LES RÉSEAUX GÉOMÉTRIQUES

Un réseau géométrique est le système formé par des points A, B, C, ..., disposés d'une manière quelconque dans le plan ou dans Tespace et reliés entre eux par une ou plusieurs lignes droites ou courbes que Ton appelle chemins. Les points A, B, C, . . . sont appelés carrefours; un carrefour est dit pair ou impair, suivant que le nombre des chemins qui y aboutissent est pair ou impair. Un réseau est continu quand un mobile placé sur Tun des chemins ou Tun des carrefours peut se rendre à un autre point quelconque sans quitter les chemins.

Cela posé^ on a le théorème suivant, dû à Euler, dont nous avons déjà donné une démonstration moins simple [Récréations mathématiques, t. I, p. 238). Lorsqu'un réseau renferme des carrefours impairs, ceux-ci sont en nombre pair. En effet, si Ton compte le nombre de tous les chemins qui aboutissent à chacun des carrefours, la somme de tous les nombres obtenus est un nombre pair, puisque chaque ;chemin a été compté deux fois. Cette somme étant un nombre pair, il faut nécessairement que, parmi les nombres entiers qui l'ont fournie, ceux qui sont impairs soient en nombre pair.

E. Lucas. — Récréations mathém., IV. 9

Sixième récréation.

Nous croyons intéressant de donner quelques exercices relatifs aux réseaux géométriques.

Exercice I . — Calculer le nombre des sauts du cavalier des échecs sur un échiquier rectangulaire formé de p lignes et de q colonnes.

On peut passer de Tune des (q — i) premières x:olonnes à la colonne suivante par (p — 2) sauts descendants et par le même nombre de sauts ascendants ; on a donc

sauts, et un nombre égal en chevauchant de la droite vers la gauche.

De même, en passant à la ligne précédente ou à la suivante, il y a un nombre de sauts égal au double de

Donc, le nombre des sauts du cavalier sur Véchiquier rectangulaire de pq cases, en comptant V aller et le retour y est égal au double de

Plus généralement, si le saut du cavalier se compose de r pas dans un sens et de s pas dans l'autre, en supposant r et 5 plus petits que p et j, le nombre des sauts du cavalier, en comptant l'aller et le retour, est le double de l'expression

[zp — r-^s) [2q — r — s) — (r — sY\

cependant, on doit diviser ce nombre par 2, lorsque l'un des nombres r, 5, ou (r — s] est nul.

La Géométrie des réseaux et le problème des dominos. i3i

On calcule le nombre des pas du roi en considérant celui-ci comme l'ensemble de deux cavaliers dont l'un des pas est i et l'autre o ou i. On trouve ainsi le double de

^pq — 3^— 3^4- 2.

Sur re'chiquier de|7* cases, la tour peut être considérée comme l'ensemble de cavaliers dont l'un des pas est nul, et dont l'autre est l'un quelconque des entiers plus petits que^. On trouve ainsi que le nombre des déplacements de la tour sur Téchiquier de p* cases est le double de

Sur l'échiquier de p^ cases, le système des deux fous peut être considéré comme l'ensemble de cavaliers dont les pas égaux sont tous les nombres entiers plus petits que p. On trouve ainsi que le nombre des déplacements des fous sur Téchiquier de p* cases est le double de

lp{p—l) (2jp — l).

Enfin la reine peut être considérée, dans son mouvement, comme l'ensemble d'une tour et des deux fous; par suite, le nombre de ses déplacements est le double de

\^p[p~i] [Sp— i).

Exercice II. — Le nombre des manières de placer deux reines sur l'échiquier de jp^ cases, de telle sorte qu'elles ne soient pas en prise, c'est-à-dire qu'elles ne soient pas situées sur une même

i32 Sixième récréation.

ligne parallèle aux bords et aux diagonales de l'échiquier, est

^P iP—^) (P — 2) {3f— i).

En effet, ce nombre est égal à Texcès du nombre des combinaisons des j7' cases prises deux à deux sur la moitié du nombre des déplacements possibles de la reine, ou

p^(v'—i] pip—i] {3p — i ) 2 3 *

Le même calcul peut s'appliquer à d'autres pièces de Téchiquier, et l'on trouve pour deux rois

et pour deux cavaliers

{p^i)(p'-p'-Sp-^i6).

Exercice III. Le problème des reines. — Ce problème est traité complètement jusqu'aux échiquiers de 1 1 cases de côté dans nos Récréations mathématiques (t. I, 2® édition).

Le lecteur trouvera, dans la Récréation sur le Saut du Cavalier au Jeu des Échecs^ d'autres exercices du même genre (*).

{ ' ) Nous avons trouvé, dans les manuscrits de notre ami si regretté, trente à quarante pages de notes sur cette Récréation; mais les lacunes étaient trop nombreuses pour que nous ayons osé nous permettre de rédiger la récréation sur le Saut du Cavalier. ( Voir la Note I.) D.

La Géométrie des réseaux et le problème des dominos, 1 33