LES PROGRESSIONS GÉOMÉTRIQUES ET LES NUMÉRATIONS
La numération est basée sur la théorie des progressions géométriques. On appelle ainsi une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au précédent multiplié par un nombre fixe que Ton appelle encore raison de la progression. Ainsi les nombres
I, 10, ïoo, looo, 10 000,
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forment une progression de raison dix, ou la progression décimale; de même les nombres
forment une progression de raison deux ou la progression binaire. C'est à Archimède que Ton doit la théorie des progressions arithmétiques et géométriques. Dans son immortel Ouvrage intitulé VArénaire, il entrevoit la numération décimale écrite; voici ce qu'il écrivait au roi de Syracuse, près de trois siècles avant rère chrétienne :
L ARÉNAIRE d'aRCHIMÈDE.
« Beaucoup de personnes pensent, ô roi Gélon, que le nombre des grains de sable est infini; non pas de celui seulement qu'on trouve aux environs de Syracuse et sur toute la Sicile, mais de celui qui est/épandu sur toutes les parties de la Terre, habitées et non habitées. D'autres, bien qu'elles ne regardent pas ce nombre comme infini, pensent qu'il n'existe pas de grandeur, qu'on ne peut dire le nom d'une grandeur surpassant la multiplicité de ces grains. Par là, il est évident que les personnes de cette opinion, si elles imaginaient un tas de sable capable de remplir et de niveler toutes les profondeurs de la mer, toutes les cavités de la Terre Jusqu'aux sommets des plus hautes montagnes, soutiendraient encore bien plus qu'il est impossible d'assigner un nombre supérieur aux grains d'un tel tas. Mais moi, je vais essayer de faire voir le contraire par des démonstrations irrécusables, au moyen desquelles tu pourras reconnaître que quelques-uns des
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nombres que j'ai dénommés dans mes livres adressés à Zeuxippe (* ) surpassent non seulement le nombre des grains de sable qui puissent remplir toute la Terre, mais encore la masse de sable égale en volume à tout F Univers. >>
Pour Archimède, ce dernier mot désigne la sphère des planètes ou du système solaire. D'après des observations qui portent Tetnpreinte de son génie, Archimède conclut que le diamètre de rUnivers est moindre que 10 millions de stades ou, en mesures métriques, 180000 myriamètres, cequi représente assez approximativement la distance du Soleil à Saturne. D'autre part, Texpérience lui apprend qu'un grain de pavot a un diamètre plus petit qu'un quarantième de doigt, ou 468 millièmes de millimètre, et que le volume de ce même grain de pavot équivaut à celui de dix mille grains de sable. Il a maintenant tous les éléments de la solution.
MYRIADES ET OCTADES.
Archimède démontre ensuite que les volumes de deux sphères sont dans le rapport des cubes de leurs diamètres : il obtient ainsi le rapport des volumes de la sphère solaire et du pavot; en multipliant ce rapport par 10 000, il a le nombre des grains de sable qui rempliraient tout l'espace planétaire. Voici comment Archimède cherche à exprimer ce nombre immense. Les Grecs, comme tous les peuples anciens, se servaient de la numération décimale parlée et employaient les cinq mots : unité, dizaine, centaine,
(M Ces livres sont malheureusement perdus.
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mille et myriade. Puis, les unités suivantes des divers ordres se disaient ainsi : dix myriades, cent myriades, mille myriades, myriade de myriades, et ainsi de suite, en répétant sans cesse les mêmes mots. Mais ils n'avaient pas d'autres mois pour compter ; n'ayant pas eu à considérer ces nombres immenses, ils ont ignoré les milliards I
Donc Archimède considère la progression décimale, mais sans employer le zéro et les exposants,
I , io\ 10^ , . . . . ,IO^ 10% 10% io*% .... io*%
il appelle octade l'ensemble de huit termes consécutifs et trouve, tous calculs faits, que le nombre des grains de sable qui rempliraient le monde solaire est moindre que le dernier terme de la huitième octade, lo", c'est-à-dire que l'unité suivie de soixante trois zéros. « Je sais bien, ô roi Gélon — dit-il en terminant, — que ces résultats paraîtront incroyables au vulgaire, à tous ceux qui sont inexpérimentés dans les sciences mathématiques ; mais cela paraîtra suffisamment croyable, vu les preuves, à ceux qui s'y sont essayés et qui ont fait des recherches sur les distances des corps célestes, sur la grandeur de la Terre, du Soleil, de la Lune et de l'Univers entier; c'est pour cela que j'ai jugé convenable de consacrer à cet objet quelques méditations. »
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