LE VOL DES GRUES

Les grues voyagent disposées régulièrement en triangles;

Fig. 5.

Le vol des grues.

comment déterminer le nombre de ces oiseaux lorsque Ton connaît le nombre des files ? En d'autres termes, supposons que l'on ait formé tous les nombres à partir de l'unité jusqu'à une certaine limité et que l'on veuille trouver le total des unités renfermées

Le calcul et les machines à calculer. 33

dans cette collection. Pour fixer les idées, cherchons la somme des six premiers nombres, c'est-à-dire le nombre d'unités représentées à gauche de la ligne brisée [fig. 5) par des pions noirs.

Représentons par des pions blancs, à droite de cette ligne, les nombres pris dans Tordre inverse; on voit tout de suite que chaque ligne horizontale contient six unités plus une; et, puisqu'il y a six lignes, le nombre des unités du tableau est six fois sept; donc le nombre cherché est la moitié de 42 ou 21. Le procédé de raisonnement s'applique évidemment à un nombre quelconque, et ainsi la somme des cent premiers nombres est la moitié de cent fois cent-un, ou 5o5o. Donc, pour obtenir la somme de tous les nombres, à partir de l'unité jusqu'à un nombre donné, il suffit de prendre la moitié du produit de ce nombre par le suivant.

Ce mode de raisonnement a son analogue, dans les éléments

Fig. 6.

L'aire du triangle.

de Géométrie, lorsque Ton démontre que la superficie du triangle ABC [fig, 6) est la moitié de celle du parallélogramme ABCD, de même base et de même hauteur. Et d'ailleurs, si l'on y réfléchit attentivement, le théorème arithmétique et le théorème géométrique n'en font qu'un. C'est qu'en efifet les vérités de l'ordre E. Lucas. — Récréations mathém., III. 3

34 Deuxième récréation.

mathématique sont beaucoup moins nombreuses qu'on ne le croit généralement; et souvent deux vérités, qui paraissent distinctes dès l'abord, sont les mêmes et ne diffèrent, pour ainsi dire, que par le vêtement qui les couvre.