LES NOMBRES TRIANGULAIRES

On appelle nombres triangulaires les nombres que nous venons d'apprendre à calculer, et qui représentent toutes collections d'objets disposés régulièrement en triangles; c'est, par exemple, le nombre des projectiles contenus dans la tranche horizontale d'une pile triangulaire de boulets ou dans la tranche verticale d'une pile prismatique d'obus. Leur théorie a pris naissance, sur les bords du Nil, à une époque reculée; elle a été développée par Diophante, le père de l'Arithmétique, à Técole d'Alexandrie. On trouve dans son traité la proposition suivante qui donne la condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre donné soit triangulaire : L'octuple d'un nombre triangulaire, augmenté de l'unité y est un carré par/ait (M.

Cette propriété devient évidente sur simple lecture du tableau

{fig-7)-

Comme nous l'avons fait remarquer, il est probable que la connaissance de ces nombres provient de l'observation du vol des oiseaux, et notamment du passage des grues et des cigognes, des flamants et des ibis qui volent éparpillés en triangles. Quoi qu'il

{') Algébriquement 8 h i = [2n -h i}'.

Le calcul et les machines à calculer.

en soit de l'origine de ce calcul, je me suis laissé dire que c'est à l'observation des mœurs de ces oiseaux au long bec que les prêtres égyptiens doivent la connaissance de ce précieux et ridicule in-

Fig. 7.

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oj* • • • oj* • • • •

• •Jo •Jo 000

Un théorème de Diophante.

strument médical, de forme cylindrique, dont on trouve la description et le mode de fonctionnement dans les comédies de Molière.

On appelle progression arithmétique une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent, augmenté d'un nombre constant que l'on appelle la raison de la progression ; ainsi les nombres impairs

1, 3, 5, 7, 9, II, i3, ...

forment, à partir de l'un quelconque d'entre eux, une progression arithmétique de raison 2. On démontre comme précédemment

36 Deuxième récréation.

que la somme .des termes d'une progression est le produit du nombre des termes par la demi-somme des termes extrêmes ; et, de même, la superficie du trapèze est la moitié de celle du paral-

Fig. 8.

L'aire du trapèze.

lélogramme de même hauteur et dont la base est la somme des bases du trapèze (^g*. 8 ).

Nous empruntons à Platon notre second exemple.