DESCRIPTION DU PENTAGONE
Nous appliquerons la méthode précédente à la Jigé 9 5 , formée Fig. 95. Fig. 96.
Fig. 97-
par les côtés et les diagonales d'un pentagone, c'est-à-dire au jeu de dominos terminé au double quatre {Jig. gS).
En O aboutissent quatre chemins a^ b, c, d; on peut les souder ensemble deux à deux^ de toutes les manières possibles :
ab d'une part, et cd d'autre part, donne fig. 96, ac ^ . bd — fig. 97.
ad — bc — fig. 98.
Le carrefour O se trouve supprimé, et le nombre des tracés de la fig, 95 est égal à la somme des nombres de parcours des trois autres figures.
Mais ces trois nouveaux labyrinthes sont équivalents, puisque E. Lucas. — Récréations mathém,, IV. 10
146 Sixième récréation.
les carrefours A et B, C et D sont réunis par deux chemins, et que les autres jonctions ont lieu par un seul. Il suffit donc de tripler le nombre des parcours des labyrinthes (Jig. 98).
On peut supprimer le carrefour D de trois manières, comme précédemment. La soudure de e et f donne la Jig, 99, et, après
suppression de Timpasse, la Jig. 100; nous nous trouvons ainsi dans le cas de la fourmi :2Xrx2x3oui2 tracés.
La soudure de e et g* ou de e et A donne deux fois la Jig. loi .
Fig. loi. Fig. 102.
Celle-ci, par la suppression du carrefour C, donne, par soudure de / et j\ la Jig. 102, qui donne 8 tracés.
Et, par soudure de i et A:, ou de i et /, deux fois Is-Jig, 100. Donc encore 24 tracés.
Ainsi, au total^ deux fois (12 + 84- 24) ou 88.
La Jig. 98 se décrit donc de 88 manières, et le pentagone (Jig. 95), de 264 manières différentes.
On trouvera de même que le nombre des circuits formés par les. arêtes d'un octaèdre régulier est égal à 744. Ainsi encore, si Ton supprime une station du chemin de fer de ceinture (Jig» 92) contenant n stations, et si l'on désigne par R,^ le nombre des cir-
La Géométrie des réseaux et le problème des dominos.
cuits, on trouve
et
d'où Ton tire, ainsi que M . Delannoy l'avait trouvé par une méthode différente,
DESCRIPTION DE L HEPTAGONE.
La suppression d'un carrefour de l'heptagone conduit à la description d'un hexagone H [Jig. io3 ), dont trois côtés sont redou-
blés; par conséquent, si Ton désigne par X le nombre des tracés de rheptagone, et par H le nombre des tracés de Thexagone, on a, par le théorème de Tarry,
Sixième récréation.
La suppression de l'un des carrefours de Fhexagone donne
Fig. 104.
Les quatre pentagones.
lieu, après suppression des impasses, à la description des quatre pentagones P^, P„ P3, P4 (Jig. 104), et l'on a
H = 8 P| -H 4 Pj H- 8 P3 + 4 P,;
Parla suppression du carrefour supérieur de chacun des quatre pentagones et des impasses qui se produisent, on est conduit à la description de six quadrilatères Qi, Q„ Qj, Q4, Q5, Qe {fig. io5 ), et Ton a
Pi==6Q, + 4Q,-m6Q8-m6Q4, P,=.8Qi + i6Q,-^ 2Q54- lôQe, P3^2Qi-+-Q„
P4=2Qi + Qe.
La Géométrie des réseaux et le problème des dominos.
Par la suppression de Tun des carrefours supérieurs des six
Les six quadrilatères, quadrilatères et des impasses qui se produisent, on est conduit à
Les cinq triangles.
la description de cinq triangles Ti, Ta, T3, T4, Tg {fig, 106), et Ton a
Qi=z6Ti-i- 24X2-1-48X3, Q2i=8T,H-24T2 4- 64 T4, Q3=2Ti-H2T2,
Qe=2T2-t«2T5.
Sixième récréation.
Enfin, par la suppression du carrefour supérieur de chacun des cinq triangles, et des impasses qui se produisent, on est con-
Les trois réseaux à deux carrefours.
duit à la description de trois réseaux à deux carrefours Di, D2, D3 [fig, 107), et Ton a
Ti=:6Dt-4-i44D„
T2=: 2Di-f- 16 D„
Enfin, comme dans le problème de la fourmi, on a D, = 240, Dj— 12, D.3=2.
En reprenant les calculs en sens inverse, on en déduit Ti=3i68j Ta =672, Ta— 144, T^= 32, T5=24o; puis, pour les quadrilatères,
Q, •=42048, Q2=: 43520, Q3=9024, Q4= 1920, Q5=38oi6, * 06=1824;
po jr les pentagones.
Pi = 601472, Pj=: 585984,
