LE BLANC ET LE NOIR
Lorsque l'on considère une suite rectiligne de pions noirs et de pions blancs, deux cas peuvent se présenter dans Tensemble de deux pions consécutifs, suivant que ces deux pions ont la même couleur ou sont de couleurs différentes. Nous dirons que deux
234 Note II,
pions delà même couleur présentent unepermane/ice; on a ainsi, dans \3ifig. i6i les permanences
Fig. i6i.
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Permanences.
et nous dirons que deux pions de couleurs diffe'rentes présentent une variation; on a ainsi, dans \aLjig. 162, les variations
Fig. 162.
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Variations.
L*étude des variations est fort importante dans un grand nombre de questions d'Arithmétique et d'Algèbre, lorsque l'on
Fig. i63.
remplace les pions noirs et blancs par les signes -h et — de l'addition et de la soustraction. Mais, dans ce qui va suivre, nous nous servirons des pions des deux couleurs. Il y a lieu d'abord de voir les modifications qui surviennent dans une suite de pions, lorsque Ton introduit un nouveau pion entre deux pions consécutifs de même couleur, c'est-à-dire dans une permanence. Le nombre des variations, qui est nul, ne change pas, si l'on introduit un pion de même couleur que les delix autres [fig. 1 63 ) ; mais il augmente de deux variations lorsqu'on introduit un pion de couleur opposée [fig. 164).
Note IL 235
Enfin, Jorsque Ton place un pion blanc ou noir entre deux pions de couleur diflférente, c est-à-dire dans une variation, le
Fig. 164.
nombre total des variations ne change pas, ainsi qu'on le voit dans la^^. i65, qui comporte quatre hypothèses distinctes. En réunissant les trois cas que nous venons d'étudier, on en
Fig. i65.
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conclut que l'introduction d'un pion entre deux pions consécutifs ne modifie pas le nombre des variations, ou l'augmente de 2, nombre pair.
En répétant le même raisonnement, on en conclut que si, dans une suite rectiligne quelconque de pions noirs et de pions blancs, on introduit un nombre quelconque de pions entre les pions extrêmes, le nombre des variations ne peut diminuer, et, s'il augmente, il augmente d'un nombre pair 2, 4, 6, ....
De ce qui précède, il résulte immédiatement les deux propriétés suivantes : entre deux pions quelconques de couleur contraire d'une suite rectiligne, il y a une variation ou un nombre impair de variations. Entre deux pions quelconques de même couleur, d'une suite rectiligne quelconque, il n'y a pas de variation, ou
236 Note IL
bien il y en a un nombre ^^/r. Pour démontrer ces deux propositions, il suffit de retirer successivement, entre les pions extrêmes, chacun des pions intercalés, en tenant compte des remarques précédentes. D'ailleurs, il est facile de constater que ces remarques ne s'appliquent pas au nombre des permanences.
Le nombre des variations ou des permanences d'une suite ne
Fig. i66.
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change pas lorsque l'on change les signes de tous les termes, et les commencements des séquences de pions de même couleur^ que nous avons désignées par des lettres de Talphabet, ne changent pas de place.
En considérant chaque pion avec celui qui est placé immédia-
Fig. 167.
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tement au-dessous, on ne forme que des variations. Déplaçons d'un rang vers la droite tous les pionsde la ligne inférieure, nous formons la^^. 167; alors on aperçoit sous chaque pion A, B, C, D, E, E, qui sert de commencement à une séquence, un pion de la même couleur.
Remarque. — Cest sur une observation de ce genre que repose la proposition connue sous le nom de Lemme de Segner, l'un des fondateurs de la Météorologie. Cette proposition sert de base au
Aote IL 23;
Théorème de Descartes, dans la théorie des équations algébriques. Si Ton considère une équation algébrique quelconque dont le premier membre est ordonné et dont le second est nul, et si Ton fait le compte des variations des signes des coefficients, le nombre des racines positives de l'équation est au plus égal au nombre des variations, et s'il en diffère, il en diffère toujours d'un nombre pair.
4® LES ECHIQUIERS ANALLAGMATIQUES.
L'échiquier anallagmatique est un carré formé de cases noires et blanches, en nombre égal ou inégal, de telle sorte que, sur deux lignes (horizontales) ou sur deux colonnes (verticales) quelconques, le nombre des variations des couleurs soit toujours égal au nombre des permanences.
Nous représenterons les cases par des pions noirs et blancs. La
Fig. 1Û8.
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Jig. 1 68 représente deux échiquiers anallagmatiques A et B que nous appellerons complémentaires, parce qu'aux cases noires de chacun d'eux correspondent des cases blanches dans l'autre.
Remplaçons chaque case noire de l'échiquier A par un échiquier A et chaque case blanche par un échiquier B, et opérons de même pour l'échiquier B; nous formons, dans la^îg*. 169, les
Note 111,
échiquiers anallagmatiques complémentaires C et D, ayantquatre cases de côté.
D'ailleurs, il est évident que l'on peut déduire d'un échiquier anallagmatique un certain nombre d'autres échiquiers anallagmatiques, soit en échangeant deux lignes ou deux colonnes quelconques autant de fois que Ton voudra, soit en changeant la
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