LA TABLE DES PENTAGONAUX
Triples moins 2 i
Pentagonaux.... i
Ainsi, en continuant le Tableau précédent, on peut calculer tous les pentagonaux par additions successives; mais, si l'on veut calculer isolément un pentagonal de rang donné, il suffit de consulter la ^g*. 25, qui nous montre immédiatement l'exactitude de cette proposition :
L'Arithmétique en boules. 37
Tout pentagonal est égal à son côté AB augmenté de trois fois le triangulaire de rang précédent.
Cette proposition correspond à celle qui résulte, pour le carré, de la vue de \^fig. 23, mais si Ton ajoute le côté ABde Isijig. 25 au triangle placé au-dessus et formé de boules blanches, on en déduit la propriété correspondante à celle de \^fig. 22 pour le carré et que Ton énonce ainsi : Tout pentagonal est la somme du
Fig. 25.
triangulaire de même rang et du double du triangulaire précédent.
Il nous reste maintenant à résoudre la question suivante : Comment reconnaître qu'un nombre donné est pentagonal? Mais il résulte immédiatement de Fétude de Isijîg. 26 que : Le triple de tout nombre pentagonal est un nombre triangulaire dont le rang est le triple moins un du rang du pentagonal. Inversement, tout triangulaire dont le rang est un triple moins un est le triple d'un pentagonal. Ainsi, un nombre étant donné, pour savoir si ce nombre est un pentagonal, on le multiplie par 3, et le produit doit être un nombre triangulaire. Par conséquent, en appliquant le théorème de Diophante : Le produit par 24
Deuxième récréation.
d'un nombre pentagonal étant augmenté de l'unité donne un carré dont le côté est le sextuple moins un du côté du pentagonal. Inversement, tout triangulaire dont le rang est un sextuple
Al
Oi B,
Le triple pentagonal.
moins un est le produit plus un d'un nombre pentagonal par 24.
On reconnaît encore facilement qu'un nombre pentagonal ne peut être terminé par l'un des chiffres 4, 8, 3, 9, parce que, s'il en était ainsi, le triple de ce nombre serait terminé par 2, 4, 9, 7 et que Tun de ces chiffres ne peut être le dernier chiffre d'un nombre triangulaire.
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L'Arithmétique en boules.
