LE JEU DES JONCTIONS DE POINTS
Ce jeu a été étudié par MM. Flye Sainte-Marie et Delannoy.
M. Flye Sainte-Marie a fait sur les fins de partie (c'est-à-dire sur le jeu pris à un moment quelconque après un certain nombre de coups joués au hasard) un travail très complet, dont les développements ne peuvent trouver ici leur place. Nous nous contenterons d'indiquer, d'après M. Delannoy, la marche à suivre pour gagner sûrement, en jouant correctement dès le début de la partie.
Définition et règles du jeu.
Etant donné un nombre quelconque de points, deux joueurs se proposent la partie suivante :
Troisième récréation.
Chacun d'eux, à tour de rôle, joindra deux points par un trait mené à volonté, en évitant toutefois de passer par un autre point et en observant :
lo Que chaque point ne serve jamais d'extrémité à plus de deux traits ;
2<» Que d'un point à un autre il ne soit jamais mené qu'un seul trait;
3** Qu'un trait ne se croise jamais avec un autre, ni avec luimême. (On suppose que les traits sont des lignes sans épaisseur.)
Le premier des deux qui ne pourra plus jouer aura perdu la partie.
Remarque. — Toutes les fois qu'un joueur joindra un trait à un trait, l'autre pourra riposter en fermant la chaîne ainsi formée. On pourra donc ne pas s'occuper des coups consistant dans la jonction de deux traits; on n*aura à considérer que la jonction d'un point à un point ou à un trait, ou bien la continuation ou la fermeture d'une chaîne.
Il résulte de là que la partie sera perdue par le joueur auquel on livrera un jeu ne contenant que des traits, ou bien des traits et un point, car il est évident qu'on ne modifie pas les conditions du jeu en considérant ce point comme un trait.
Marche du jeu.
Le nombre des points donnés peut être 4/2, 4^2 -h i , 4^ -h 2 ou 4^ -h 3. De là quatre cas à considérer.
Il est facile d'étudier les parties pour « =: o et «= i, et d'en déduire la marche à suivre pour les valeurs plus élevées de n.
Le jeu du Caméléon et le jeu des jonctions de points, loi
Il est évident que si le nombre des points donnés est o ou i, le premier joueur A ne peut pas jouer et perd la partie.
Si le jeu se compose de 2 points, A les joint l'un à l'autre et gagne, car le second joueur B ne peut évidemment pas jouer.
Si le jeu est formé de 3 points, A en joint deux et gagne, car il livre à B un jeu composé d'un trait et d'un point.
Cas de 4 points. — A en joint deux, B joint les deux autres et gagne, car il livre à A un jeu composé de traits.
Cas de 5 points. — A en joint deux, B fait de même et gagne pour la même raison que ci-dessus.
Cas de 6 points. — A joint deux points, B ne peut pas en joindre deux autres ; car il perdrait, A joignant les deux points restants et lui livrant un jeu composé de traits. B joindra donc un point à un trait et formera ainsi une chaîne ouverte. A ne pourra plus que jouer l'un des trois coups suivants :
i<» Fermer la chaîne; il perdra en laissant à B un jeu de trois points.
2* Joindre un point à la chaîne; alors B fermera la chaîne en enveloppant un point et gagnera en laissant à A un jeu de un point.
3° Joindre deux points; B joindra à ce trait le dernier point. A ne pourra plus que joindre une chaîne à l'autre, et B gagnera en fermant cette nouvelle chaîne.
Ainsi A perd, quel que soit le coup qu'il joue.
Cas de 7 points. — A joint deux points; B ne peut pas en
Troisième récréation.
joindre deux autres, sinon il perdrait; car A, en joignant encore deux points, lui livrerait un jeu composé de traits et d'un point. Le joueur B joindra donc un point au premier trait tracé; A fermera la chaîne en enveloppant un point et gagnera en laissant à B un jeu de trois points.
Cas de 4 « ou (4« -1-2) points.-— A joint deux points, Bfait de même, et le nombre des points est diminué de quatre. Il est évident que, si Ton continuait ainsi, B finirait par livrer à A un jeu de quatre ou de six points, et gagnerait la partie. A devra donc, après le (2|?)'«"»<^ trait tracé, joindre un point à un trait. B fermera la chaîne en enveloppant un point et tous les traits tracés. Il livrera à A un jeu formé de ^{n — p) — 2 points.
En continuant ainsi, il est évident que B finira par livrer un jeu de 4 ou 6 points* A perdra donc toujours quand le nombre des points donnés sera pair.
Il ne sera dérogé à la marche indiquée que si, le nombre des points étant égal à 4«, on a ;? = n — i. Dans ce cas, le jeu se conipose de 2 (n — i) traits et de 4 points.
Si A joint l'un des quatre points à un trait, B devra prolonger, en la joignant à un trait, la chaîne ainsi formée. A ne pourra plus que jouer l'un des quatre coups suivants :
I** Prolonger la chaîne en la joignant à un trait; B fera de même (ce qui sera toujours possible, le nombre des traits restants étant impair);
2^ Prolonger la chaîne en la joignant à un point; B la fermera en enveloppant les traits et un des deux points restants.
3' Fermer la chaîne; B joindra deux des trois points restants;
Le jeu du Caméléon et le jeu des jonctions de points. io3
4° Joindre deux points; B fermera la chaîne en enveloppant tous les traits; dans ces deux derniers cas, B gagnera en livrant à A un jeu composé d'un point et de traits.
Cas de (4»+ i) points. — A joint deux points, B fait de même. Pour ne pas arriver à un jeu de cinq points, qui le ferait perdre, A doit, après le [2pY^^^ trait, joindre un point à un trait; B fermera alors la chaîne en enveloppant tous les traits, et livrera à A un jeu de 4 [n —-p) traits, c'est-à-dire un jeu composé d'un nombre pair de points, qui fera perdre le joueur A.
Cas de (4^+ 3 ) points. — A joint deux points; si B fait de même et si Ton continue ainsi, A finira par livrer à B un jeu de sept points, qui fera perdre B. Le joueur B devra donc, après le (2^ -h ijième trait tracé, joindre un point à un trait; A fermera la chaîne en enveloppant tous les traits, et livrera à B un jeu de 4 (w — p-Hi) points, c'est-à-dire un jeu composé d'un nombre pair de points, et B perdra la partie.
En résumé, A gagnera quand le nombre des points donnés sera égal à 2 ou à un multiple de 4 moins i; il perdra dans tous les autres cas, si l'on joue correctement.
Il y a donc un désavantage marqué à jouer le premier, quand le nombre des points donnés est inconnu. Il y a alors trots à parier contre un que le premier joueur perdra la partie.
