DES CARRES A QUARTIERS EGAUX
Lorsque la somme des angles de l'un des quartiers est égale à la constante, il en est de même des trois autres, ainsi que cela résulte immédiatement du théorème II; on dit alors que le carré est à quartiers égaux [fig. 60). On a ainsi cinq petits carrés ombrés dont la somme est égale à la constante. Ces carrés possèdent plusieurs propriétés qui viennent s'ajouter aux précé-
Fig. 60.
Fig. 61.
Fig. 62.
dentés, et permettent de trouver, de vingt-quatre manières différentes, quatre nombres placés régulièrement dont la somme est toujours égale à la constante.
En effet, si l'on ajoute deux quartiers opposés et si l'on retranche la diagonale commune, on voit immédiatement que la somme des boules noires du rectangle diagonal [/îg*. 61) égale la constante; réciproquement, si la somme des quatre boules de ce rectangle est égale à la constante, les quartiers sont égaux.
D'autre part , si l'on remplace les quartiers opposés [fig. 6 1 ) par les carrés de trois {fig. 62), on démontre encore que, siTun des carrés est égal à la constante, il en est de même de tous les
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Cinquième récréation.
a-utres et d*un rectangle diagonal, et réciproquement. Ainsi donc, dans tout carré de quatre, lorsque l'un des quartiers, l'un des carrés de trois ou l'un des rectangles dcsjig'. 6i , 62 est égal à la constante, il en est de même des neuf autres. Voici quatre autres propriétés des carrés à quartiers égaux sur
Fig. 64.
Fig. 63.
Fig. 65.
Fig. 66.
les égalités à somme variable entre vingt-quatre groupes de deux boules noires et de deux boules blanches correspondantes. Elles sont indiquées sur les^g*. 63, 64, 65, 66.
Ces propriétés se démontrent immédiatement en ajoutant les nombres situés aux angles de l'un des carrés oîi se trouvent deux boules noires et en retranchant la diagonale ou la ligue repré-
Les carrés magiques de Fermât,
sentée en traits pointillés ; ces figures se transforment les unes dans les autres par échange simultané des quartiers ou des rangées intérieures.
Les deux propositions qui correspondent aux^g*. 63 et 64 m'ont été indiquées par M. Delannoy, les deux autres figures sont tirées des manuscrits de Fermât.
On a encore une autre égalité entre deux boules blanches et
Fig. 67.
deux boules noires (/g*. 67); on la démontre en ajoutant les boules du rectangle diagonal représenté en traits pleins et en retranchant celles du rectangle médian figuré en traits pointillés; les quatre boules sont aux sommets d'un carré. Nous verrons plus loin que, dans le cas général, il ne saurait exister d'autres égalités de ce genre.
LA TABLE d' ADDITION.
Ainsi que nous Pavons vu, il résulte des considérations de rotation et de symétrie, et des deux premiers échanges par rangées ou par quartiers, que l'on peut toujours supposer l'un des nombres
Cinquième récréation.
quelconques du carré dans le premier quartier sur Tune des cases I ou 2 : ces remarques s'appliquent à tous, les carrés et donnent lieu à leur classification naturelle (*). Pour dresser une Table des carrés de quatre, il suffit donc de ne considérer que ceux qui ont le plus petit nombre sur la case i ou sur la case 2. Mais, pour les carrés à quartiers égaux, cette Table devient inutile, puisque
Fig. 68.
a^ \ b ; c ; rf'
ap \ bp \ cp \ ^
<Uf \ bq \ cq \ dg
an \ br * er \ dr
fT
as \ bj \ os \ ds
Ton peut les déduire tous des transformations régulières d'une Table d addition.
Formons avec quatre nombres quelconques a, b, c, dj et quatre autres nombres quelconques />, 5, r, 5, une Table d'addition^ comme cçlle de Pythagore pour la multiplication, mais en adoptant cette notation que ap, par exemple, signifie la somme et non le produit de a et j? {Jîg. 68 ).
Si Ton échange deux lignes ou deux colonnes quelconques, les seize nombres de la Table changent de place mais non de valeur ;
(») Diaprés une remarque de M. Delannoy, Frénicle aurait rangé la Table des carrés suivant la grandeur du nombre se trouvant sur la case i, et pour les carrés ayant le même nombre dans cette case, d'après le nombre situé sur la case 6 (contiguô en diagonale).
Les carrés magiques de Fermât.
il en est de même si l'on remplace les lignes par les colonnes, ou inversement; on obtient de cette façon 2 ( r. 2. 3.4)* ou 11 52 Tables d'addition distinctes, si les seize nombres de la Table sont différents; d'ailleurs, il ne peut y avoir d'autres solutions si les nombres donnés sont arbitraires, puisque l'on peut supposer que p, 5, r, s et a, b, c, d représentent des nombres mesurés par pes unités d'espèces différentes.
Ainsi donc, toute Table d'addition de 16 nombres donne 1 1 52 Tables distinctes dans le cas général ; mais on doit diviser ce nombre par 8 et le ramener à 144 si Ton ne considère pas comme différentes les sept Tables déduites d'une première par rotation ou par symétrie.
Ces Tables jouissent de propriétés remarquables ; on observera d'abord que la somme des termes de chacune des diagonales reste constante et égale à
a-hb-hc-hd-hp-hq-^r-^S',
plus généralement, si l'on prend quatre termes de telle sorte qu'il n'y en ait pas deux dans une même ligne ou dans une même colonne, la somme des termes reste constamment la même et égale à la précédente. D'ailleurs, le nombre de ces groupes de quatre termes est évidemment égal au nombre des permutations I. 2. 3. 4 des quatre premiers nombres, comme dans le problème des quatre tours sur l'échiquier de quatre cases de côté.
De plus, si l'on considère quatre nombres placés aux sommets d'un carré ou d'un rectangle quelconque de la Table, on reconnaît immédiatement que la somme des nombres d'une diagonale égale la somme des nombres de l'autre diagonale ; on a ainsi trente-
six égalités à deux boules et pas plus, dans le cas général. On a donc le théorème suivant :
Toute Table générale d addition de sei^e nombres donne II 52 Tables distinctes; elle renferme toujours vingt-quatre sommes de quatre nombres égales à la constante^ et trente-six égalités de sommes variables entre deux groupes de deux nombres.
On a évidemment un théorème semblable pour une Table de multiplication, en remplaçant les sommes par des produits.
