H- 3 Ta 4- . . . 4- C;^ ffp

on trouve de même

On peut démontrer directement cette formule en observant que de chaque point de concours de p droites partent 2p segments, et que pour toute direction de p droites parallèles, il y a 2 |7 segments indéfinis; d'ailleurs^ ces segments sont tous comptés deux fois. Si Ton calcule F, on trouve la relation

que Ton peut vérifier a posteriori. Enfin, si^^ est le nombre des régions à|7 lignes de contour, on a les deux formules

(7) 2A:r:r./, 4-2/>4- ... -\- pfp -^ ....

Exercice i. — Considérons q points tels que trois d'entre eux ne soient E. Lucas. — Récréations mathém., IV. 11

102 Septième récréation.

pas en ligne droite, et que quatre d'entre eux soient sur deux droites parallèles. Les droites qui les joignent se rencontrent en 3 C* nouveaux points; le nombre des segments finis et infinis sur chaque droite est égal àCj j + 5; le nombre total des segments est

A = Cf^ ^q - i ~^ ^ ^qy

d*oii l'on tire, par la formule (5),

c'est-à-dire

F = ^{q-i){q^-5r-hi8q-8).

Autrement. — Le nombre des lignes de jonction étant m = C|» le nombre des régions est

parce que les droites se coupent au nombre de q — i en ^ points; on retrouve, après simplification, l'expression précédente.

Exercice 2. — Un système de n cercles partage le plan en « (« — i ) -h 2 régions au plus, dont une seule est illimitée.

Exercice 3. — Si l'on trace dans un plan n systèmes de cercles concentriques contenant respectivement c„ c,, c„ ..., c„ circonférences, le plan sera partagé en i H- 2 Ic,c, régions, au plus, dont une seule est illimitée.

Exercice 4. — Si Ton trace dans un plan n systèmes de cercles concentriques et m systèmes de parallèles en nombre <2„ <i„ .. ., am, et si l'on fait

A = I^„ A' = Lc„

B = Ia,df„ B' — ICjT,,

le plan sera partagé au plus eu