CHAPITRE VII

QUESTIONS DIVERSES

Nous nous proposons dans ce chapitre de discuter la théorie mathématique d'un certain nombre de jeux et amusements choisis parmi les plus connus. Nous aurions pu traiter quelques-uns d'entre eux dans les chapitres précédents, mais comme nous faisons intervenir, pour plusieurs, soit alternativement, soit à la fois la géométrie et Talgèbre, nous avons pensé qu'il serait plus convenable pour notre exposition de les grouper à part. Cette division d'ailleurs est absolument conventionnelle et n'a rien d'absolu ; en Tadoptant nous avons été guidé par notre simple convenance plutôt que par la logique.

La majeure partie des questions énumérées ci-après n'ont aucune connexité, elles sont présentées un peu au hasard.

Nous traiterons successivement le Jeu des quinze, la Tour d^ Hanoï, Les anneaux chinois, le Problème des huit rtineSy le Problème des quinze écolières, et enfin quelques rçcréations ou problèmes pouvant se faire avec un jeu de cartes.

Le jeux des quinze (*)• — Il y a dix ou douze ans, on trouvait communément chez tous les marchands de jouets un jeu connu sous le nom de « jeu des quinze ». Il consistait en une boîte carrée

{*) On trouvera deux articles sur ce sujet dans VAmerican Journal of Mathematics, 1879, vol. JI, par les Prof. Woolset Johnson et Story; mais la théorie du jeu se déduit immédiatement de la proposition donnée plus loin dans le texte*

QUESTIONS DIVERSES

io5

en bois, peu profonde (dont le haut était marqué d'une certaine façon") renfermant quinze cubes ou quinze jetons carrés numérotés de un à quinze. La boîte pouvait contenir exactement seize de ces cubes ou jetons, et, par suite, les quinze qui s*y trouvaient étaient susceptibles d'être déplacés successivement dans la boite en utilisant le vide.

Au début les quinze numéros sont disposés dans un ordre quelconque avec la seizième et dernière case vide, le jeu consiste à les déplacer de façon à leur faire prendre finalement la position indiquée dans la figure 43.

Nous pouvons suivre les diverses phases du jeu en supposant que l'espace libre, formant la seizième case, soit déplacé sur le tableau pour revenir à la case d'où on est parti.

Fig. 43.

Fig. 44.

La route suivie par l'espace libre, ainsi matérialisé, consiste : i" en pas, allé et retour (qui n'ont aucune influence sur l'arrangement cherché), et 2<* en chemins fermés parcourus en rond (qui représentent nécessairement des permutations circulaires d'un nombre impair de jetons). Aucun autre mouvement n'est possible.

Mais une permutation circulaire de n lettres est équivalente à n — I inversions simples ; par suite une permutation circulaire

impaire équivaut à un nombre pair d'inversions simples. Dès lors^ en déplaçant les jetons de façon à ramener l'espace libre sur la seizième case, le nouvel ordre des numéros diffère de Tordre primitif par un nombre pair d'inversions simples. Il en résulte que si la disposition demandée ne peut se déduire de la disposition primitive qu'en effectuant un nombre impair d'inversions, le problème n'est pas possible ; il est possible au contraire lorsqu'on passe d'uqe disposition à l'autre par un nombre pair d'inversions,

Ainsi, dans la figure 44 de la page io5 l'ordre des jetons se déduit de celui de la figure 43 en opérant six inversions, h savoir, en intervertissant Tordre de i et a, de 3 et 4, de 5 et 6, de 7 et 8, de g et 10, et de 11 et 12, Dès }ors, on peut passer de Tune à l'autre disposition en manœuvrant les jetons dans la boite.

Si cependant, dans le second diagramme, Tordre des trois derniers jetons était i3, i5, i4 au lieu de i3, i4, i5, nous aurions à opérer sept inversions de jetons pour passer d'un ordre à l'autre et, dans ce cas, le problème n'est pas susceptible de solution.

La façon la plus commode de trouver le nombre d'inversions simples nécessaires pour déduire un arrangement donné d'un autre est d'opérer la transformation par une série de cycles. Supposons, par exemple, que les jetons soient mis dans la boite dans un ordre quelconque (les jetons étant pris de gauche à droite dans les lignes horizontales successives) et que Tordre primitif et Tordre Çnal soient respectivement.

I, i3, 3, 3, 5. 7, 12, 8, 16, 6, 9, 4. II, 10, i4, II, 2, 3, 4. 5, 6, 7, I, 9, 10, i3, 12, 8, i4, i5.

La seconde disposition peut se déduire de la première au moyen de douze inversions, La façon la plus simple de le voir est de disposer Topération en trois cycles séparés, comme il suit ;

I, II, 8; I i3, 2, 3, 4, 13» 7» 6» 'o» i4, i5> 9^1 &• U, 8, I ; I 2, 3, 4, i:>, 7, 6, 10, 14, i5. 9, i3;|5.

QUSSTioiss DiYi:asï:s 107

Ainsi, si dans la première des figures on substitue 1 1 à i , puis 8 à 1 1 y puis I {1 8, nous faisons une inversion cyclique de trois nombres, opération équivalente à deux inversions simples (inversion de I et II» et de I et 8). En résumé, l'opération revient à effectuer trois inversions cycliques, la première de trois nombres, la seconde de onx0 nombres et la troisième de un nombre ; par suite, elle est équivalente à (2 H- 10 -}- o) ou à douze inversions simples. Ce nombre étant pair, on peut déduire Tune des dispositions de l'autre en déplaçant les jetons de la boite.

Il e^t évident que si la diposition initiale était la même que celle demandée, à l'exception des trois derniers jetons, que nous prendrons dans Tordra i5, i4, i3, il nous faudrait effectuer une inversion pour les amener dans Tordre i3, i4, i5 ; le problème dans ce cas ne serait pas possible.

Cependant en faisant tourner la boîte d'un angle droit de façon à amener le côté AD à la partie supérieure du jeu, cette rotation serait équivalente à treize inversions simples. Car si nous conservons toujours la seizième case libre, Ift rotation aurait pour effet de changer une disposition quelconque, telle que la suivante :

I, Q, 3. 4i 5, 6, 7, 8, 9. 10, XI, la, i3, 14, i5, i3, 9, 5, î, i4, 10, 6, a, i5. II, 7, 3, la, 8, 4»

Ce qui revient à effectuer treize inversions simples. Par suite, une disposition pour laquelle le problème n'est pas possible, pourrait être ainsi ren^placée par une autre conduisant à une solution, et vice versa.

De plus, même si la disposition primitive était une de celles conduisant à l'impossibilité du problème, en laissant la première case vide, au lieu de la dernière, il serait possible de disposer les quinze jetons suivant leur ordre naturel. Car, en représentant la case blapche par 6, le problème reviendrait à changer Tordre.

I, a, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, la, i3. i4, i5, 6,

ce qui constitue une inversion cyclique de seize termes, et, par suite, est une opération équivalente à quinze inversions simples. De la sorte, une disposition des jetons pour laquelle le problème est in^possible pourra être remplacée par une autre conduisant à la possibilité, et vice versa.

Il est évident que tout ce que nous venons de dire s'applique également à une boite rectangulaire contenant m. n cases et (m. n — i) jetons numérotés. Bien entendu, on peut avoir m = n. En faisant tourner une pareille boîte de 90°, si les nombres w et n sont tous les deux pairs, l'opération est équivalente k m, n — 3 inversions simples. Une disposition pour laquelle le problème n'est pas possible peut donc ainsi être remplacée par une autre donnant une solution, et vice versa. Mais à moins que m et n ne soient des nombres pairs, la rotation est équivalente seulement à un nombre pair d'inversions.

De même, si l'un ou l'autre des nombres m et n, est pair, et s'il est impossible de résoudre le problème avec la dernière case libre, on peut le rendre possible en laissant libre la première case.

On peut augmenter la difficulté du problème en limitant les mouvements possibles : en fixant, par exemple, dans la boîle des petites réglettes que les jetons en mouvement ne seront pas autorisés à franchir.

Nous pouvons concevoir également un jeu semblable avec un cube, mais la manœuvie des jetons ne pourrait se faire pratiquement que par section.

La Tour d'Hanoï. — Le jeu ingénieux connu sous le nom de tour cCHanoî a. été imaginé en i883 par M. Glaus (Lucas).

Il consiste en trois chevilles fixées sur un plateau et en huit disques circulaires, de bois ou de carton, percés au centre d'un trou

QUESTIONS DIVERSES IO9

permettant de les enfiler sur les chevilles. Ces disques sont de diamètres différents et, à Torigine, ils sont tous sur la même cheville, le plus grand à la base et les autres suivant leur rang de décroissance jusqu'à celui couronnant la pile qui est le plus petit. Cette disposition forme la tour. Le problème consiste à faire passer chaque disque d'une cheville sur une autre, de telle sorte qu'aucun d'eux Tie soit placé sur un disque plus petit, pour former finalement sur l'une des deux autres chevilles, en utilisant tous les disques, une tour identique à celle que Ton avait primitivement. On opère comme il suit :

I* Si nous avons à l'origine n disques sur la cheville A, la première opération consiste à faire passer graduellement les r — i disques supérieurs de la cheville A sur la cheville B, en laissant libre la troisième cheville G.

Soit X le nombre des transports qu'une pareille opération exige. 3® On déplace alors le dernier, c'est-à-dire le plus grand et on l'enfile sur G.

3** Puis en renversant le premier procédé, on transporte graduellement les /i — I disques de B sur G, opération qui exige encore x transports.

Dès lors, si l'opération du transfert d'une tour de n — i disques exige X transports simples de disques, l'opération du déplacement d'une tour de n disques exigera ax + 1 transports séparés de disques simples.

Or, pour deux disques, on a 3 ou 2^ — i transports, donc, pour trois disques, nous aurons 2 (2' — i) -h 1 ou 2^ — i transports, et d'une façon générale, pour n disques, nous aurons à effectuer 2'^ — i transports simples de disques.

Ainsi, les huit disques du jeu demandent 2* — 1= 255 transports simples. Ge résultat pourrait aussi s'obtenir au moyen de la théorie des différences finies. 11 faut remarquer que Xîhaque déplacement alterné revient à transporter le plus petit disque d'une cheville sur une autre, les chevilles étant prises en ordre circulaire.

IIO RÉCRÉATIONS MATHEMATIQUES

M. de Parville a publié une si jolie légende sur Torlgine de ce jeu que nous ne pouvons résister au plaisir de la reproduire (*).

« Dans le grand temple de Bénarès, dit-il, au-dessous du dôme qui marque le centre du monde, on voit, plantées dan« une dalle d'airain, trois aiguilles de diamant, hautes d une coudée et grosses comme le corps d'une abeille. Sur une de ces aiguilles, Dieu enfila, au commencement des siècles, 64 disques d or pur, le plus large reposant sur Tairain et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu'au sommet. C'est la tour de BraKma. Nuit et jours les prêtres se succèdent, occupés à transporter la tour de la première aiguille de diamant sur la troisième, sans s'écarter des règles fixes et immuables imposées par Brahma. Le prêtre ne peut déplacer qu'un seul disque à la fois ; il ne peut poser ce disque que sur une aiguille libre ou au-dessus d'un disque plus grand. Lorsqu'on suivant strictement ces recommandations les 64 disques auront été transportés de l'aiguille, où Dieu les a placés, sur la troisième, la tour et les Brahmes tomberont en poussière et ce sera la fin du monde. »

Le nombre des transports séparés d'un simple disque que les

Brahmines doivent effectuer pour déplacer la tour est de 2*** i

ou 18 446 744 073 709 55i 6x5 ; nombre qui, en admettant que l'opération soit exécutée sans erreur de la part des prêtres, exigerait plusieurs milliers de millions d'années

Los anneaux chinois (^). — La figure 45 représente un jeu un peu plus difficile, connu sous le nom des anneaux chinois et que l'on trouve chez presque tous les marchands de jouets.

(*) La Nature, Paris, ié84, première partie, pp. 286-286.

(2) 11 a été décrit pâf Cardan, eft i55o, dans son ouvrage De subtilitate, livre XV, paragraphe â, édition Sponius, vol. IIÏ, p. 587 ; par Walus dans son Algèbre, seconde édition, 1693» Œuvree, vol. Il, ofaap. m, pp. 472-478.

OzANAM y fait également allusion dans ses Récréations, édition de 1723* vol. IV, p. 439.

QUESTIONS DIVERSES III

Il consiste en un certain nombre d'anneaux métalliques égaux enfilés sur une sorte de navette évidée dans la partie centrale et munis chacun d'une petite tringle traversant une planchette en bois. Ils sont disposés de telle sorte que Tanneau à Tune des extrémités (A par exemple] peut être» à volonté, enlevé ou monté sur la navette ; mais un autre anneau quelconque ne peut ôtre enlevé ou monté que si Tanneau le plus voisin du côté A est enfilé sur la na« vette, et tous les autres anneaux, du même côté, enlevés.

L'ordre des anneaux ne peut être modifié.

Un seul anneau peut être enlevé ou monté à la fois sur la navette [dans le jeu tel qu'on le trouve ordinairement, cette règle présente une exception en ce qui concerne les deux premiers anneaux qui peuvent être enlevés ou montés en même temps ; mais pour simplifier notre exposition nous supposerons tout d'abord qu'un seul anneau peut être enfilé ou enlevé à la fois].

Nous allons montrer que, dans le cas de /i anneaux, il est nécessaire pour les faire sortir tous de la navette d'enlever ou d'enfiler

un anneau simple un nombre de fois représenté par 5 (2"+* — î)

ou par ^ (2""»"^ — 2) suivant que n est impair ou pair.

Appelons d'une façon générale pa$t l'opération qui consiste à enlever ou à faire passer un anneau sur la navette et supposons les anneaux numérotés en partant de l'extrémité A. Admettons que les m premiers anneaux soient sortis de la navette, tous les autres étant encore enfilés, et que l'enlèvement de l'anneau suivant exige X — I pas ; ceci revient à dire que (x — i) pas additionnels sont nécessaires pour disposer les anneaux de telle sorte que les m 4- i premiers soient hors de la navette et tous les autres sur la navette.

Avant de faire cette opération nous pouvons enlever le (m + a)"' anneau, de sorte que Tenlèvement du (m -h i)"* et du (m -h a)"' anneau exige x pas en partant de la position initiale.

Supposons ces x pas faits et les (m -h 2) premiers anneaux sortis de la navette, les autres étant encore enfilés, et cherchons combien de pas additionnels sont nécessaires pour enlever les (m -h 3)"* et (m -h 4)"* anneaux. Pour effectuer l'opération nous commençons par enlever le (m -h 4)°*® anneau, ce qui nous donne i pas ; puis avant de pouvoir enlever le (m -f- S)"' nous devons arranger les anneaux de façon que le (m -4- 2)™" soit sur la navette et les (m -t- 1) premiers hors de la navette : cette opération s'effectuera comme il suit :

i® Nous devons avoir le (m 4- i)"® anneau sur la navette et les m premiers sortis (ce qui exige x — i pas) ;

2® puis nous devons enfiler le (m -|- 2)"* anneau (ce qui donne I pas) :

3^ Enfin, il nous faut enlever le (m 4- i)"" anneau (ce qui exige encore x — i pas).

Ainsi, cette série de manœuvres nous donne en tout

[2(0; — i) H- 1] pas.

Maintenant nous pouvons enlever le (m — S)"* anneau (i pas) et nous restons avec les (m h- i) premiers anneaux sortis, le (m -h 2)"* sur la navette, le (m -h 3)"® également sorti et tous les autres sur la navette. Enfin pour enlever le (m H- 2)°*** anneau : I® nous laissons le (m + i)™® sur la navette et nous enlevons les m premiers (a? — i pas ) ;

2® nous enlevons le (m -4- 2)°*® anneau (i pas) ;

3° nous enlevons le (m H- i)"® anneau {{x — i) pas).

Cette nouvelle série de manœuvres représente

[2(0;— i) -\- i] pas, Par conséquent, si lorsque les m premiers anneaux sont enlevés,

QUESTIONS DIVERSES Il3

il faut X pas, pour détacher le (m + i)"* et le (m + a)"", le nombre des pas additionnels nécessaires pour détacher les (m -h 3)* et (m -+• 4)"** anneaux sera :

I -H [2(x — i) -f- i] -H I 4- [2(a; — i) -f- i], c'est-à-dire 4ar.

Pour déterminer le nombre total des pas nécessaires pour enlever un nombre impair d'anneaux, nous raisonnerons maintenant comme il suit :

L'enlèvement du ï" anneau exige i pas ;

Par suite, Tenlèvement des 3 premiers anneaux demande 4 pas additionnels.

L'enlèvement des 5 premiers anneaux demande 4' pas additionnels.

Nous voyons ainsi que le nombre des /wt* à faire pour enlever les (2 71 -h i) premiers anneaux est

i -h 4 -h 4* -i- 4' -+-... 4- 4" ou I (2^»+* — i).

Le raisonnement est semblable pour déterminer le nombre des pas nécessaires pour enlever un nombre pair d'anneaux.

L'enlèvement des a premiers anneaux exige 2 pas ;

L'enlèvement des 4 premiers anneaux demande 2X4 pas additionnels ;

L'enlèvement des 6 premiers anneaux demande 2X4' pas additionnels ;

Par conséquent, pour enlever les 2 n premiers anneaux, il faudra exécuter un nombre total de pas représenté par

Si nous enlevons ou si nous enfilons les deux premiers anneaux en un seul pas au lieu d^exécuter l'opération en pas séparés, ces résultats deviennent respectivement :

2«« et 22«— * — i.

Récréations mathématîqnes, II. 8

Il4 RéCRÉATIOl^S MATHÉMATIQUES

Nous avons donné cette analyse parce qu'elle est la solution directe d*un problème qui, à une certaine époque, attira lattentiOQ, et dont Cardan s'est occupé en i55o, puis Wallls en i6^Sl, ms^^ tous les deux sans succès. Nous allons présenter maintenant une nouvelle solution plus élégante maia main» r^tianiieUa.

Cette solution due à M. Gros (^) repose sur une convention d'après laquelle chaque position des anneaux est représentée par un certain nombre écrit dans le systèpae de numération binaire, de telle sorte que chaque pas s'indique en ajoutant ou en retranchant l'unité.

Représentons chaque anneau par un petit cercle : si un ctnne^u est sur la navette le petit cercle est décrit au-dessus d'une harrd horizontale £gurant la navette, tandis que si l'anneau est sorti de la navette le petit cercle est décrit sous la barre.

Ainsi la figure 46 de la page ii4 représente une suite de sept an* neaux dans laquelle les deux premiers sont sortis de la navette, les trois qui suivent montés sur la navette, le sixième sorti, et le septième engagé sur la navette.

On convient de désigner les anneaux qui sont montés par les chiffres i et o alternativement, en allant de gauche à droite, et un anneau sorti de la navette par le chiffre assigné à celui nionté sur la navette le plus voisin sur sa gauche, ou par o s'il ne se trouve aucun anneau sur sa gauche.

En appliquant cette convention aux trois positions représentées ci-dessous on obtient respectivement les nombres écrits sous chacune d'elles,

Fig.4a, Fig.47. Fig. 68.

La position (2) se déduit de (i) en faisant passer le premier an-

(•) L. Gros. — Théorie du Bagaenaudier, Lyon, 1872. Nous emprunton cette citation à Lucas, vol. I, partie 7. |

QUESTIONS DIVERSES II 5

neau sur la navette, tandis que la position (3) se dWuît de (i) en faisant sortir le quatrième anneau.

11 résulte de ce qui précède, comme nous l'avons déjà dit, que chaque position des anneaux est représentée par un nombre écrit dans le système de numération à base a ; de plus, puisque en allant de gauche à droite chaque anneau monté sur la navette donne lieu à une variation (c'est-à-dire de i à o ou de o à i) et chaque anneau enlevé donne une continuation ou permanence, Teffet de l'enlèvement d'un anneau se traduira par la soustraction ou l'addition d'une unité. Par exemple, le nombre représentant la position des anneaux de la figure 47 se déduit du nombre représentant la disposition de la figure 46 en ajoutant i à ce dernier nombre. De même le nombre représentant la position des anneaux de la figure 48 se déduit de celui représentant la disposition (i) en retranchant l'unité.

Lorsque tous les sept anneaux sont montés sur la navette, cette disposition est représentée par le nombre loioioi, et lorsqu'ils sont tous sortis, la disposition est figurée 0000000. Dès lors le passage de la première disposition à la seconde exige un nombre de pas égal à la différence entre ces deux nombres écrits dans le système binaire. Or, le premier est égal à 3* -h a* -h 2* -H i ou à 85 et le second à o, par suite, l'opération nécessite 85 pas.

On ferait voir par un raisonnement semblable que pour enlever une suite de an h- l anneaux, il faut (» + 2^ -+- .... H- 2*") pas,

c'est-à-dire ^ (â**» -V ^ — i) ; «t que pour enlever une suite de an

anneaux, il faut; (a 4- 2^ + .,•• H- a^"*"^) pas, soit « (a^ + * — 2).

Nous doinnons ci*après un tableau indiquant les pas nécessaires pour enlever les quatre premiers anneaux d'une suite de cinq anneaux. Les diagrammes dans la colonne centrale montrent les positions successives des anneaux après chaque opération.

Les nombres qui accompagnent sur la droite chaque diagramme représentent ces positions, chaque nombre se déduisant du précédent par l'addition d'une unité. Les pas accolades peuvent être faits en un seul mouvement, et en les effectuant ainsi, l'opération est ter-

ii6

recreatio:ïs mathématiques

minée en sept mouvements au lieu de dix ; tout ceci est en concordance aL\pc les formules données plus haut, page 1 15.

Posî'ion initiale.

Après

le lor pas

loe D

lOIOI lOIIO lOIII II 000 IIOOI IIOIO IIOTI

Fig. 49.-

M. Gros prétend qu'il est possible d'effectuer soixante -quatre à quatre- vingts pas à la minute, ce qui nous semble un peu exagéré. En acceptant comme exact le plus petit de ces nombres, on pourrait enlever dix anneaux en moins de huit minutes ; l'enlèvement de vingt-cinq anneaux exigerait plus de 682 jours de dix heures de travail chacun ; et pour faire sortir soixante anneaux il faudrait au moins 768 6i43364o4564 65o pas, opération qui exigerait environ 55 000 000 000 années de travail, en supposant, bien entendu, qu'il n*y ait pas d'erreur commise.

Le problème des huit reines (^). — Le problème consistant

(*) Pour l'historique de la question nous renvoyons à W. Ahuens, Mathematische Untherhaltungen und Spiele^ Leipzig, 190 1, chap. 11.

QUESTIONS DIVERSES

a déterminer de combien de manières différentes huit reines (ou liuit pions tenant lieu de cette pièce) peuvent être placées sur un écbiquier ordinaire — ou d'une façon plus générale de combien de manières différentes, n reines peuvent être disposées sur un échiquier de n^ cases — de telle sorte qu'aucune des reines ne puisse être prise par une autre, a été proposé, à Torigine par Nauck en i85o.

En 1874, D"" Gûnther (*) fit paraître une solution basée sur la théorie des déterminants.

Car si chaque symbole représente la case correspondante de Téchiquier, les solutions possibles sur un échiquier de n* cases seront données par ceux des termes, s'il y en a, du développement du déterminant

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dans lesquels une même lettre et un indice ne figurent qu'une fois. La raison en est évidente : chaque terme dans un déterminant contient un élément, et un seul, pris dans chaque ligne horizontale et dans chaque colonne verticale ; par conséquent, ces termes indiqueront des positions sur l'échiquier pour lesquelles les reines ne peuvent être prises Tune par l'autre par des mouvements identiques à ceux de la tour. De plus, dans le déterminant qui précède, les lettres et les indices sont disposés de telle sorte que toutes les mêmes lettres et tous les mêmes indices figurent dans les diagonales, c'est-à-dire dans le sens du mouvement du fou ; par suite, en ne conservant que les termes dans lesquels toutes les lettres et tous les

(*) Gruîiert. — Archiv der Mathematilc und Physlkj 1874, vol. LVÏ, pp. 281-292.

Il8 RÉCRÉATIONS MATHÉMATIQUES

indices sont différents, nous aurons les cases de Féchiquier sur lesquelles les reines ne pourront être prises entre elles par des mouvements idendiques à ceux du fou. Il est clair qu'il n'y a pas lieu de tenir compte des signes des termes.

Dans le cas de l'échiquier ordinaire, le déterminant est du S""' ordre et contient par conséquent 1.2. 3. ..8 ou 40820 termes, de sorte que cette méthode ne peut être utilisée pour l'échiquier usuel de 64 cases ou pour un échiquier d*un plus grand nombre de cases, à moins de trouver un moyen rapide de reconnaître les termes à prendre dans le développement.

Le D' J.W. L. Glaisher (*) adonné, en 1874, un moyen de trouver les termes en question et, autant que nous avons pu le vériQer, la théorie du jeu en est restée au point où il Ta laissée. Il a montré que connaissant toutes les solutions pour n reines sur l'échiquier de n^ cases, on peut en déduire toutes les solutions d'un certain type pour n -h i reines sur l'échiquier de (n -h i)' cases, et que toutes les autres solutions des n -h i reines sur l'échiquier de (n + ï)^ cases peuvent alors s'obtenir sans difficulté.

Sa méthode sera rendue suffisamment compréhensible en l'appliquant à un exemple.

On voit facilement que le problème ne présente aucune solution pour 71 = 2 et n = 3. Quand n = 4, on trouve deux termes du déterminant donnant des solutions, à savoir : feg^^oTaPo ®* ^^sPs^eïs* Pour trouver les solutions quand n == 5, Glaisher procède comme il suit. Dans ce cas le déterminant de Gûnther est

Pour obtenir les solutions (si elles existent) qui comprennent l'é-

(1) Philosophical Magazine, Londres, décembre, 1874, 4® série, série XL VIII, pp. 457-467.

QUESTIONS DIVERSES

lément a^, il suffit d'écrire a^ à la suite de celles des solutions relatives à Féchiquier de 16 cases où ne figure pas la lettre a. Comme c'est le cas pour les deux solutions que nous venons de donner, nous déterminons ainsi deux solutions, à savoir b^c^y^^^a^ et c^^^bQ-f^a^. Les solutions comprenant ai, e^ et Sg peuvent s'obtenir immédiaterment par symétrie* Les huit solutions ainsi obtenues sont toutes distinctes et nous pouvons les appeler solutions du premier type.

Ces solutions sont les seules dans lesquelles figurent les éléments des angles du carré formé par le déterminant. Par suite les autres solutions s'obtiendront au moyen du déterminant

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