouve constamment au-dessous de la ligne d'appui et sur la verticale passant par cette ligne.

On vendait à Paris, en 1890, une élégante modification de ce jeu sous la forme d'un petit bonhomme en étain (*). Les cuisses étaient articulées au corps de façon à permettre le mouvement des jambes mais avec un arrêt en fil de fer pour limiter le déplacement : quant aux mains, elles étaient fixées à la partie supérieure d'un f} renversé en fil de fer assez lourd. Cette figure posée sur une planchette horizontale assez étroite pour passer entre les branches du balancier sera, comme tous les équilibristes du même genre, dans une position d'équilibre stable puisqu'un léger déplacement latéral aura pour effet d'élever le centre de gravité du système. Pour faire marcher l'équilibriste on le place à la partie supérieure de la planchette légèrement inclinée en lui imprimant une secousse imperceptible dans le sens latéral ; cette secousse amplifiée par l'oscillation du balancier, fait pencher la figure alternativement à droite et à gauche. Supposons qu'elle penche à droite à un moment donné. Tout le poids du corps, c'est-à-dire du buste et du balancier, portera sur la jambe droite, et, le pied gauche n'appuyant plus sur la planchette, la jambe gauche sera projetée en avant par l'effet de la pesanteur: elle tendra à prendre la position verticale. A ce moment, l'oscillation contraire se produit, fait pencher le corps à gauche, appuyer le pied gauche sur la planchette, et le pied droit étant libre à son tour, c'est la jambe droite qui fait un pas en avant. En résumé, l'équilibriste descend le plan incliné d^un pas chancelant suivant les

(^) La Nature f Paris, janvier 1891.

oscillations latérales, ce qui produit un effet des plus curieux. La durée du mouvement est limitée par la longueur de la planchette. Peu après la publication de la troisième édition de cet ouvrage, ce jouet fut fabriqué en Angleterre sous une autre forme : a Téquilibriste on substitua un éléphant fait d'un métal assez lourd et il est bien probable que ce nouveau modèle est bien connu aujourd'hui de tous ceux qui s'intéressent aux jouets marcheurs.

Li^œui de Colomb. — Le jouet connu sous le nom de l'œuf de Colomb est basé sur le même principe que celui de la bouteille magique, bien que l'effet produit soit Tinverse. L'enveloppe de l'œuf qui ne peut s'ouvrir est constituée par une feuille d'ctain, à l'intérieur et à la partie inférieure est fixé un petit cône tronqué, creux, également en étain, enfin une bille ou une boule en bois d'un certain poids peut se déplacer à l'intérieur de Pœuf. Quand on prend Fœuf d'une certaine manière, la bille s'introduit dans le tronc de cône, et on peut alors le placer en équilibre sur sa pointe, mais tant que la bille se déplace en dehors du cône, l'œuf roule sur la table.

Expérience du double cône remontant le plan incliné (^). — Cette expérience repose encore sur la tendance qu'éprouve tout système pesant à se placer de telle sorte que le centre de gravité soit le plus bas possible.

Voici comment on la présente le plus généralement. Avec deux tringles en bois on forme un V dont on place la pointe sur une table et les deux extrémités libres sur le dos d'un livre placé debout et de hauteur convenable. On réunit par les bases deux cônes égaux et on pose le double cône ainsi construit sur les tringles et dans le voisinage de la pointe du V, de façon à ce qu'il s'appuie par sa surface courbe. Taxe commun étant horizontal et parallèle au dos du livre. Si alors la hauteur du livre a été choisie convenablement par

(*) Ozi.NAM. — Édition de i8o3, vol. II, p. 49; édition de 1840, p. 216.

rapport au diamètre de base des cônes, on voit le corps remonter entre les branches du V.

Le centre de gravité du système se déplace dans le plan vertical bissecteur de Tangle au sommet du Y et la hauteur du livre est choisie de telle sorte que plus les points de contact de la surface du double cône avec les branches s'écartent Tun de l'autre, plus le centre de gravité est bas, il en résulte nécessairement que le doubla cône fait l'ascension du plan incliné puisque le centre de gravité tend toujours à descendre.

Mouvement perpétuel. — L'idée de construire une machine qui, une fois mise en mouvement par une première impulsion, non seulement pourrait se mouvoir d'elle-même sans le secours d'aucune force extérieure, mais encore serait capable de produire un effet util n'est jamais sortie que du cerveau d'un mécanicien peu expérimenté et sans connaissances sérieuses, de même que la recherche de la quadrature du cercle a toujours dénoté peu de savoir chez un mathématicien.

Il faut observer que la signification évidente de la 3"*' loi du mouvement est, que toute force n'est seulement qu'un aspect d'un ensemble d'efforts, et que chaque fois qu'une force entre en jeu, une autre égale et opposée prend naissance, pouvant ^bien entendu agir sur un corps différent et être ainsi sans importance pour le problème particulier considéré.

La loi est cependant susceptible d'une autre interprétation (*), à savoir, que l'intensité suivant laquelle un agent travaille (c'est-àdire son action), est égale à l'intensité de la résistance offerte au travail (c'est-à-dire la réaction). Si on est autorisé à comprendre dans la réaction l'intensité suivant laquelle s'exerce l'énergie cinétique et si le travail comporte celui qui agit contre les forces moléculaires, alors il découle de cette interprétation que le travail exécuté par un agent sur un système est équivalent à l'accroissement total d'é-

(*) Principia de Newton, dernier paragraphe du scholie aux lois du mouvement.

ncrgie, c'est-à-dire à la puissance de faire le travail. Il résulte de là que dans un système isolé le montant total d'énergie est constant. Si ceci est admis, alors puisqu'on ne peut pas éliminer complète* ment le frottement, ni éviterquelques pertes moléculaires d'énergie» il est impossible de construire dans un système isolé une machine capable du mouvement perpétuel.

Noua n'avons pas l'intention de décrire toutes les machines ima* ginées pour produire le mouvement perpétuel, qu'il nous suffise da faire remarquer que la plupart d'entr'elles diffèrent peu de celle dont nous donnons une idée ci-après.

Cette machine consiste essentiellement en deux roues concentriques montées verticalement sur le même axe horizontal passant parle centre c. L'espace annulaire entre les circonférences des roues est divisé en un certain nombre de compartiments par des cloisons

inclinées dans le même sens, et formant un angle constant avec

les divers rayons aboutissant aux points d'où elles partent sur la

circonférence intérieure.

Chacun de ces compartiments contient une petite boule pesante et le

système, considéré sans les boules,

est à l'état d'équilibre indifférent.

Les boules tendent à faire tourner

les roues autour de l'axe commun, et

cette tendance est mesurée par la

somme algébrique des moments des

diverses forces composantes, c'est-

à-*dire par le produit du poids

constant d'une boule par la somme

algébrique des distances de chacune

d'elles à la verticale passant par le centre c. L'idée qui guidait les constructeurs de cette machine était que,

puisque dans chaque compartiment la boule roule, en vertu de son

poids, vers le point le plus bas, les boules situées du côté droit de la

figure seraient à un certain moment, plus éloignées de la verticale

Fîg. 39.

passant par le centre que celles du côté gauche. Par suite la somme des moments de» premières serait à ce moment plus grande que celle des dernières et le système des deux roues tournerait constamment dans le sens des aiguilles d'une montre. L'erreur de raisonnement est trop manifeste pour que nous nous y arrêtions.

Un autre groupe de machines reposait sur l'emploi d'un aimant qui soulevait une masse pesante à une certaine hauteur pour Tabandonner ensuite à l'action de son poids. On pensait ainsi qu'en fixant un aimant dans le voisinage du point le plus haut que peut atteindre un pendule dans ses oscillations, une lentille en fer adaptée à l'extrémité de la tîge serait attirée jusqu'à ce point puis retomberait pour remonter et produire un mouvement perpétuel.

Ce n'est bien entendu que dans les systèmes isolés que la somme totale d'énergie est constante, et s'il est possible de trouver une source extérieure d'énergie au moyen de laquelle on introduit continuellement dans le système une certaine quantité d'énergie le mouvement perpétuel est, dans un sens, possible, abstraction faite, bien entendu, de l'usure inévitable des matériaux entrant dans la composition de la machine. La chaleur solaire et les cours d'eau sont des sources inépuisables d'énergie toutes trouvées.

Il existait à Paris, dans la dernière moitié du siècle passé, une horloge présentant une ingénieuse application d'un tel mouvement perpétuel (*).

Le mouvement du pendule était produit par la dilatation d'une tringle d'argent, dilatation provenant de l'élévation journalière de la température ambiante. Au moyen d'un système de leviers dépendant les uns des autres, rhorloge se trouvait montée. Un appareil spécial de désembrayage prévenait les eflets produits par un abaissement de température et une disposition du même, genre servait de cran d'arrêt. Nous pensons qu'une élévation de température de 4 à 5* (centigrades) était suffisante pour monter l'horloge pour vingtquatre heures.

(») OzANAif. — Édition de i8o3, vol. II, p. io5 ; édition de i84o, p. 23S.

QUESTIONS DE BfÉGANIQUB 89

Nous possédons une montre dans laquelle le même effet est porduit d'une façon un peu différente. Dans le boîtier se trouve un petit poids d'acier et quand on met la montre dans la poche, ce poids s'élève et tombe à chaque pas que Ton fait, produisant ainsi à peu près l'effet d'un compteur. L'ascension du poids est produite par le mouvement de la personne en marche et en descendant il fait enrouler le ressort de la montre. Un petit cadran porte le nombre des heures pendant lesquelles la montre peut marcher. Aussitôt que 'aiguille du cadran marque cinquante-six heures, le système de levier qui fait marcher la montre désembraye automatiquement pour éviter de forcer le ressort et recommence à fonctionner quand la montre a marché pendant huit heures.

Cet appareil constitue un excellent chronomètre et une marche de 3 kilomètres environ suffit pour le monter pour vingt-quatre heures.

Modèle. — Nous ferons ici une observation, qui n'est certainement pas nouvelle pour les mathématiciens, mais qui est cependant une cause perpétuelle de désappointement pour beaucoup d'inventeurs peu instruits. Elle est relative à un fait se produisant souvent : un modèle de machine exécuté soigneusement peut fonctionner fort convenablement et la machine elle-même, construite d'après ce modèle, ne pas fonctionner.

En voici une des raisons : si toutes les dimensions linéaires du modèle sont agrandies dans la même proportion, c'est-à-dire, sont rendues, par exemple, m fois plus grandes, les surfaces et les volumes de chacune de ces parties seront respectivement amplifiés dans le rapport m^ à i et de m^ à i . En particulier, si on double le côté d'un cube, chaque surface devient quatre fois plus grande et le cube est rendu huit fois plus grand.

Or, par le fait de l'accroissement dans le rapport de m à i de tous les éléments linéaires du modèle, plusieurs forces agissant sur la machine (telles, par exemple, que le poids de certains organes) deviennent m' fois plus grandes, tandis que d'autres qui dépendent

QO nÉCR^ilTiONS MATRBMATIQUES

de rétendae superficielle des organes considérés ( comme, par exemple, la puissance d'un balancier) deviennent m^ fois plus grandes. Par suite, les forces qui agissent et qui entrent enjeu différemment, suivant les parties de la machine, sont altérées dans des proportions variables ; la machine est incapable de produire des résultats senri blables à ceux qu'on en espérait d'après ceux obtenus avec le mo^ dèle.

Le même raisonnement s^applique au cas des animaux pour eicpliquer la faiblesse que l'on observe chez des produits de chaque espèce ou de chaque race présentant un développement physique exagéré.

Par exemple, si les dimensions linéaires d'un oiseau étaient rendues n fois plus grandes, le travail mécanique à développer, pour lui permettre de prendre «on vol, devrait être rendu au moins n^ fois plus grand (*). De même, si tous les éléments linéaires qui entrent dans la composition du corps d'un homme de 5 pieds lo pouces étaient augmentés seulement de ^, sa hauteur deviendrait égale à 6 pieds 8 pouces, mais son poids serait augmenté dans le rapport de 5i2 à 3/|3 (c'est-à-dire deviendrait presque le double de ce qu'il était). Les sections transversales des jambes qui ont à supporter ce poids seraient accrues seulement dans le rapport de 64 à ig, de sorte qu'à un certain point de vue, cet homme transformé serait moins vigoureux que primitivement. Mais, bien entendu, l'accroissement de certaines dimensions : longueur des membres ou volume des muscles, peut présenter des avantages plus grands que la perte relative de force.

En résumé, le problème, comme on le voit, est loin d'être simple, mais ces quelques explications suffisent pour justifier ce que nous avancions plus haut : que le travail d'une machine construite d'après un modèle n'est pas toujours identique à celui du modèle.

Abandonnons maintenant ces considérations élémentaires pour examiner quelques autres questions mécaniques.

(') Hblmholtz. — GesanmeUe Abhandlungen, Leipzig;, i88i, vol. I, p. i65.

QUISSTIONS Dfi MiQ4HlQU£ QI

Naviguer pluB vite que le vent. — Gomme exemple de paradoxe cinématique nous allons montrer qu*il est possible de navi' gaer plus vite que le vent souffle, phénomène qui excitera certainement la curiosité de bien des personnes.

L'explication (*) repose évidemment sur le rapport qui doit exister entre la vitesse du vent et celle du navire ; elle sera rendue plus simple et plus claire en considérant : i*" Peffet de la pression du vent sur la voile (qui pousse le navire en avant) et 2^ l'effet de la résistance que l'air oppose au passage de la voile.

Quand le vent vient frapper une voile plane, la pression résultante peut se décomposer en deux forces, l'une perpendiculaire au plan de la voile (qui, généralement, n'est pas fonction unique do la vitesse composante dans cette direction, bien que Tune ne puisse s'annuler sans l'autre) et l'autre parallèle au plan de la voile. Celte dernière n'influe en rien sur la marche du navire que la composante perpendiculaire à la voile tend au contraire à entraîner dans sa direction.

La pression normale à la voile peut à son tour se décomposer en deux forces, Tune agissant suivant la direction de la quille du navire et l'autre dans la direction des baux, c'est-à-dire perpendiculaire h la quille. La première pousse le navire en avant et la seconde l'entraîne sous le vent.

Les constructeurs de navires s'efforcent de leur donner des lignes telles que la résistance de l'eau au mouvement en avant soit la plus petite possible, et la résistance dans une direction perpendiculaire la plus grande possible; nous supposerons pour le moment que la première peut être négligée et que la seconde est suffisamment grande pour s'opposer à tout déplacement du navire dans cette direction.

Considérons maintenant le navire en mouvement , la pression de l'air sur la face avant de la voile tend à retarder la marche. Tant

(») OzA^WÂM. — Édition de i8o3, vol. Ill, pp. SSg, 867 ; édition de 1840 pp. 540, 543.

8o KÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

La seconde loi nous donne le moyen de mesurer les masses, les forces et, par suite « le travail » ,

Montucla a calculé le poids du globe terrestre et partant de ce fait que le travail journalier d'un homme était de i5 kilogrammes par seconde (ce qui est une estimation très élevée) il est arrivé à ce résultat qu'il faudrait environ 3 milliards de siècles, c'est-à-dire 3 X 10** années pour soulever de près de o^oS une masse égale à celle du globe; pour déplacer de 3 centimètres une pareille masse sur un plan horizontal, il faudrait 74*000 siècles (^).

par les écuyers dans un cirque ; la description du chemin de fer aérien de Glavière ; l'explication de la rupture de meules, de volants ; lapplication aux essoreuses destinées à sécher mécaniquement le linge mouillé dans les lavoirs, etc., etc.

(*) 0zA5AH. — Edition de i8o3. Vol. II, p. 18 ; édition do i84o, p. 202.

(*) La question peut être envisagée à un autre point de vue également intéressant.

La terre est un ellipsoïde de révolution dont le grand axe =2 12754796 mètres

et le petit axe = 12712160 mètres.

Son volume= I ic x ""^^6 ^ "7'^^^^' = 107922464^4251301 63 855 mètres cubes.

Or, la densité moyenne de la terre = 5,5o, ce qui donne pour son poids

QUESTIONS DE MÉGAIIIQUE 8l

ESciuilibre. «— Tous ceux qui ont la moindre notion de mécanique savent que lorsqu'un corps est en équilibre sous Tinfluence de son seul poids, la verticale du centre de gravité tombe à l'intérieur de la base de sustentation ou passe par Taxe de suspension, suivant que le corps repose sur un plan horizontal ou est soutenu par un axe horiacontal.

On peut énoncer d'une manière généralelesconditionspourqu'un système pesant soit en équilibre stable ou en équilibre instable. Dans le cas de l'équilibre stable la hauteur du centre de gravité est un minimam par rapport aux positions voisines que prend le système quand on le dérange un peu de l'équilibre, elle est un maximum dans le cas de l'équilibre instable. Cela tient à ce que le centre de gravité tend toujours à descendre. En d'autres termes, si, pour pro. duire le déplacement d'un corps, on est obligé de développer un certain travail afin de contrebalancer l'action de la pesanteur, ce corps est dans un état d'équilibre stable, tandis que le corps est à l'état d'équilibre instable lorsque la pesanteur agit dans le même sens que la force tendant à le déplacer.

Enfin, si pour tout déplacement du corps reposant sur un plan

un nombre de kilogrammes représenté par 5 935 786 566 338 2 1 5 90 1 202 5oo ; nous prendrons pour simplifier nos calculs 6935 X lo*^

Supposons maintenant que le point d'appui du levier soit seulement à I mètre de la terre et donnons à Archimède la force moyenne d'un homme, soit une force de 76 kilogrammes, en représentant par x la longueur du bras de levier à l'extrémité duquel il doit agir, on aura

X = ' X5935X 'o" ^^Q 133333333333333333333 mètres.

Or, si Ton observe que la distance du soleil à la terre est de 1 53 491 21 5 064 mètres, on voit que x vaut plus de 5i5 milliards de fois cette distance.

Si Archimède avait voulu déplacer la terre de i millimètre seulement, il aurait en à déplacer l'extrémité de son bras de levier de 79133333333333333333 mètres, c'est-à-dire de plus de 19783333 milliards de lieoes.

Récré a tions nutkénutiqaef , II. 6

§3 nàCKtA.riO»ê MATHéMATIQtJES

horizontal la distance de son centre de gravité au-dessus de ce plan reste invariable, le corps est dit en équilibre indifférent.

Un grand nombre de jouets mécaniques des plus simples nous offrent des applications de ce principe.

Bouteille magique (*). — Un de ces jouets très répandu consiste en une petite bouteille qui se tient toujours debout et qui ne 86 renverse que lorsqu'elle en reçoit l'ordre.

La bouteille en verre très mince ou en carton vernis est collée sur la section plane d'une demi-sphère solide (ou d'un petit segment de sphère). La distance au centre de la sphère du centre de gravité d'un hémisphère homogène est égale au 3/8 du rayon, et la masse de l'appareil est si faible comparativement à celle de l'hémisphère formant la base que le centre de gravité de tout le système peut être considéré comme coïncidant sensiblement avec celui de la demi-sphère.

Soient alors c le centre de l'hémisphère et G le centre de gravité de renserable, si la bouteille est posée sur un plan horizon tai, la droite Gc étant verticale, tout déplacement de l'appareil tend à élever G, et, par suite, l'équilibre est stable.

Si maintenant on introduit dans la bouteille un grain de plomb ou seulement un clou assez lourd pour amener le centre de gravité de Tensemble au-dessus de c, l'équilibre devient instable et si peu qu'on incline l'appareil, il achève de basculer et se couche sur la table.

0) OzA.yjM, — Édition de i8o3, vol. Il, p. i5 ; édition de i84o, p. 20i.

QUBSTlOlffl DE MÉCANIQUE 83

Monlucla raconte que de ion temps on vendait un jouet d'enfant consistant en une boite remplie de soldats d'étain fixés sur des hémisphères en plomb ; aussitôt qu'on enlevait le couvercle de la boîte, on voyait les petits soldats se dresser verticalement et menaçants.

La manière de faire tenir un crayon par la pointe sur le bout du doigt et en équilibre dans une position verticale est une application du même principe» Fexpérience est décrite dans presque tous les livres de récréations (^). Voici comment on peut l'exécuter : on prend un canif dont on ouvre une lame de façon à former un angle assez grand (120° par exemple) et on pique la pointe de cette lame dans Textrémité supérieure du crayon en disposant le manche en saillie en avant du doigt. Le centre de gravité de l'ensemble est alors audessous du point d'appui, et un petit déplacement du crayon ayant pour edet de l'élever, l'équilibre est stable.

Comme autre réaction du même genre, nous citerons ('), Texpérience du seau que l'on peut faire tenir en équilibre à l'extrémité d'un bâton reposant, par une certaine longueur, à l'autre extrémité, sur le bord d'une table. On se sert à cet effet d'un second bâton disposé transversalement, s'appuyant par un bout sur le fond intérieur du seau et par l'autre sur l'extrémité en saillie du bâton horizontal, de façon à déplacer le centre de gravité et à l'amener verticalement au-dessous de la partie qui repose sur la table. Qui ne connaît la jolie petite expérience de la pièce de 5 francs se tenant horizontalement en équilibre sur le bord d'un verre au moyen de deux fourchettes disposées de façon à former avec la pièce un système dont le centre de gravité est verticalement au-dessous du point d'appui.

Un autre jouet représente un cavalier qui ^'se^ tient en équilibre sur le bord d'une table dans une position telle qu'il semblerait qu'à

(') OuGHTRED, — Mathematical Récréations^ p. 24. Ozanaju. — Édition de i8o3, vol. II, p. i4;'édition de i84o, p. 200.

(*) OuGHTRED. — p. 3o. OzANAM. — Édition de f8o3, vol. Il, p. 12; édition de i84o, p. 199.

g6 RÉOBÉATIONS IfATHEMATiQUES

celui du bateau, mais ce n'est pas le cas pour un mouvement d'ina— pulsion, et si Téquipe, en donnant une série de coups saccadés, déplace en avant son centre de gravité n fois plus rapidement qu en revenant à la position normale, chaque coup une fois donné. Fiaipulsion en avant communiquée au bateau est au moins n fois plus grande que celle en arrière, d'où résulte un mouvement en avant (*).

Mouvement des fluides et mouvement dans les fluides. —

La théorie du mouvement des fluides et du mouvement dans les fluides présente de grandes difficultés. Nous ne mentionnerons ici que deux ou trois applications de la loi d'Hauksbee.

Loi d*Hauksbee. — Lorsqu'un fluide est animé d'un mouvement rapide la pression qu'il exerce est moindre que lorsqu'il est à l'état de repos (^). Ainsi, lorsqu'un courant d*air se produit dans un tube, la pression sur les parois est plus petite que lorsque la colonne d'air est au repos, et cette pression varie en raison inverse de la vitesse.

Ce fait a été signalé par Hauksbee il y a près de deux siècles.

Dans un fluide d'une élasticité parfaite dans lequel la pression est proportionnelle à la densité, la loi reliant la pression /> à la vitesse constante v, est représentée par l'équation p = ita"** dans laquelle tc et a sont des quantités constantes.

Les formules correspondantes pour les gaz où la pression est pro-

(^) On peut encore faire remarquer .qu'il est possible de mettre un bateau en mouvement sur une eau tranquille en lui imprimant un balancement régulier d'avant en arrière, mais un peu plus accentué sur Parrière. C'est une application du principe de la réaction égale et opposée à Faction.

(*) BBSAifT. — Hydromechanics, Cambridge, 1867, art. 149 ; dans cet ouvrage le principe de la proportionnalité de la pression à la densité est énoncée. Hauksbee est Tau leur le plus ancien qui appela Pattention sur le problème, mais nous ne savons pas quel est celui qui le premier donna une explication du phénomène. Willis en dit quelques mots dans Cambridge Philosophical Transactions , i83o, vol. III, pp. 129-140.

porlionnelle à une cerlaine puissance de la densité, s*établissent sans difficulté.

L'expérience dite (( du mystère pneumatique » s'explique au moyen du principe précédent. G*est un instrument que Ton trouve chez presque tous les marchands de jouets et qui consiste en un tube muni d'une embouchure à Tune de ses extrémités et terminé à l'autre par une coupe évasée en forme de calice contenant une petite boule en bois. Ce tube étant tenu dans une position verticale avec la coupe en bas, on souffle fortement par l'embouchure en plaçant la boule à louverture de la coupe, on constate alors que la boule se maintient suspendue dans la coupe. L'explication est très simple : la pression de l'air sous la boule est bien supérieure à celle de l'air dans le tube et la différence de ces deux pressions est assez grande pour soulever la boule.

On produit le même effet en fixant à l'ouverture inférieure d'un tube un petit morceau de carton percé d'un trou central et sous lequel on place une rondelle de papier, en soufflant par l'autre extrémité dans le tube, la rondelle de papier ne se détache pas du carton, mais elle se plie pour permettre la sortie du courant d'air.

Une autre expérience exactement du même genre se trouve décrite dans la plupart des ouvrages sur l'hydrodynamique des gaz. On place à Tune des extrémités d'un tube droit un disque plan pouvant glisser sur de petits fils de fer fixés dans le prolongement rectiligne du tube. Le disque étant à une petite distance de l'extrémité, on souffle avec force, mais d'une façon continue, dans le tube et on constate que le disque n'est pas projeté hors des fils, mais est attiré vers l'ouverture en oscillant autour d'une position voisine de cette extrémité.

Yoici la même expérience sous une autre forme : on place à plat sur une table deux livres dont les dos sont parallèles et espaces de 2 à 3 centimètres ; ce vide est couvert par une feuille de papier ou un morceau de journal, et en soufflant vigoureusement dans le petit tunnel ainsi formé, on constate que le papier est aspiré au lieu d'être projeté en l'air.

Récréations mathématiques, II. 7

98 RÉGRé/lTlONS MATHÉMATIQUBB

La dernière expérience qui sait s*explique d*une façon identique : Sur la pointe d'un axe vertical on fixe une petite tige très légère pouvant pivoter dans un plan horizontal et dont chacune des extré* mités porte un petit carré vertical ou une sorte de petite voile en carton mince ; les deui voiles sont d'ailleurs dans un même plan. Si maintenant on ptovoqiie tm courant d*air en soufflant dans le voisinage de Pun de ces carrés, mais dans une dire(ition parallèle à leur plan, on constate que ce carré se déplace vers le côté où le courant d'air se produit, et la tige avec ses deux petites ailes prend un mouvement de rotation.

Les expériences que nous venons de décrire peuvent être réalisées de façon à justifier la loi d'Hauksbee en prenant certaines précautions, car d'autres causes étrangères interviennent, qui peuvent modifier les phénomènes, mais il est inutile d'entrer ici dans tous ces détails.

La bàllô du Tennis. — Tous les jotieurs do tennis et de raquette connaissent l'effet que nous allons signaler : uneballe frappée vigoureusement peut aller rebondir sur un mur, puis (sans toucher le sol ou un autre niur), revenir sur elle-même et heurter une seconde fois le mur.

C'est une nouvelle application de la loi d'Hauksbee. En voici l'explication (') : le coup donné sur la balle lui imprime un mouvement de rotation rapide autour d'un axe passant par son centre de figure en même temps qu'un mouvement de propulsion, et le frottement de la surface de la balle contre l'air ambiant produit une sorte de tourbillon.

Considérons, par exemple, une balle sphérique animée d'un mouvement de rotations dans le sens de la flèche autour d'un axe passant par son centre et perpendiculaire au plan de la figure» elle

(^) Voir Màgnus sur Die Abweichung der Geschœsse dans le Abhandlungen der Akademie der Wissenêchaften, Berlin, i852, pp. i-23. Lord Rayleigu. — On the îrregular Jlight of a tennis ball^ Messenger of MathematicSy Cambridge, 1878, vol. VII, pp. i4-i6.

QUESTIOT^S DE MECANIQUE 99

se déplace en même temps de gauche à droite parallèlement à la direction PQ dans un milieu en repos. Tout déplacement de la balle dans un sens perpendiculaire à PQ est produit par la pression de l'air sur la surface, et, d'après la loi d'Hau-

ksbee, cette pression est d'autant plus grande ^ ^\

que la vitesse de Pair est faible par rapport f \^

à celle de la balle, et vice versa. Pour déter- V J

miner la vitesse de Tair relativement à celle ^-— ^

de la balle, nous pouvons considérer le

centre de cette dernière comme fixe, et sup- p g

poser un courant d'air venant frapper la F* A

surface de la balle avec une vitesse égale et

contraire à celle que possède son centre. Or, les couches d'air en contact avec la surface de la balle sont entraînées dans le mouvement de rotation de celle-ci en formant un tourbillon tournant dans le sens de la flèche. Examinons comment le mouvement provoqué par le tourbillon est affecté par le mouvement du courant dans le sens QP. En A, l'air dans le tourbillon se déplace contre le courant et, par suite, sa vitesse est retardée ; en B, l'air dans le tourbillon se déplace dans le même sens que le courant et, par suite^ la vitesse est aug«mentée. Dès lors, la vitesse relative de Pair est moindre en A qu'en B et par suite, la pression de l'air sur la surface de la balle est plus grande en A qu'en B. Ainsi, la balle est poussée par cette pression dans une direction l'éloignant de la ligne PQ qui peut être considérée comme représentant la section d'un mur vertical limitant l'espace réservé au jeu. En d'autres termes, la balle tend à se mouvoir transversalement à la ligne que décrit son centre et dans la direction suivant laquelle elle tourne.

Dans le cas d'une balle de tennis, la forme de la balle étant mo^ difiée par un coup vigoureux, il en résulte quelques complications dont il y a lieu de tenir compte dans l'explication du phénomène. Les questions traitées comme des applications de la loi d'Hauksbee sont simples comparativement à plusieurs autres problèmes sur le mouvement des corps dans les milieux Duides. L'étude de beajupoup

lOO RÉCBÉA.TIOIfS MATHÉBfATIQUES

de ces questions conduit à des calculs d'analyse algébrique qui ne peuvent figurer dans un pareil livre ; nous consacrerons cependant quelques lignes à lune d'elles qui n'a pas encore été complètement élucidée.

Théorie du vol des oiseaux. — Un problème de mécanique qui présente un grand intérêt est celui qui consiste à expliquer comment il se fait que les oiseaux peuvent parcourir des distances considérables dans les airs sans que leurs ailes fassent le moindre mouvement (tout au moins apparent). Pour ne citer qu'un exemple, particulièrement remarquable, on a vu des albatros suivre pendant plusieurs jours des vaisseaux marchant à neuf et dix nœuds à l'heure, et souvent, pendant un temps considérable, et on n'observe aucun mouvement, soit des ailes, soit du corps. D'ailleurs, lors même que l'oiseau remuerait ses ailes, on comprend difficilement comment il peut développer une énergie musculaire assez grande pour se déplacer dans les airs si rapidement et si longtemps.

On a présenté plusieurs explications du phénomène (') parmi lesquelles les plus plausibles sont : celle des courants supérieurs de M. Maxim, celle présentée par Lord Rayleigh relativement aux variations de la vitesse du vent suivant l'altitude, celle du D' S. P. Langley supposant l'existence d'une série non interrompue de ra fales et d'accalmies alternées, et enfin la théorie des tourbillons atmosphériques du D' Bryan.

Il paraît aujourd'hui raisonnable d'admettre que la seconde et la troisième de ces sources d'énergie contribuent, en partie tout au moins, au phénomène observé. L'effet de la troisième cause se comprend en partie en remarquant que le centre de gravité de l'oiseau ayant ses ailes déployées est un peu au-dessous de son plan de vol, c'est-à-dire du plan de ses ailes, de telle sorte que l'ensemble constitue une sorte de parachute. Un brusque coup de

(*) Voir G. -H. Brta.h dans The Transactions of the British association pour 1896. Vol. LXVI, pp. 726-728.

QUESTIONS DB MÉCANIQUE lOI

vent sur un tel corps a pour effet d'imprimer à la couche d'air dans laquelle plane Toîseau une vitesse plus grande que celle de la masse en suspension qui forcée de s'élever, reçoit ainsi le vent de l'autre côté, de sorte que la force ascensionnelle de Toiseau est augmentée. Quant le vent tombe, la masse plus considérable du corps de Poiseau continue son mouvement en vertu du principe de l'inertie, de telle sorte que le plan des ailes est encore en contact par sa face inférieure avec la couche d'air calme; et si, pendant que le parachute est dans cette position ^ une nouvelle saute de vent vient à se produire, la masse en suspension est encore entraînée de bas en haut ; ainsi plus l'oiseau s'avance et plus il s'élève dans les airs. Il résulterait de cette théorie que les oiseaux dans leur vol sont entraînés par de subits coups de vent. Par le fait même que l'oiseau est en mouvement il tend à se maintenir en l'air ; car on a récemment montré qu'une surface plane tombe plus lentement sous l'action de la gravité lorsqu'elle est lancée horizontalement à travers l'espace avec une certaine force, que lorsque la chute s'effectue directement suivant la verticale. Par suite, entre deux coups de vent successifs, les oiseaux en mouvement dans les airs descendent verticalement d'une quantité plus petite que celle dont ils tomberaient dans le cas d'un vent calme. Bien plus, des expériences récentes ont montré que le travail mécanique nécessaire pour supporter, au moyen d'un aéro-plan un corps se déplaçant horizontalement diminuait avec l'altitude ; par conséquent, lorsque l'oiseau reçoit du vent une impulsion transversale (c'est-à-dire faisant un angle droit avec sa direction première) sa force ascensionnelle est augmentée en proportion de sa vitesse propulsive initiale.

Curiosités physiques. — Lors de la préparation de la première édition de cet ouvrage nous avions réservé un chapitre faisant suite à celui-ci et consacré à quelques questions du ressort de la physique.

Par exemple, dans la théorie de l'acoustique, nous donnions l'explication d'un phénomène obser\é par le capitaine Parry et relatif

102 Rf^Ca^lATIONS MATHEMATIQUES

à la vitesse dans Tair du bruit produit par un coup de canon et du son de la voix humaine, le premier était perçu avant que le commandement de faire feu parvint à l'oreille de l'observateur {*)• Dans la théorie cinétique des gaz nous signalions les perturbaiîops que pourrait produire dans l'univers « Tesprit de Maxwell » {^). Gomme questions d'optique, nous donnions l'explication « des miroirs magiques » japonais (') réfléchissant Timagie sur la face arrière (qui n'est pas éclairée). Nous aurions pu y ajouter Ja curieuse expérience de la a Toupie spectre )) avec laquelle une surface blanche sur laquelle on a tracé quelque» traits en noir peut être mise en mouvement de façon à donner Timpression de lignes coloriées en rouge, vert, bleu, gris, brun {*) en citant ce fait, non moins curieux, que la couleur change suivant le sens de la rotation, On a également montré tout récemment (ce qui peut-être avait déjà été remarqué un peu partout) que si deux séries d'ondes, dont les longueurs sont dans le rapport dem-r-iàm-Hl se superposent, la mieme onde de chaque système est la plus grande. L'opinion généralement répandue que chaque neuvième vague dans la mer est plus forte que les autres, serait donc ainsi vérifiée scientifiquement.

Les phénomènes curieux et intéressants ne manquent pas en physique ; Télectricité et le magnétisme, en particulieer, en sont des

(*) Le fait est absolument authentique. M. Earwshàw {Philosaphicçil Tran- $actions^ Londres, i86o. pp. i33-i48) l'a expliqué pap l'accélération de Tonde provoquée par la formation d'une sorte de trou d^ns Tair ; cette explication a été acceptée par Glérk. Maxwell et plusieurs autres physiciens, mais Sir George AifiT pensait que le phénomène dépendait de la physiologie; voir Le Son d'AiRY, seconde édition, Londres, 1871, pp. i4i-i42.

(*) J. Gleri. Maxwel. — Théorie de la chaleur, seconde édition, Londres, 1872, p. 3o8.

(^) Voir un mémoire de W.-E. Atrton et J. Perrt. -— Proceedings of the Royal Society of London, partie I, 1879, vol. XXVIII, pp. 127-148.

(*) Voir les lettres de M. G.-E. Benham et autres dans le journal Nature^ 1894' 5 ; et un mémoire du Prof. Liyeihg» Cambridge Phihsophical Society, 26 ^Qvembjre 1894,

QUESTIONS DE MECANIQUE Io3

sources inépuisables ; la difficulté est d'en faire un choix judicieux. Nous avons pensé que le sujet était en dehors de notre programme et trop technique pour être traité dans un ouvrage spécialement consacré à des recréations mathématiques. En conséquence, nous avons préféré laisser de côté le chapitre dans lequel nous avions réuni toutes ces questions. Si nous mentionnons le fait, c'est d'abord parce que nous avons l'espoir qu'un physicien publiera un jour un ouvrage dans lequel toutes les questions de cette nature seront traitées et ensuite, pour les rappeler à ceux que les études de ce genre intéresseraient.