LA TABLE DES CARRES

Impairs i 3 5 7 9 11 i3 i5 17 19

Carrés i 49 16 25 36 49 6 j. 81 100

Nous profiterons du théorème précédent pour construire rapidement la Table des carrés. Sur une première ligne, on écrit constamment le nombre 2 ; sur une deuxième ligne, on forme successivement les impairs en ajoutant 2 au dernier impair obtenu; sur une troisième ligne, on forme les carrés en ajoutant au dernier carré obtenu le nombre placé au-dessus dans la colonne suivante; ainsi, par exemple, 49==: 56 4- i3. On vérifie d'ailleurs le calcul en plaçant à l'avance les carrés des nombres terminés par des zéros, et Ton doit les retrouver dans le courant de l'opération.

La Table des carrés est d'une extrême importance pour l'Arithmétique théorique et pratique, et nous pensons que son emploi est beaucoup plus utile et plus étendu que celui de la Table des logarithmes. Nous y reviendrons plus d'une fois dans le courant de cet Ouvrage. Nous supposerons donc que Ton possède une telle Table, que Ton peut rapidement construire soi-même d'après les indications précédentes. Il n'est pas douteux que c'est par son secours que Fermât a obtenu et démontré la plupart de ses inventions arithmétiques.

Nous nous servirons de cette Table pour résoudre diverses questions. On reconnaîtra tout d'abord si un nombre est carré en le cherchant dans la Table, puisque les carrés sont rangés par ordre de grandeur, et nous supposerons d'ailleurs que ce nombre ne dépasse pas les limites de cette Table, et, par exemple, cent millions, si l'on a calculé la Table des dix mille premiers carrés.

V Arithmétique en boules.

Comment reconnaître maintenant, avec la Table des carrés, si un nombre donné est triangulaire; on se servira pour cela du théorème suivant que l'on trouve dans l'Arithmétique de Diophante : Voctuple d*un triangulaire augmenté de l'unité est toujours

Fig. 21.

Théorème de Diophante.

un carré. La démonstration de ce théorème résulte immédiatement de la vue de Isifig. 21 ci-dessus.

Inversement, tout carré impair diminué de l'unité est Voctuple d^un triangulaire.

Par conséquent, pour savoir si 55 est un triangulaire, on le multiplie par 8 et Ton ajoute i , ce qui fait 441 ou le carré de 21 ; donc 55 est un triangulaire; pour avoir son côté, on prend la moitié du côté de carré diminué préalablement de i et Ton trouve 10. Ainsi 55 est le dixième triangulaire.

E. Lucas. — Récréations mathém., IV.

34 Deuxième récréation.