LES POINTS MULTIPLES

Nous allons étudier les modifications qu'il faut apporter aux formules précédentes, lorsque p droites viennent concourir en un même point ou lorsque p droites deviennent parallèles.

i^ Lorsque |7 droites viennent concourir en un même point, le nombre des points de concours diminue de C* — i , puisque le nombre des points d'intersection de ces|7 droites ne compte plus que pour un seul point. Le nombre a des segments infinis et le nombre <p des régions infinies ne changent pas. Le nombre A des segments finis et infinis diminue de (p* — 2p) et le nombre F des régions finies et infinies diminue de (C^ — p -h i ).

2^ Lorsque p droites deviennent parallèles, le nombre des points de concours diminue de C^ ; le nombre F des régions finies et infinies diminue aussi de C^ et le nombre A des segments finis et infinis diminue de {p^ — p).

Par conséquent, si Ton désigne par a^ le nombre des droites de

La Géométrie des régions, i6i

direction unique, par dp le nombre des groupes contenant j? droites parallèles, par Sp le nombre des points de concours de jp droites, on a

( 1 ) « =1 <îi -r- 2 (72 -h 3 (Jj 4- . . . -4-;? (7/, 4- . . . ,

Si toutes les droites avaient des directions différentes, on aurait S = CJ , ainsi que nous l'avons vu ; donc, en tenant compte des diminutions, on a

(3) Cl-=zS,-\-Zs,-\- ... H-C*5p-r ...