LA TABLE DES CARRES

Supposons maintenant que l'on veuille faire une table des carrés de tous les nombres jusqu'à 1000, par exemple; il est évident que Ton peut faire un millier de multiplications de 2 par 2, 3 par 3, ..., 999 par 999; c'est la méthode qui se présente leplusnatu-

38 Deuxième récréation.

rellement à Tesprit. Cette méthode ne vaut rien ; elle est très longue et manque de procédés de vérification. Chacune des multiplications est indépendante des autres et ne peut d'ailleurs se vérifier par le renversement de l'ordre des facteurs, puisque ceux-ci sont égaux. Nous exposerons une autre méthode plus expéditive et plus sûre. Lajig'. lo représente le calcul de la table des dix premiers carrés; la colonne D2, que Ton peut se dispenser d'écrire, contient des nombres égaux à 2 ; la colonne Dj représente la suite des nombres impairs et s'écrit au courant de la plume; on forme ensuite la colonne Q d'après la loi suivante pour tous les nombres de la table. Un nombre quelconque est égal à celui qui est place au-dessus de lui dans la même colonne^ augmenté de celui qui suit dans la même ligne; ainsi 81 =64 4-17 et 19=17-1-2. Mille additions de deux nombres suffisent donc pour construire cette table jusqu'au carré de 1000. Mais ici, direz-vous, les résultats dépendent tous les uns des autres; une erreur quelconque s'ajoutera aux suivantes et, faisant l'effet de la boule de neige qui devient avalanche, bouleversera toute la suite des calculs. Il est facile de remédier à cet inconvénient. Lorsque Ton a obtenu les carrés des dix premiers nombres, il suffit d'ajouter deux zéros pour avoir ceux des nombres 10, 20, 3o, 40, ..., 90; on les écrit immédiatement à la place qu'ils doivent occuper, et l'on doit retrouver ces nombres dans le courant des opérations.

Nous ne saurions mieux juger les deux méthodes que par la comparaison suivante. Deux personnes partent en même temps pour une même destination ; la première a les yeux bandés et se dirigea tâtons, à travers les champs, les bois et les précipices; l'autre monte en voiture, sur une route bien droite, bien éclairée, et les bornes kilométriques lui montrent continuellement le che-

Le calcul et les machines à calculer.

min. Il est certain que la seconde personne atteindra rapidement le but; il est douteux que la première y parvienne sans périls. On appelle progression arithmétique du second degré une

Fig.

Fig

lO

Les carrés.

Les triangulaires.

suite de nombres tels que, si l'on forme la série des excès de chacun d'eux sur le précédent, on obtienne des nombres en progression arithmétique; ainsi la suite des carrés est une progression de second ordre; il en est de même de celle des nombres triangulaires [fig. II).

Deuxième récréation.

t\ TABLE DES CUBES.

Il existe de même des progressions arithmétiques du troisième ordre, du quatrième ordre et ainsi à l'infini. Toutes ces progressions se calculent de la même façon ; nous prendrons pour exemple

Fig. 12.

lO

fOOO

Les cubes.

Ja suite des cubes des nombres entiers qui forment une progression arithmétique du troisième ordre {fig. 12), On calcule directement les quatre premiers termes i, 8,27,64; puis, par soustraction, les trois premiers termes de la colonne Di; les deux premiers de la colonne Dj, et enfin le premier terme de D, ; le reste du tableau se complète par la loi indiquée plus haut.

Le calcul et les machines à calculer, 41

Je dois vraiment m'excuser d'entrer dans tous ces détails ; mais ces explications sont nécessaires pour bien faire comprendre le rôle et la classification des machines à calculer. La méthode que je viens d'exposer appartient au Calcul par différences et s'applique à tous les genres de calcul, soit pour les recueils de comptes tout faits, pour les journées d'ouvriers, pour les Tables d'intérêts et d'annuités, d'amortissements et d'assurances, pour les Tables de logarithmes^ pour les Tables astronomiques, les almànachs nautiques, la Connaissance des Temps, V Annuaire du Bureau des Longitudes, pour la résolution des équations numériques, etc. Son emploi est aussi pratique qu'universel ; aussi devons-nous regretter que les premiers principes de ce calcul aient été supprimés, en même temps que ceux de la Mécanique, du programme des connaissances exigées pour l'admission à l'École Polytechnique et aux autres Écoles du gouvernement.