LES TABLES DE FRÉNICLE

Les Ouvrages de Frénicle ont été publiés dans un volume imprimé au Louvre en 1693, par les soins du mathématicien de la Hire, et réimprimés dans le tome V des Mémoires de V Académie des Sciences (Paris, 1729). On y trouve la Table générale des Quarre^ de Quatre; cette Table, de 45 pages in-4^, contient les 880 solutions du problème pour tous les carrés faits avec les seize premiers nombres entiers ; en tenant compte de la rotation et de la symétrie, on obtient donc 7040 carrés différents.

Mais, si Ton se reporte à la théorie des échanges que nous venons d'exposer, on s'aperçoit immédiatement que les Tables de Frénicle peuvent être réduites au quart de leur étendue, et qu'il

sulfir, pour classer tous les carrés, de supposer que Tun quelconque des seize nombres du carré, le .plus petit, par exemple, peut toujours être ramené dans l'une des cases i ou 2 (Jig, 48). En effet, d'après le principe de rotation, on peut toujours supposer un nombre quelconque dans le premier quartier, c'est-à-dire sur l'unedescases i , 2, 5, 6 ; en outre, par symétrie, si le nombre choisi est placé sur la case 5, on peut le ramener sur la case 2, et par échange des quartiers, lorsqu'il est placé sur la case 6, on peut le ramener sur la case i ; d'ailleurs, nous montrerons, dans ce qui suit, l'inutilité de cette Table. Cependant on trouve dans k Mémoire de Frénicle quelques propositions générales sur les carrés de quatre; nous en ajouterons quelques autres tirées de nos manuscrits et complétées par M. Delannoy.

EGALITES A QUATRE BOULES.

Théorème I. — Dans tout carré de quatre, la somme des angles du carré extérieur, celle des angles du petit carré intérieur^ les sommes des angles de chacun des deux rectangles médians sont égales à la constante.

Cette proposition se démontre immédiatement sur chacun des carrés (^^. 54], en ajoutant les nombres placés sur les quatre traits pleins et retranchant ceux qui sont placés sur les traits pointillés. On observera d'ailleurs que le second carré se déduit du premier par échange des quartiers opposés, et le quatrième du troisième par rotation.

Ainsi, tout carré de quatre contient quatorze fois la constante

Les carrés magiques de Fermât,

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sur des lignes régulières : quatre lignes, quatre colonnes, deux

Fig. 54.

diagonales, deux rectangles médians, le petit carré intérieur et le grand carré extérieur.

Théorème II. — Dans tout carré de quatre, la somme des quatre boules noires de l'un des carrés [fig, 55 ) égale la somme des boules blanches du carré opposé par rapport au centre, et la somme de Vun de ces carrés augmentée du carré adjacent formé de croix ou de points vaut deux fois la constante,

La seconde partie de cette proposition se démontre en faisant la somme des nombres placés sur les traits pleins ou sur les traits pointillés, et la première partie en retranchant ces deux sommes Tune de l'autre. Nous désignerons sous le nom de carrés de trois

Cinquième récréation.

-chacun des quatre carrés formés de boules noires ou blanches, de croix ou de points dans la partie droite (Jig. 55 ). On observera,

Fig. 55.

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d'ailleurs, quece carré se déduit du précédent par échange simultané des quatre rangées intérieures.