COROLLAIRE DU COLORIAGE

Le théorème de Tait est une conséquence du théorème de Guthrie, sur le coloriage. En effet, considérons un carrefour quelconque à réseaux triples, mais sans isthme. Entourons-le d'un circuit extérieur; nous pouvons, avec les quatre couleurs A, B, G, D, colorier toutes les régions en nombre n-^Z, en ajoutant celle qui est bornée par le circuit extérieur. Gela fait, un chemin quelconque sépare deux régions de couleurs différentes; on rangera chacun des chemins dans les groupes O^ I, II, d'après le Tableau suivant :

entre A et B ou entre G et D,

1 » AetC » BetD, II » AetD » B etc.

Le théorème de Tait est donc une conséquence immédiate du théorème du coloriage; inversement, le problème géographique des quatre couleurs serait une conséquence du théorème de Tait, si l'on connaissait une démonstration directe, le cas d'exception de l'isthme ne pouvant se présenter. En effet, si tes frontières se rencontraient au nombre de plus de trois en un même point, il suffirait de recouvrir ce carrefour d'une petite pièce auxiliaire, et alors toutes les frontières se rencontreraient trois par trois. Il suffit ensuite de supposer que la pièce auxiliaire diminue indéfiniment d'étendue jusqu'à disparaître.

Gette relation entre les deux théorèmes est analogue à celle de la résolution de l'équation du quatrième degré que l'on ramène E. Lucas. — Récréations mat hem. j IV. i3

194 Septième récréation. — La Géométrie des régions.

au troisième, et aussi, par exemple, à celle de la recherche des points d^intersection de deux coniques par l'étude des trois couples de sécantes qui passent par les quatre points.

Il y aurait donc un grand intérêt à trouver une démonstration directe et rigoureuse du théorème de Tait; mais, dit l'auteur, suivant Texpression de Téminent mathématicien Kirkmann, que j'ai consulté sur ce sujet, le théorème présente cet irritant intérêt qu'il se joue aussi bien du doute que de la preuve (*). Peut-être que la preuve de cette curieuse proposition n'a pu être découverte jusqu'ici, à cause de son extrême simplicité. Ainsi^ les astrologues sont exposés à ne pas voir les beautés des plus humbles objets qui s'étaient à leurs pieds.

Un astrologue, un jour, se laissa choir Au fond d'un puits. On lui dit : « Pauvre bête, • Tandis qu'à peine à tes pieds tu peux voir, » Penscs-tu lire au-dessus de ta tcte? m

(*) Reprint of math, papers from the Educaiional Times, 1881, p. 11 3.