CALCUL DIRECT DES TRIANGULAIRES

Par cette démonstration absolument pareille à celle qui prouve {fig, 18) que l'aire du triangle est la moitié de Taire du parallélogramme de même base et de même hauteur, on voit que: Le double d'un nombre triangulaire de rang quelconque est le produit du nombre qui indique son rang par le nombre suivant.

Le rang est d'ailleurs égal au nombre de boules sur le côté, et nous considérons ces deux expressions comme équivalentes.

Ainsi, en résumé, on peut calculer les nombres triangulaires par additions successives, de manière à les obtenir tous; mais aussi on peut les calculer isolément par une seule multiplication, ainsi que nous venons de le voir. Le second procédé sert de vérification au premier en calculant directement les triangulaires de dix en dix.

Le Tableau précédent peut être allongé indéfiniment dans le sens de la longueur, en ajoutant autant de colonnes que l'on veut; mais on peut aussi l'allonger dans le sens de la largeur en ajoutant des lignes. Il existe deux procédés d'extension absolument différents : le premier donne la théorie des nombres polygonaux ; c'est, pour ainsi dire, V Arithmétique de Diophante; nous l'exposerons dans cette Récréation. Le second procédé donne la théorie des nombres figurés ; c'est plus spécialement Y Arithmétique de Fermât; nous l'exposerons dans la Récréation suivante intitulée : VArithmétique en bâtons.

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3o Deuxième récréation.