ÉGALITÉS A DEUX BOULES

Théorème III. — Dans tout carré de quatre, la somme des

Fig. 56.

-extrémités d'une rangée extérieure égale la somme des nombres

Les carrés magiques de Fermât.

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intérieurs de la rangée extérieure opposée; la somme des extrémités d'une rangée intérieure égale la somme des nombres intérieurs de la rangée voisine^ et la somme des extrémités d'une diagonale égale la somme des nombres intérieurs de Vautre diagonale (Jig. 56).

Pour démontrer cette proposition, on ajoute les nombres contenus sur les trois traits pleins et Ton retranche les nombres situés sur les trois traits pointillés. On observera de plus que le troisième carré se déduit du précédent par l'échange des quartiers opposés.

Cette égalité entre deux boules noires et deux boules blanches

Fig. 57.

Fig. 58.

Fig. 59.

donne lieu, par rotation et par symétrie, à dix équations homogènes qui remplacent avantageusement les dix équations de la définition- des carrés magiques de quatre. En effet, l'ensemble des quatre boules forme un grand trapèze (Jig. 5j), un petit trapèze (Jîg. 58) ou un losange [fig. 5g). Par conséquent, si Ton ajoute les boules blanches de Tun des grands trapèzes [fig. 5y) aux boules noires de l'autre, on constate Tégalité des lignes extérieures; en ajoutant les boules de même couleur de chacun d'eux, on en déduit l'égalité des lignes extérieures au grand

io6 Cinquième récréation.

carré extérieur, et à l'un des rectangles moyens; puis, par rotation, on en déduit que les lignes extérieures, les colonnes extérieures, le grand carré et les deux rectangles médians ont la même somme. En considérant les deux petits trapèzes (Jîg, 58), on conclut l'égalité des lignes intérieures, des colonnes intérieures, du petit carré intérieur et des deux rectangles moyens. En considérant les deux losanges {Jig. Sg), on conclut Tégalité des diagonales, du carré intérieur, du carré extérieur; donc, en rassemblant les résultats de ces trois figures,le carré est magique.

Corollaire I. — Pour former un carré avec seize nombres pris au hasard, il faut qu'en prenant les sommes de toutes les combinaisons des nombres deux à deux, on trouve dix sommes de deux nombres égales à dix sommes de deux autres nombres.

Corollaire II. — Si, parmi les seize nombres donnés, il en existe un seul plus petit que tous les autres, un seul plus grand que tous les autres, ces deux nombres ne peuvent occuper en même temps, Tun la place d'une boule noire, l'autre la place d'une boule blanche pour les dix positions qui correspondent à chacun des huit trapèzes ou des deux losanges des fig. 56, Sy, 58 et 59; car, sans cela, le théorème III ne serait pas vérifié.

Corollaire III. — Si, parmi les nombres donnés, il en existe deux plus petits ou deux plus grands que tous les autres, ces deux nombres ne peuvent occuper en même temps les places de deux boules noires ou de deux boules blanches pour les dix positions que nous venons de considérer.

Les carrés magiques de Fermât.