2TT
Observons qu'on aurait pu éviter la discussion relative à la valeur du résidu y, en tenant compte de ce fait que J est évidemment une quantité réelle et positive; or des trois égalités
la seule qui donne à J une valeur réelle est la dernière. Passons à l'intégrale K= / ^ — ■ La foncti
F{z)= jj=== n'admet, comme points critiques, que les points z = o et j5 = dii, et une quelconque de ses dé-
lon
terminalions, soit F4(^), est uniforme à l'extérieur de
toute courbe fermée C entourant le segment — iv. ^4-i.
On a donc
/ Fi(z)dz = — 2 lie Y,
Y désignant toujours le résidu pour z = co de la fonction
Prenons comme contour C un contour formé par deux
droites />//w/i,/?' /'m' n' {/Ig* 75), parallèles à Ox et équi-
Fig. 75.
iT^
nKy
distantes de cet axe, et par des arcs de cercles décrits des points — I , +1 et O comme centres. Partons d'un point X'—bi de mn avec la détermination ^\{z) très voisine de la détermination réelle de F(^), et décrivons le contour dans le sens direct. Quand on fait tendre vers zéro la distance 26 des deux droites et les rayons des cercles^
l'intégrale / ¥x{z)dz tend vers l'intégrale
*^ mn
'0 yx{\—x'^)
l'intégrale étendue au segment rtlm! après qu'on a pivoté autour du point + 1 tend vers
l'intégrale / ¥x{z)dz^ calculée après qu'on a décrit l'arc
Jl'pr
m l\ a pour limite
— ; -T dX = —
l'intégrale / F,f(s)rf^, calculée après qu'on a pivoté autour du point — i , a pour valeur
X'tn
dx =
Enfin, les intégrales étendues aux arcs de cercles tendent vers zéro (voir la remarque de la page 443). On peut donc écrire
2Kfl j = — 2 ITTY.
Pour calculer y» posons -s = =; il vient
îrt-i
développons (i — Ç*) ' suivant les puissances croissantes de î^^ ; le coefficient de Ç^" est égal à y- Adoptons d'abord la détermination du radical qui est égale à i pour C = o; on a
(i-Ç») » = n-iç»^-i^C*
la valeur de vest donc égale àla quantité '';'' , — — multi-
pliée par i, - ou ~> suivant la détermination du radical
que l'on choisit. Une discussion analogue à celle qu'on a faite plus haut montrerait que la détermination du radical qui correspond à ^\{^z) est celle qui est*égale à e^ pour
48o QUATRIÈME PARTIE.
Ç = o. Mais celte discussion est inutile ; Pintégrale K est certainement réelle, et des trois égalités
la dernière seule donne pour K une valeur réelle, à savoir
la valeur -— — r-r^ 5 •
Développer ^intégrale définie
suivant les puissances croissantes de a.
Posons X = ai; l'intégrale considérée devient
fiCtZ
La fonction F (2) = ■ n'ayant d'autres points crî-
tiques que ^ = =ti 1, l'intégrale prise le long d'un contour
fermé entourant le segment — i -|- i [avec la déter-
mination 'P\{z) de F(^)] est égale à — ^.ii^y y étant le résidu de Ft(z) pour z = 00. En faisant tendre, comme précédemment, le contour de G vers le double segment
— I -H I , on trouve
aJ(a) = — atitY;
pour calculery, posons z= yf et développons ~ ^ - en
série de Laurent 5 on a
fiC T i J ! L.
— ZÏZl
faisons le produit de ces deux développements (qui sont absolument convergents), et cherchons le coefficient de JJ, coefficient qui est égal à — y; il vient
^ .r I aï i.3...(2t/i — 1) a2« 1
I I (l.a)^ (l.2.../ij- J
en posant --- = a.
Comme J(a) est positif pour a réel, il faut le prendre le signe — devant i dans l'expression de — y, afin que — 2iTry soit positif *, on a donc
on voit que J (a) est une fopfl|.iojï,,holomorphe de a.
avec a = — -;
■'-^■^ •^+Rrôiaêàia'U<*'-ft/^^^
•:;f!C»' ol i\:ity/-n JO ."s J:i"..q f^^ -r(!;iin 'r''lo-':n .■ •"■■•^
j-o La'M'»^''' Wîi^' (^^^' *•«' ^J^i/^ /w>il..'-' ^!:v--'U ■■î, ■ "• .p compris entre -^ - et -\ aahs la première intégrale a
{i^$PfUppQ^é\Helrei c(myyiftis?et;êitft ^.etirj^'.y ..r \ '-. -i-
T. — Rf'c. 3i
Pour calculer la première intégrale,
H-op
arc tSingx d.r a?' — aar sina-t-
observons que la fonction arc tangr = — . log r^ admet
comme points critiques les deux points + 1 et — z, et qu'elle s'accroît de tz quand z pivote autour du point i dans le sens direct.
Si nous décrivons sur Ox comme diamètre {Jig* 76) un
Fi g. 76.
m/ co
demi-cercle G de centre O et de rayon R très grand, la fonction ¥(z) = -
arc tang^
2^ sma -+- 1
admet à l'intérieur de ce
demi-cercle le point critique 5 = -f- i. Mais si nous quittons la circonférence G avant d'arriver à l'axe des y pour suivre une parallèle np à Oy jusque dans le voisinage du point i, pivoter autour du point t, et revenir le long d'une parallèle p^ ni à Oy sur le cercle G, il n'existe plus de point critique de F (s) à l'intérieur du contour {Imnpqp^n'l) ou r : quand on part de l'origine avec la valeur zéro de F(z), la détermination ^\{z) de F(z) ainsi définie est une fonction uniforme à l'intérieur du contour F et possède à l'intérieur de F le seul pôle z = (sina + «cosa)
OU A. Le théorème de Cauchy donne donc ici
Fi{z)dz = a lira,
en appelant a le résidu de Fi (z) au pôle A.
Quand on fait croître R indéfiniment, l'intégrale étendue au demi-cercle G tend vers zéro, car le long de ce demi-cercle la détermination prise pour arc tangz diffère
peu de - > et le module du coefficient de dz est de l'ordre
de p7« Quand on fait tendre en même temps vers zéro la
distance aft des segments /?/?, n'p' et le rayon r du cercle c de centre i, l'intégrale étendue à l'arc de cercle pqp' tend vers zéro, car cette intégrale (pour r suffisamment petit) est moindre en module que
-T-^- û?6 ou -. — 5—
sina sma
(^voir la Remarque de la page 443)*
D'autre part, soit é -h ty et — b -h iy deux points des segments/7/1 elp'n!\ la différence F< {b + iy) — Y^ ( — b-\-iy) est sensiblement égaie à
— r (iyY — 2 1^ sin a -h I
puisque arc tang^ diminue de tt quand on tourne autour du point -J- i dans le sens négatif; les deux segments /i/?, n! p' étant parcourus le premier dans le sens /i/?, le second dans
le sens p' n!-, l'intégrale totale étendue à ces deux segments
/ j — : — étendue à l'axe z^ — 2>5sina-4-i
des y du point i* jusqu'à l'infini, c'est-à-dire l'intégrale — iTu / ; — ^ r« Nous Douvous douc écrirc
"*"* arctanff^^a: . /•" dz
; — : = 2,nza.
r arctang^aa: P
J ^ x^ — IX smx-^i J^ I —
2 lésina — y^
4^4 QUATRIEME PÀKTIE.
Le résidu a du pôle A est éeral à ang(sin« — sa) Texpression
I — a lésina — y* acosa \^h- cos a -i- tsina y — cosa -4- tsina/ a pour intég^rale firënérale log*^- — — ^. — ; il
* o D acosa ^ jr — cosa -f- tsina
vient donc
- iTz , I — cosa + tsince it , . . .
J = loff .-. 1 arc tanfi'rsma -4- icosa)
acosa ° i-i-cosa -h i sina cosx
iic , I — cosa-f-isina iz , i — cosa-4-isinx
log
lOg
i-i-cosa -+• i sina
log
I — cos a -f- 1 sina
1 + cos a -h isina
\r\rr
/i — cos a -f- isina
acosa " I + cosa -h isina aicosa "i-hcosa — ismi
Ï7C , /i — cosa-f-isina i -h cosa — e sina\
= log ( 7-^ — X —. — )
acosa ^ \i H- cosa-i- t sma i — cos a -h isma/
log(cosa — isina) = X (— ta -i^^ikiz)
acosa "^ acosa
acosa
(a zh aAric),
k étant un entier positif, qui dépend de la détermination du logarithme qu'il convient d'adopter d'après la valeur choisie pour Fi{z) et le chemin d'intégration. M.is on aperçoit, sans discussion, que k doit être nul pour a = o, car le coefficient* de dx est alors une fonction paire de a: et J est nul. Comme J est une fonction continue de a
quand a varie entre o et -, on a
Tca J = ^
acosa
f -7—5 ^:ïï- dx. La fonction
arc sinz = - \og( iz + y/i — z^j admet comme points cri-
tiques les points z = 1', z = — i, z = ao. Quand on pivote yutour du point + 1 dans le sens direct, on revient au
point de départ avec la valeur tz — a de Taxe, a désignant la valeur initiale; quand on décrit une courbe fermée entourant une fois le segment — i H-ij on revient au point de départ avec la valeur 27t + a. Ceci posé, décrivons du point O comme centre (Jlg' 77) iin cercle G de
Fig. 77.
rayon Rtrès grand, et quittons ce cercle avant d'arriver à Taxe des x négatifs pour décrire le lacet {pqlmnrnl m' q' p') autour des points -|- i et — i. Soit F le contour fermé ainsi défini ; à Tintérieur de ce contour, la détermination F|(z) de F(-3) qui est très voisine de o au point m est une fonction uniforme de z admettant les deux pôles + i el — i. Si Ton décrit le contour F dans le sens inverse,
Fintégrale l¥^(^z)dz^ étendue à ce contour, est égale à
— 2iTC(a-f-p), en appelant a et ^ les résidus deF4(^) aux points i et — i.
Quand on fait croître R indéfiniment, l'intégrale étendue à C tend vers zéro, car arc sin z devient infini comme
un logarithme, et le module M de F|(2) est de laforme ^» € tendant vers zéro avec ^ • ^
D'antre part, l'intégrale / Fi {z)dz tend vers 2K quand
le lacet tend à se confondre avec l'axe des x ; le long de Vn!y la valeur de arcsinjs est sensiblement de la forme ic — a, si a désigne la valeur de arc sinz au point de In qui
a même abscisse; l'intégrale / F| {z)dz a donc pour li-
mite 2 K — / y~ i\i = ^ K.- Enfin, en un point de q'p'^
la valeur de arc sinz est sensiblement de la forme aie + a, a désignant encore la valeur de arc sinjs au point de pq qui a même abscisse ; la quantité
r Vi{z)dz— f Fi(z)dz
pq ^pq-
a donc, pour limite / z ^ = -• Nous pouvons
écrire, d'aptes cela (*),
le résidu P du point z = — i est égal à la valeur (pour
3 = — i) de la dérivée de la fonction irr-: cette dé-
rivée a pour expression
arcsin^/ nz \ z i
et sa valeur au point i est égale à 7 x -^ — 7=; comme nous
4 rfc y 2
partons d"j point m avec la valeur de l'arc sin très voisine de zérO; par suite avec la détermination positive du ra-
O Les intégrales prises le long des arcs de cercles de centre -h i ou — I tendent vers zéro avec les rayons de ces cercles, puisque la fonction F,(^) reste finie^ux points +1 et — i.
EXERCICES sua LA THÉORIE DES FONCTIONS. 487
dical v/i — ^-, nous arrivons au point — i (en suivant l'axe des^ négatifs) avec la valeur positive du radical, et p
est égal à — — • On trouve de même que a est égal à
— T- X — — > le radical devant être pris avec le signe — . 4 ±1/2
Il vient^ en définitive,
2/2 4 \v/2 ay
Problème n"" 19.
Valeurs des intégrales
dx
li~^.<^- et r,og(.-.i)--
La fonction F (2) = ^!- ^ admet comme points critiques les points ^ = 0 et z = oo. Traçons {fig- 78) du point O comme centre un cercle G de rayon très grand R, et abandonnons ce cercle avant d'atteindre l'axe des x positifs pour décrire un lacet Impm' V autour de l'origine. Partons d'un point z de ml avec la détermination F| {z) de F(j5) très voisine de la valeur réelle çt positive de F(;r). La fonction ^\{z) est uniforme à l'intérieur de l'aire comprise entre le cercle G et le lacet, et possède dans cette aire le pôle double ^ = — i, de résidu a. Le théorème de Gauchj donne donc
Jf Yi{z)dz = iiTza,
r désignant le contour total formé par G et le lacet. Quand
on fait croître R indéfiniment, l'intégrale / F^ {z) dz^
QUATRIEME PillTIE.
étendue au cercle C, tend vers zéro, car |F|(z)|x|^|^ lend vers zéro quand (z) croît indéRniment. D'autre part, quand le lacet tend à se confondre avec 0^;, la valeur de F| (s) en un point a; — ti de ml est très voisine de
^x log a?
et en un point x -{- e/ de m'/' la valeur de F^ est très voi-
sine de — - — -. — - — rj -y car ^z change de signe et loge
diminue de 2«7t quand m pivote autour du point O dans le sens inverse.
Enfin, l'intégrale étendue à l'arc de cercle m/? m' décrit du point O comme centre, lend vers zéro avec le rajon de ce cercle {voir la Remarque de la page 443)*
L'intégrale étehdue au lacet a donc pour limite
(i-h xy
GX
s/x dx
Quant au résidu a du pôle double -3 = — i, il suffit, pour le calculer, de déterminer la valeur au point -5 = — i
EXERCICES sua LA. THÉOaiE PES FONCTIOIVS. 4^9
de la dérivée première de la fonction y/^s logz, dérivée qui est égale à — -^r logs -|- ^-— ; pour fixer le signe de sj — i et
la valeur de log — i , partons du point z = x — e t de m / avec les valeurs de y/i et de log -3 très voisines respectivement de -I- \lx et déloger, et suivons le lacet jusqu'au point /?, puis suivons Taxe des x négatifs jusqu'au point — i ^ comme nous avons décrit ainsi un demi-cercle autour du point O dans le sens inverse, nous arrivons au point
^ = — Ç^ de l'axe des x avec la valeur — ^ y/Ç^ = — i$ de )/z et avec la valeur logÇ-^ — iiz de log5. Le résidu a
de F< {z) est donc égal à — ;— . -+- — ; on peut donc écrire,
en a
ppelant J l'intégrale cherchée f ^'^^^ r/-, , - r -\-)/xdx . /it . A
L'intégrale 7=1 t-^ — r peut se calculer à l'aide des
méthodes élémentaires; mais on obtient immédiatement sa valeur en lui appliquant le même raisonnement qu'à l'intégrale J; on trouve — 2y=2iiiai, si «i désigne le
résidu pour ^ = — i de la fonction j-^ — - ? résidu qui est
égal, d'après ce qui précède, à — j.zz= = — — :• En définitive,
2J=2i7r( l ) = 2TZ, 4 = 1t.
On pouvait éviter toute discussion relative à la détermination de ^z et de log>s au point z=: — i, en remarquant que J est une quantité réelle et positive, de même
quey ; or on a
QVÀTRitME PARTIE.
A: désignant un entier positif, négatif ou nul. Pour que J soit réel, il faut que le coefficient de 2iu se réduise à di/, et, pour que J soit positif, il faut que i soit précédé du signe — . D'où la valeur de J sans ambiguïté. Calculons maintenant l'intégrale
/log ( a? H — \dx —A — d.
Observons que, si Ton change a; en r-9 K devient
en sorte que K est égal à
/ loff ( a? H — ] dx 1 / 1V çZ = iK,
La fonction
Iog(^+î)
i-hz^
peut s'écrire
[log(^ -+- 0 -+- log(a — 0 -- log^].
Considérons d'abord la fonction —^^ — r— ^; décrivons
du point O comme centre un demi-cercle C dans le demiplan supérieur xOy, et partons du point O avec la valeur ~ de log {Z'\- i); la fonction cp,(^) = ^^^ ^ — est uniforme à l'intérieur du demj-cercle G, et possède dans ce
domaine le pôle z = -\- i. Si l'on observe que l'intégrale
/ (Di{z)dz^ étendue à la demi-circonférence C, tend vers
zéro quand le rayon de G croît indéfiniment, on voit qu'en appelant a le résidu de cpi (z) au point O, on peut
écrire
d'après la détermination choisie pour log(^ -f- i).
Considérons de même la fonction <p 2 (^) = ■ ° ^ ->
uniforme à l'intérieur d'un demi-cercle G' décrit de O comme centre dans le demi-plan inférieur; si l'on part de
z = 0 avec la valeur de log(^ — i), et, si l'on ob-
serve que l'axe des x est parcouru de + oo à — 00 quand on décrit le contour dans le sens positif, il vient
paf suite, l'intégrale réelle / -^ ^dx on
2 I l2&iL±pda;
est égale à STrloga.
Enfin, l'intégrale / — ^—^dx est nulle, car on a On arriverait, d'ailleurs, à cette conclusion en intégrant
iogz
la fonction — ^ , le loner du demi-cercle G et de Taxe
des X.
En définitive, on voit qu'on a
et
dx = irloga,
logf a?-4-Mû^ = -^loga-
Problème n° 20.
Valeur de V intégrale
Posons e^=iy\ l'intégrale cherchée J devient
Pour évaluer cette dernière intégrale, partons de la fonc-»
tion P(^) = - log __ ; traçons du point O comme centre (Jig» 79) dans le demi-plan des ^ positifs un demi-cercle C,
TTV ~J 0 -fJ
w jy
de rayon très grand R, et des points O, — 1,-1-1 comme
EXERCICES Sun LA THÉORIE DES FONCTIONS. 49^
centres trois demi-cercles c, c', (? de rayon très petit r. Partons d'un point très éloigné sur Taxe des x avec la valeur réelle Fi de F(^); la fonction Y^ (^) est holomorphe dans la portion du demi-plan supérieur compris entre le demi-cercle G et les demi-cercles c, V, d'^ et l'intégrale
/ Y\ (5) dz^ étendue au contour de ce domaine, est nulle.
La fonction F| (js) s'annule pour ^=00 comme — j car
la détermination choisie pour log __ ou log( i -\ '—•)
estdelaforme > e tendant vers zéro avec -• L'intégrale
I Fi{z) dz prise le long du demi-cercle G tend donc vers
zéro quand R croît indéfiniment.
D'autre part, le segment — i 4-1 est parcouru dans
l'intégration avec la valeur log îtz du logarithme,
car la partie imaginaire du logarithme décroît de in quand on décrit le demi-cercle c'' autour du point -4- i dans le
sens direct. De même le segment — i m est parcouru avec la valeur réelle du logarithme, parce que la partie imaginaire du logarithme s'accroît de in quand le demicercle c' est décrit (autour du point — i)dans le sens direct. Enfin, pour des valeurs de a: égales et de signes contraires,
les valeurs réelles de log ■ (pour |^| >> i), ou celles de log - — - (pour | a: | < i), sont égales et de signes contraires; il suit de là que les intégrales l F^{z)dz^ étendues aux deux segments — R — (14-/') ^t (i-+-r) R se doublent. Les intégrales / F< {z) dz^ étendues aux deux
segments — (i -f- r) — r et + /• ( « — '0 se décom-
4g4 QUATRIEME PARTIE.
posent chacune en deux parties :
/, /ar-4-i\ dx r dx
les parties réelles se doublent, les parties imaginaires se détruisent.
L'intégrale étendue aux segments de Taxe des x est
donc égale à 4 / 'og ( ] x — et a pour limite 4J
quand p ^^ ^ tendent vers zéro.
En6n, quand r tend vers zéro, les intégrales étendues aux cercles &et(f tendent vers zéro {voir p. 443); l'intégrale
peut s'écrire
|e| tendant vers zéro avec r; la limite de Texpression précédente est donc — it^. D'où la relation
4 J — "ït* = o, J =
TTÎ
Problème n° 21.
Résidu pour z=-co de la fonction
Les points critiques de la fonction
F(z) = e«log
sont a et ^; la valeur de F(2) s'accroît de 2,iize^ ou de
EXERCICES SUR LA THÉORIE DES FOITCTIOirS. 49^
— 2«'ree*, suivant qu'on tourne autour du point 5 = a ou du point z=^ dans le sens direct. Les différentes branches de F(^) sont uniforines à l'extérieur d'un cercle quelconque entourant les points a, (î. Considérons la détermination du logarithme, qui s'annule pour z = co] si l'on
• pose z= ■=' on a pour C voisin de zéro
^ \ I 2 n-hJ I
Si F|(z) représente la détermination de F(^) qui correspond à cette valeur du logarithme, toutes les autres déterminations sont de la forme F| (z) -I- a/^ite^, k étant un entier quelconque positif ou négatif; les différentes branches de F(z) ont donc même résidu pour ^ = 00, car
(e* étant holomorphe) l'intégrale likT: 1 e^dz^ étendue à
une circonférence de rayon quelconque, est nulle.
Le résidu de F| {z) s'obtiendra en faisant le produit des deux séries (i) et (2)
r III II
et en changeant le signe du coefficient de !^. Ce coefficient est égal à
I H ! 5" -t- . . . -h , —, -f- . . . I 1.2 1.2.3 (ai-I-i)! J
-j-pTi-H i -f- J^ -h... -h , ^'\, -4-...1 =e'J—e^,
•^ L ^''^ 1.2.3 {il -i-l)! J
Le résidu cherché est donc e* — eP.
On arrive au même résultat en observant que le résidu
est égal à — ^ / ¥^{z)dz^ C étant un cercle de rayon très
■ V- »vi
grand qu'on parcoure dans le sens inverse. Or riniégrale ne change pas quand on déforme le contour d'intégration de telle façon qu'il comprenne toujours à son intérieur les points a et ^, et notamment quand on le réduit à un con-
Fig. 80.
ce
tour formé de deux parallèles au segment a, p et de deux arcs de cercles décrits de a, ^ comme centres; si Ton fait tendre la distance des deux parallèles vers zéro, ainsi que les rayons des deux cercles, l'intégrale étendue à ce lacet
dans le sens direct a pour limite 2«tc / e^ dz^ car les
intégrales étendues aux arcs de cercle tendent vers zéro, et le segment a^ est parcouru une première fois dans le sens a^, une seconde fois dans le sens [3a avec la même valeur de la fonction diminuée de liTze^.
On trouverait de la même manière comme résidu pour ^ = 00 de la fonction
la valeur
F(>5)= ^«e- Jog 5
(/i désigne un entier positif).
Problème n ' 22.
Résidu pour z-=co de la fonction
F(z)= — -(2>s*— i)e*'(arc tan g 3)'.
Les points critiques de la fonction F(j5) sont -f-j et r- j. Considérons la détermination de arctangz qui, pour z
très gi^and, diffère peu de -; on a, en posant ^ = -, dans
le domaine de J^ = o :
arc tang« = arc tangÇ = Ç-^V — -- h-....
SiF|(^) est la détermination de F(z) qui correspond à cette valeur de arctang^, toutes les autres déterminations de F(j5) sont de la forme
Fi(.5)h — r(2.32— \)e^^{'ikn arc tang^s -h A*?:^),
A" désignant un entier positif ou négatif. •
Cherchons le résidu de F<(z); pour simplifier la dis> cussion relative au pôle 5 = 0, posons
Fi(3)==(arctangz)2|-(^2---^,je-'-i-~J - i^(arc lang^)î = (p(.5).-^(4î),
et cherchons les résidus, pour 2 = 00, de <p et de if. Tout d'abord, le résidu de if{z) est nul, car^ pour z très grand,
TT
itiz") est de la forme — — r— > s tendant vers zéro avec -•
Pour calculer le résidu de cp(z) (qui est holomorphe à l'origine), observons que ce résidu est égal à l'intégrale
— T- / o(z)dz étendue, dans le sens inverse, à une courKe
fermée quelconque entourant les points — /et -+-/. Ré- T. - Rw. 3a
49^ QUATlllÈME PARTIE.
duisoDs celle courbe à être un lacet L {fig- 81) formé de deux parallèles //i, V rt! à Taxe des y et de deux arcs de cercles de centre -h « et — / : nous partons du point m (situé sur Ox à droite de O) avec la valeur de arclang^ très voisine de zéro, car en partant d'un point très éloigné
sur Ox avec la valeur - de arc tang^ [qui correspond à
Fig. 81.
ne
TU
Fj(z)], et en suivant Taxe des x positifs, on arrive au point O avec la valeur zéro de arctang^; quand on décrit le lacet dans le sens inverse, on arrive ensuite au point m! avec la valeur de arc tangz très voisine de it, car on a pivoté autour du point '- — i dans le sens inverse. D'après cela, faisons tendre vers zéro la distance des droites //i, tiiL et les rayons des deux cercles : les intégrales étendues aux deux cercles tendent vers zéro et Tin-
tégrale / «?(^) dz a pour limite '^■^^J LV "^T^j^ >'— -~ (^.arctangty-hTt)^^,
la détermination de arctangz étant celle qui s'annule avec Zj elj par suite, changeant de signe quand on change z- en — z. La fonction
étant une fonction impaire de y y son intégrale prise entre
— I et -f-i est nulle, et l'expression précédente se réduit à
Le résidu cherché est donc égal à ii ( i , j •
Problème n^ 23.
Étudier les différentes déterminations de Vinté-
r* dz
grale I ^ — » en supposant qu'on parte de Vori-
Jo /i — z^
gine avec la valeur -^i du radical.
Les points critiques de la fonction /(z)= ^ sont
VU — -s^)
z = — 1, -S = -|-i et ^ = 00 : si l'on pose z = p, /(z) est
de la forme Ç-A(Q, A étant une fonction holomorphe
de Ç dans le domaine de Ç = o. Une rotation, dans le sens
direct, autour d'un des points z = ±ij multiplie par — i
la valeur initiale de/(>3); une rotation autour du segment
— i-'^'^^H-i de Oœ change le signe de/{z):
Ceci posé, parlons d'un point de l'axe des y négatifs voi-
. sin de Torigine avec la valeur de j{z) voisine de + i, et
décrivons entre O et ^ un chemin quelconque L assujetti
seulement à ne pas rencontrer le segment — oo"^^+i de
5oO QUATRIEME PARTIE.
Taxe des x; la valeur /i(z) de/(z), avec laquelle on arrive ^n Zf est bien déterminée (indépendante du chemin suivi), pourvu que z ne fasse pas partie du segment — 00^*^^4-1. Les autres valeurs àe/(z) sont
Intégrons maintenant la fonction /,(z) le long d'un chemin L, par exemple le long du segment qui joint O el>s:
l'intégrale / /t(z)dz = Fi(z) est indépendante du che-
min L suivi, car /t{z) est holomorphe entre deux tels chemins L et L'.
Au lieu de suivre un chemin L, commençons par aller
du point O au point i — £ de Taxe des a?, décrivons un
petit cercle c autour du point critique -s =1 et revenons
au point O, puis suivons un chemin L de O en z. Quand
. on revient à l'origine, la valeur de l'intégrale est égale à
d'autre part, le chemin L qst parcouru avec la détermination/2(2)= — i/i(z) de f^ en sorte qu'on arrive en z avec la valeur
de l'intégrale. Si au Heu de tourner une seule fois autour du point ^ = -{-1, on décrit deux fois (ou trois fois) le cercle, on arrive en z avec la valeur
Fz{z)=2U) — Fi(z) [0UF^( Z)=:(l— i)(li -^ iFi(z)]
de l'intégrale.
Enfin, avant de décrire le chemin L, on peut décrire un
(») Il suffit, pour s'en rendre compte, d* observer que cette valeur est iudépendante du rayon de c et de faire tendre ce rayon vers zéro.
EXERCICES SUR LA. THÉOtllE DES FOWCTIOIVS. 5oi
nouveau lacet : on suit l'axe Ox jusqu'au point i — e, on tourne une fois autour du point z=i, on revient au point O, puis on va au point — (i — e), on tourne trois fois autour du point z= — i et l'on revient en O, avec la valeur +1 du radical et la valeur 2(1 -f-t)^ ^® l'intégrale; en parcourant ensuite le chemin L, on arrive en z avec la valeur
2(1-4- i)a> H- Fi(^)
de F. En tournant trois fois autour de ^ = 1 et une fois autour de z= — i, on voit qu'on arriverait en z avec la valeur 2(1 — i)a) +Fi(j5); d'où il résulte que 2(1 — i)(ù et 2(1 4- i)(ù sont des périodes de l'intégrale, et que, en combinant convenablement les lacets précédents, on pourra arriver en z avec une valeur quelconque de F (2) de la forme
Fi(^)-+-2a)(/n-!-m), — t Fi(2)-h wf 2/n -f- i-+- 1(2/1 -h i)], — Fi(^)-H2a)(/n-4-i/i), -4- iFi(z)-H to[2W -h r-h 1(2 n -hi)],
m et n désignant des entiers quelconques, positifs, nuls ou négatifs, de même parité.
Je dis que ces valeurs constituent les seules valeurs possibles de F(j5), autrement dit que F(z) n'admet pas de périodes distinctes de 2(1-1- if)(o et 2(1 — /)w. Suivons, en effet, entre O et z un chemin absolument quelconque : nous arrivons en z avec la valeur F(z) de l'intégrale et avec une des quatre valeurs de/y soit la valeur /2=: — i/; revenons alors au point O en suivant, en sens inverse, un chemin L et le premier lacet (celui qui tourne une fois autour du point -i-i); nous décrivons ainsi un contour fermé C qui nous ramème à l'origine avec la valeur initiale -+-i de/{z); la différence entre F(z) et F|(j5) est égale à
l'intégrale A= j f'^z) dz prise le long de ce contour.
Tout revient à montrer que la valeur de cette intégrale est
5oa QUATRIÈME PÂ.11TIE.
de la forme am(i -f- i)(o + 2/1(1 — t')o), m et n étant des entiers quelconques.
Marquons sur le contour C (Jig» 82) les points successifs M<, M2, Ms, . . ., où ce contour traverse l'axe des a:, et soit P| un point de C pris entre M « et M2, Pa un point pris entre M2, Mj, etc. Il nous est loisible, en arrivant en P< , d'aller au point O et de revenir au point P< , sans que la valeur de l'intégrale soit changée, et la même remarque s'applique aux points Pj, Ps, .... Nous décrivons aussi des contours fermés successifs C|, C29 • * • dont certains renferment le point H- 1, certains le point — i, d'autres
enfin ne renferment aucun point critique; nous suppri-
Fig. 83.
pT ^/
mons ces derniers immédiatement. Si tous les contours C|, C2, . . . sont ainsi supprimés, l'intégrale  est nulle; sinon, l'intégrale prise le long du premier contour restant, soit G|, est égale (au signe près) à (i-h /)(o (*) et l'on revient au point O, après avoir parcouru C|, avec la valeur — i àe/(z); l'intégrale prise le long du contour suivant est égale à — t(i+î)(i> (au signe près), c'est-à-dire à I — z(o, et l'on revient en O avec la valeur ( — i)X{ — 0 ou — 1 de f{z), et ainsi de suite.
(*) Si, par exemple, G, renferme le point —i, l'intégrale prise le long de C, est égale à l'intégrale prise le long du lacet O^ ^ — i qui tourne une fois autour du point — i, car on peut déformer G^ d'une façon continue de façon à Tamener à coïncider avec ce lacet, sans rencontrer de singularité de /(«).
EXERCICES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. 5o3
Pour qu'on revieane à l'origine avec la valeur 4-i, il faut que le nombre des contours C|, C2, • • • (non supprimés) soit un multiple de 4> et l'intégrale A est de la forme
le nombre des termes du coefficient de (o(i -|- i) étant un multiple de 4j A est donc bien de la forme
m et n étant des entiers quelconques. c.q.f.d.
Observons que l'intégrale l f{z)dz n'a pas de points
logarithmiques ni à distance finie, ni à l'infini. En effet, les infinis z =±1 de/(^) sont d'ordre moindre que i et,
si l'on fait ^= ^^ l'intégrale
admet le point ^ = 0 comme pôle algébrique d'ordre 5. L'intégrale F(;5) est donc une intégrale abélienne de se^ conde espèce à deux périodes.
Deuxième solution, — On arrive à la même conclusion en ramenant l'intégrale aux intégrales elliptiques. Toules les valeurs de F(2) sont de la forme F, (2) -j-A, (f= 1,2,3, 4), FijFaj'Fa, F4 désignant les quatre déterminations de F énumérées plus haut, et A une période de F, c'est-à-dire l'intégrale prise le long d'un chemin fermé quelconque C qui, partant du point O, y ramène avec la valeur initiale du radical. Si A est une période, — A et rt Aï sont aussi des périodes. L'hypothèse que le chemin G passe par l'origine est d'ailleurs superflue ; quand un contour fermé, partant d'un point A quelconque, y ramène avec la valeur initiale du radical , il est toujours loisible d'aller du point A
5o4 QUATRIÈME PARTIE.
au point O et d'en revenir sur le segment AO, et de former ainsi un contour C.
Posons maintenant i — z^ = ^*, ou bien
rintégrale F(z)= /\t^= devient 2F^(Ç) = 2 Ç S^>
intégrale elliptique de seconde* espèce. Les périodes de F(z) el F<(Ç) sont, d'ailleurs, les mêmes : en effet, quand le point z décrit dans son plan une courbe fermée qui ramène au point initial avec la même valeur du radical
V^i — 5^, le point J^ = ^i — z- revient, lui aussi, à son point de départ, et avec la même valeur de \J \ — Ç* = z\ inversement, quand Ç décrit une courbe fermée dans son plan qui ramène au point de départ avec la même valeur du radical >J \ — Ç^ , le point z revient à son point de départ avec la même valeur du radical \J\ — z- ; toute période de F est donc période de F4(Ç), et réciproquement. Or F|(Ç) n'a que deux périodes
On voit donc que F(^) ^ 2F<(Ç) est une intégrale abélienne de seconde espèce (*) à deux périodes 4^(1 + f) et 4a(i — i), OL désignant l'intégrale
(*) La fonclionF,(C) n'ayant pas de points logarithmiques, la transformation (i), Ç = v''i — -3'» ne peut en introduire.
EXERCICES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. 5o5
qui est égale à la moitié de l'intégrale
dx
^ \/i — x^ Si l'on considère les deux courbes algébriques
la transformation (i), z = S, Z = 2^, fait correspondre point par point les deux courbes. L'inlégrale ^{z) est l'intégrale de seconde espèce attachée à «la courbe elliptique (2), où l'on a pris comme variable indépendante non pas Z, mais z.
Problème n"" 24.
Montrer que les intégrales
dz r dz
V^A (^ - af{z — byiz — c)2 ' J {/A(-3--a)2(^ — 6)3(« — c)3
# r dz
n'ont que deux périodes, et que les fonctions inverses de ces intégrales sont des fonctions uniformes doublement périodiques {a^b^p^c).
Étudions d'abord la première intégrale
dz
en partant de z^ avec une détermination donnée du radical. On pourrait discuter directement les valeurs de cette intégrale, comme on l'a fait plus haut pour l'intégrale
dz
5o6 QUATRIÈME PARTIE.
Si Ton se rend du point Zq au point 2, d^abord sur le segment ZqZj puis sur un chemin qui tourne une fois autour du point.3 = a, enfin sur un chemin qui tourne deux fois autour du point ^=a, on arrive en z avec trois déterminations Fi (z), F2(z), F^{z) de F, et toutes les autres déterminations de F(z) sont de la forme F,(z) + A, (/= i, 2, 3), A désignant une période de F(^), c'est-à-dire la valeur de l'intégrale étendue à un contour fermé quelconque qui ramène au point initial avec la même détermination du radical. On obtiendra par exemple un contour G en décrivant deux fois un petit cercle autour de a, en allant ensuite de a jusqd'en 6, en tournant une fois autour de b et en revenant au point a; il suit de là que la quantité
\ ^^JJ^ VX(z-a){z-b){z-c)
est une période, e désignant la racine cubique de l'unité
/ aie . . 2it\
(oe est aussi une période, car le contour peut êtr#parcouru avec une détermination quelconque du radical: On montrerait enfin, que toutes les périodes se ramènent aux précédentes.
Mais la transformation suivante est plus rapide ; rejetons à rinfini un des zéros du radical à l'aide de la transformation z=. = y qui change l'intégrale F(z) en la sui-
' J /A(i-4-ac — aO^ïH-^c — ^O' ensuite de la transformation *JJ = Xî^^ 4- [J^ pour ramener
les racines du nouveau radical à être égales à -f- i et à — i.
On a, en définitive, à étudier l'intégrale
(I) (TF-rf^ ^3^^(^)
J {/BÎ/(i-^«)î Î/B
vante: / . * et servons-nous
Posons I — z2==î3, rintégrale G(5)= fr—--
devient G4(Ç)=| / .^ ; les périodes de G(«) et de
G| (Ç) sont les mêmes, car les deux courbes (a) Z« — n-^» = o,
se correspondent point par point dans la transformation
z = b, Z = Ç {voir l'exercice précédent); l'intégrale G(^) n'a donc que deux périodes. On peut dire que G{z) est l'intégrale de première espèce attachée à la courbe elliptique (2), où l'on a pris comme variable indépendante, non pas Z, mais z.
Considérons maintenant la fonction z{w) définie par l'égalité
r'^ dz
une transformation bomographique effectuée sur z ramène cette égalité à la forme
et cette dernière égalitédevient elle-même, moyennant la transformation z = ^/i — î^'.
Cette dernière égalité définit Ç comme fonction unîforme doublement périodique de sv (*), et, par suite, ^
(*) Si p(a) représente la fonction de M. Weierstrass qui correspond au radical V^4(P'— 0> on a Ç(ïv) =p («'•^ + G'* ).
5o8 QUATRIÈME PARTIE.
ou«^B^i — Ç*; la fonction z{w) = ^i — î^^ esl donc
elle-même une fonction uniforme doublement périodique
de w (égale à -^ à un facteur constant près], et, èomme
on revient à la première variable z par une transformation homographique, on volt que la fonction z(w) définie
par (4) est de la forme -^7^ — r — Ç> a, [î, y, S étant des constantes, et Ç' représentant ^«
[périodes qui donnent celles de F(z)] sont égales à 2 / -, et à 2 / ,, > les deux intégrales étant
prises le long des segments qui joignent les deux points extrêmes; la transformation z = €z, montre que la seconde est bien égale à la première multipliée par e. Le rapport des périodes de la fonction z(w) est e (en choisissant convenablement les périodes simples).
Pour étudier la seconde intégrale
dz
{/a (z — ay{z — b)^{z — c)3
on se sert de la transformation homographique pour rejeter à l'infini le zéro ^ = a du radical et pour ramener l'intégrale à la suivante
la transformation i — z^ = ^* donne alors
2 dz
EXERCICES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. SoQ
et montre à la fois que G(z) n'a que deux périodes el que z est une fonction uniforme doublement périodique de pp; l'intégrale G(^) ne diffère pas de l'intégrale de première espèce attachée à la courbe elliptique Z* — i -h z2= o, où l'on prend comme variable indépendante non pas Z, mais z. La fonction z(sv) est une fonction homo^'-aphj que de la
fonction CnudnU (pour /c^* = — i), où m = ^^ fv -H C'^. Le rapport des périodes est égal à t, car les intégrales
dz r" dz
ont pour rapport t, ainsi qu'on le voit en changeant z en iz. Il était certain d'ailleurs, a priori, qu'à toute période A de l'intégrale donnée devait correspondre une période Ai, puisque le même contour peut être parcouru avec deux valeurs du radical dont le rapport est égal à i. Pour étudier la troisième intégrale,
dz
nous nous servons encore de la transformation homographique pour donner aux racines a, 6, c du radical les valeurs I, o, 00 respectivement; l'intégrale s'écrit alors
dz
Posons z = î', l'intégrale G{z) devient
G(z) et G|(Ç) ont mêmes périodes; en effet, les deux courbes algébriques
5lO QUATRIÈME PARTIE.
se correspondent point par point dans la transformation
quand z décrit un contour fermé qui ramène au point de départ avec la même valeur de Z, ^ décrit un contour fermé qui ramène au point de départ avec la même
valeur de S, 6t réciproquement. Il suit de là que Pintégrale donnée est une intégrale abélienne de première espèce à deux périodes, et que la fonction z{^w) est une fonction uniforme et doublement de (v, qu'on peut écrire
z= ""^^P^") avec a= \V\^w -^ C'*, piu) étant la fonction de M. Weierstrass qui correspond au radical
Problème n" 25.
Si dans la fonction elliptique sn^^tt/, on remplace u par a logz, quelles valeurs faut-il donner à la constante a pour que la fonction f{z) ainsi obtenue soit uniforme.
La fonction sn^ii^ (où A:^ a une valeur donnée) est une fonction uniforme, doublement périodique, de u : soit w et 0)' ses deux périodes. Si l'on remplace u par aloga, la fonction y(z) ainsi définie ne saurait avoir d'autres points critiques (à distance finie) que ^ = o; quand on tourne autour de ce point, u=-a logz se change en u + 2 mu, et f(^z)= snu se change en sn(a -f- 2 «au); pour que 3 = 0 ne soit pas un point critique de f{z), il faut donc qu'on ait
EXERCICES SUR LA. THÉORIE DES FOJNCTIOlfS. 5ll
autrement dit, que 2iaTz soit une période de sn, ou enGn que a soit égal à - — : > (x e^ v étant des entiers quelconques {positif s ou négatifs). Cette condition est, d'ailleurs, suffisante; car si elle est remplie, aux différentes déterminations de log^ correspond une valeur unique àef{z).
mtOH-no)'
Quand, dans/(z), on change z en zxe ** î/(^) ^^ change pas de valeur (m et n sont des entiers quelconques);
m(ù-\-tna'
car soit 5<=^e " , on a
m = alogZi= a\o%z -hmwH-/iio'= w-h/nw-t-nw'; donc sn2/|= sni/. La fonction uniforme
•^(^)^'K^^^^ïï^
jouit donc de la propriété f(z)^f(Gz)^ G étant de la forme
m(ù-¥-ntù' iilt r
Par exemple, si a= —^9f{z) ne change pas quand on change z en zx e
Déterminer le cercle de com^ergence des séries de Mac-Laurin qui représentent les trois racines u{z) de Véquation
F{iijZ) = m3 3 £^^2 — 2z^-hyz — 3 = o. Même question pour l'équation
(2x;3— 75 4- 3)«*3-H 'èn^z^—\ =0.
5ia QUATRIÈME PARTIE.
Pour z = o, ces trois racines ont comme valeurs
u{ = y/i, «5 = f cos — H- £ sin - \ Ç/i,
i^J = I cos ^ -+- 1 sin — ^ j v^3^.
Les dérivées successives (pour z = o) des trois fonctions Ui {z), ihi^)^ ^z(^)y î^î correspondent à ces trois valeurs initiales de u se calculent diaprés la règle de diflTérentia-
tion des fondions implicites. On trouve, par exemple,
du\ — 7
Uq dyaot une des valeurs «J, wj, mJ, suivant qu'on considère la fonction W|(j3), ou 1/2(^3), ou Uz{z). Quel sera le cercle de convergence des trois séries de Mac-Laurin ainsi calculées?
Aucune des déterminations de ù(z) ne devient infinie pour une valeur finie de z. Quant aux points critiques de u{z)j ils sont donnés par les deux conditions
F(a, z)= u^ — ^uz- — 'iz^'-h yz — 3 =.0,
d'où l'on tire le double système
u = — z. 75 — 3 = 0 et
Les points critiques cherchés sont donc : ^« = f , Z2= — ^, ^z^=2t ^4 = I j c° ces points, deux, déterminations de tt(z) deviennent égales à — | pour^=|, à — I pour z = — f , à j pour z = -J-, à i pour z=i] la troisième détermination de u est égale respectivement
EXERCICES SUR LÀ IBéORlE DES FONCTIOJVS. 5l3
à f, +3, —1,-2 pour z = j, 5==— J, >5 = ^, ^ = 1. Dans le voisinage de ces quatre points, Z|, Z2, z^y z^, les deux déterminations de u(z) qui deviennent égales se permutent ; en effet, pour z = — y, m = y, on a
dF ôF
ou oz / ^ ï
-T- est donc infini, et la même remarque s'applique aux
autres points critiques.
Ceci posé, donnons à z des valeurs réelles : pour ^ = o,
Fig. 83.
.jSL
deux des racines u (k savoir, u^ 6t u^) sont imaginaires, et elles restent imaginaires tant que Ton a
— ix^-¥-(2X^ — 7 a: -h 3)* s— (7a? — 3)(a7 — i)(2a7— OCaar-hSX o,
par conséquent, tant que x varie entre — | et |; pour x= — I et pour ^=Y, lès deux racines imaginaires deviennent égales et se permutent autour des points z = — | et ^ = f; les deux développements de Mac-Laurin, qui représentent U2 et i^s, ne peuvent donc converger au delà du point z = — y, et, comme ils convergent sûrement à l'intérieur du cercle de rayon égal à y, on voit que le rajon du cercle de convergence sera égal à | pour les deux séries entières qui représentent U2{z) et 2/3 (^).
Occupons-nous maintenant de Ui{z)\ quand x varie entre -H y et ^, les trois racines u sont réelles et dis tinctes ; pour x = y^ u^eiuz sont égales à — | et, par suite,
T. - P.ee, 33
5l4 QUATRIÈME PARTIE.
i/i à f ; Ui reste donc la plus grande des racines dans rintervalle y<^<î; pour ^ = j, deux racines sont égales à j, la troisième à — i, donc i/| est égale à 5 et se permute autour du point z = ^ avec la plus grande des deux autres racines. Diaprés cela, si Ton décrit, du point 0 comme centre, un cercle de rayon égal à ^, la fonction Ui{z) n'admet aucun point singulier à l'intérieur de ce cercle, mais présente sur la périphérie de ce cercle le point critique ^5 = 5; le rayon de convergence de la série entière, qui représente W|(^), est donc égal à ^.
En définitive, des trois séries de Mac-Laurin considérées, la série Ui{z)y dont les coefficients sont réels, converge dans un cercle de rayon ^, et les deux séries U2{z)j u^ (z), dont les coefficients sont imaginaires, converge dans un cercle de rayon |.
Passons à Téquation
C'est la transformée en — de la précédente; la fonction u{z)
définie par(i) possède donc les mêmes points critiques que précédemment; mais, de plus, une détermination de u{z) et une seule devient infinie pour les trois valeurs de z qui annulent l'expression 2Z^ — 7^ + 8; ces trois valeurs de^5 sont réelles et séparées par o et i; d'une façon plus précise, une de ces valeurs est moindre que — |, une autre z = a est comprise entre | et ^ ; la troisième est plus grande que |. D'après cela, si l'on décrit, du point O comme centre, un cercle de rayon |, les deux fonctions 1/2 (^), W3(z), qui sont imaginaires pour z = o, sont holomorphes dans ce cercle et admettent le point -sr = f comme point critique; les séries de Mac-Laurin correspondantes ont donc ce cercle pour cercle de convergence. Quant à la fonction Ui{z), son. rayon de convergence est a ou j, sui-
EXERCICES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. 5l5
vant qu'elle devient ou non infinie pour z = a; pour lever
celte ambiguïté, posons u= -; dans l'intervalle ? <;^<^,
^1) ^2) ^3 sont réelles et Çi (qui correspond à w,) est la plTis grande racine; pour z = a, une des valeurs de ç est nulle.
les deux autres sont égales à + a y/3 et à — a y/3 ; c'est donc la racine intermédiaire ^2 qui s'annule, et, par suite, iii reste
fini pour z = a^ \iii= — ■;= ; la série de Mac-Laurin, qui
représente UiÇz)^ converge donc pour | ^ | < ^»
Problème n"" 27.
R(pp, z) étant une fraction rationnelle en w, déterminer toutes les équations différentielles de la forme
dont V intégrale générale a ses points critiques fixes.
Soit w = F(^, C) une intégrale de l'équation (i), G désignant la constante d'intégration. Si l'équation (i) est quelconque, la fonction F(>5) possède des points critiques z^=a (c'est-à-dire des points autour desquels plusieurs déterminations de F se permutent), et ces points varient en général avec la constante d'intégration C. Quand ils en sont indépendants, on dit que l'équation (i) a ses points critiques fixes : nous voulons déterminer toutes les équations (i) à points critiques fixes
Écrivons l'équation (i) ainsi ;
, . dw P (cv, ^)
P et Q étant deux polynômes en iv qui (pour z quelconque) sont premiers entre eux. Montrons d'abord que,
5l6 QUATRIÈME PARTIE.
si Féquation (a) est de Fespèce considérée, le second membre de ( 2 ) est un polynôme en pp.
,Par hypothèse, les points critiques de l'équation (2) sont fixes : soit Zq un point quelconque du plan des z, qui ne coïncide pas avec un de ces points fixes, et pour lequel les coefficients aj(z) de P et Q sont holomorphes ; soit, de plus, sVq une racine de l'équation Q((v, ^o) = o. L'équation (2) possède une intégrale sv{z) qui, pour z = Zq, est égale à iVo, et cette intégrale admet le point z = Zo comme point critique (*) ; il y a donc contradiction avec l'hypothèse, à moins que Q ne soit indépendant de çp; autrement dit, il faut que R soit un polynôme.
Si l'on change maintenant çp en — , l'équation en iVi a
encore ses points critiques fixes et doit satisfaire, par suite, à la condition précédente ; or cette nouvelle équation s'écrit
dz
=-..îP(A,.)
et, pour que son second membre soit un polynôme, il faut que P(pp, z) soit au plus du second degré en «p.
Toutes les équations cherchées doivent donc être de la forme
dw
11 se trouve d'ailleurs que les conditions nécessaires exprimées jusqu'ici sont suffisantes. En efi^et, l'intégrale
(*) C'est là un théorème classique, qui se démontre, d'ailleurs, aussitôt en considérant Téquation >j- = ^; cette équation possède une intégrale de la forme
si n est Tordre de la racine w = w^àt l'équation Q (iv, «a) = o; l'équation (3) possède donc une intégrale (v (2) égale à w^ pour ^ = z^ et dont (/i -h i) déterminations se permutent autour du point z = z,.
EXERCICES SUR LA. THÉORIE DES FONCTIONS. 6x7
générale d'une équation (3), quî est. une équation de Riccati, peut s'écrire
/y ??/m ?< étant des fonctions déterminées de z, et les points singuliers de i^{z) autres que des pôles (points critiques et points essentiels) coïncident nécessairement avec des points singuliers de/, <p,/4, <pi.
Pour que les pôles eux-mêmes soient fixes, il faut et il suffit que C ne figure pas au dénominateur du second membre de (4)> autrement dit que l'équation (i) soit linéaire.
En particulier, si z ne figure pas dans R, l'équation ïie peut avoir ses points critiques fixes sans que son intégrale soit uniforme; en efiet, l'intégrale générale se déduit d'une intégrale particulière iv(z) en changeant s en ^ + C, et si z:= Zo était un point critique de w{z), Zo H- G serait aussi un point critique d'une autre intégrale. On vérifie ce résultat immédiatement sur l'équation (3), où a, ^, y sont indépendants de ^; on peut écrire
(5) ^= a((v — XXw — fi),
et cette équation a pour intégrale
ÎLZ:-|i=Ceat(*->^J^ w — À
Toutefois, si X = jx, l'intégrale est
CL(Z-hC)
Si le second membre de (5) est de la forme a(pp — X), l'intégrale est «p = X -f- Ce«*, et, s'il se réduit à a, l'intégrale est «p = a^ -I- C.
5l8 QUATRIÈME PARTIE.
Quand l'intégrale générale d'une équation -^ = K(iv)
est uniforme, cette intégrale est donc une fonction homographique de e** ou de 2.
' Problème n"* 28.
A, B, C étant trois polynômes en wp, déterminer toutes les équations de la forme
(I) A(iv,^)(jy-2B(«',^)g + G(«.,^) = o,
dont les points critiques sont fixes.
Nous supposons que, pour z quelconque, Téquation (i)
entre w et -t- est irréductible. Ceci revient à admettre que
(pour z quelconque) les trois polynômes A, B, G en «p n'ont pas de facteurs communs^ et que, de plus, B^ — AC n'est pas un carré parfait en w. Si la première condition n'était pas remplie, on diviserait A, B, G par leurs facteurs communs ; si la seconde n'était pas remplie, l'équation (i) se décomposerait en deux, équations de la
forme ^— = B(«', ^), étudiée plus haut.
Observons immédiatement que, si l'on change w en
)^^\^^ — r~T' l'^9^^^^^" (0 garde la même forme, et que
sv^{z) a ses points critiques fixes comme {v{z).
Ceci posé, montrons d'abord que, si l'équation (i) a ses points critiques fixes, A est indépendant de w. Soit en effet w = g{z) une racine de l'équation A(«», z) = o, racine qu'on peut toujours supposer identiquement nulle moyennant le changement de w en ^ -^ g{z). Deux cas sont possibles :
1° B ne s'annule pas pour fv = o quel que soit z\ écri-
EXERCICES SUR LA THÉORIE DES FOJ\'CTION%. Sig
vons alors l'équation (i) ainsi
dw B -f- v/Bî— AC
dz
en choisissant la détermination du radical qui pour w = o est égal à -+-6(0, z). Soit z^ une valeur quelconque de z (*); le radical, et par suite le second membre de (2), est développable suivant les puissances croissantes de «>, et l'on peut écrire, n désignant l'ordre de multiplicité de la racine w = o de de l'équation A = o,
G étant holomorphe dans le domaine de (v = o et de z=Zo] l'équation (3) admet une intégrale w(z) qui s'annule pour z = Zq et pour laquelle Zq est un point critique.
2° B s'annule pour (v = o quel que soit z. Soit toujours Zq utie valeur quelconque de z [qui n'annule pas C(o, z)];
pour iv = o, z = Zoj les deux valeurs de -^ sont infinies; d'autre part, on a dans tous les cas
Hh/ïïï— AG = ii=iv2H(w, z),
H étant holomorphe dans le voisinage de çv = o, z = z^;
il suit de là que le second membre de (2) peut toujours
se développer suivant les puissances croissantes de
- W=«**, la première puissance étant négative puisque
■T- est infini pour w = o quel que soit >? ; on a donc (pour
l'une ou l'autre détermination du radical) une égalité de
(*) J'entends par là une valeur z^ de z qui ne coïncide avec aucun point singulier des coefficients ol.{z) de A, B, C, et pour laquelle B(0| z) n'est pas nul.
520 QUATEIÈME PA&TIE.
la forme
J=^[^(')-»-WA(«)-t-W«*(*)+...l (grSi).
et, SI 1 on remplace ^ par 2 W -^> il vient
(4> S = ïwr.r^<*)-«-WK(W,*)].
K étant holomorphe dans le domaine de W = o, z = Zo* Uéquation (4) admet une intégrale qui s'annule pour z = Zoel dont q + 2 déterminations se permutent autour de z=^Zo\ rintégrale correspondante iv = W* admet donc le point Zq comme point critique; autrement deux déterminations au plus de W ^ ^w se permuteraient autour de Zo, et ^ + a est au moins égal à 3.
Pour que l'équation (i) ait ses points critiques fixes, il faut donc d'abord que  soit indépendant de pp, autrement dit que l'équation soit de la forme
(dw\* , dw ^
La même condition doit être remplie si on change, w en — ; l'équation transformée s'écrit
et, pour que les coefficients de (i)' ne soient pas fractionnaires, il faut que 6 et C soient au plus du second et du quatrième degré en wp. L'équation (i) peut alors s'écrire
P étant au plus du second degré et Q du quatrième degré en pp.
Soit maintenant w = g(^z) une racine de l'équation Q = o,*racine qu'on peut toujours supposer identiquement nulle. Si cette racine n'est pas racine double de Q = o, elle doit être une solution singulière de l'équation (5); en effet, si ^ = 0 est (pour z quelconque) racine simple ou triple de Q = o, on a
(6) ^ = P(«;, z) + iv^R(«», i),
R étant holomorphe dans le domaine de w = o^ z = Zq. Posons encore wp' = W; il vient
^7) ^ = ^[P(o,z) + WS(W, z)].
S étant holomorphe pour «p = o, z = Zq» Quand P(o, z) est identiquement nul, (v = o est une intégrale singulière de (6); si au contraire P(o, ^o) n'est pas nul, l'équation (7) admet une intégrale W{z) qui s'annule pour z = Zq et dont deux déterminations se permutent autour du point Zq ; la fonction iv = W^(^) correspondante admet aussi Zo comme point critique; car^ si ^(^) était uniforme
dans le domaine de z = Zq, l'expression de «p^ ou W tirée de (6), à savoir
serait aussi fonction uniforme de z dans le domaine de Zq. L'équation (6) ne saurait donc avoir ses points critiques fixes si ^ = o n'est pas une intégrale singulière.
En définitive, pour quQ l'équation (5) ait ses points critiques fixes, il faut que toute racine iv =g{z) de l'équa-
5aa QUATRIEME PAETIE.
lion Q(fiP, z) = o , qui n*est pas exaclement racine double, soit solution singulière de (5).
Ces conditions sont suffisantes ; pour le montrer observons que la transformation homographique ^
(8) ^=,^^ÏV+if.,
OÙ X, [JL, X4, [X| sont des fonctions arbitrairement choisies de z, change l'équation (5) en une équation de la forme
Pi étant du second degré au plus en (P|, et Qi étaut le polynôme qui se déduit de Q(«', z) lorsqu'on remplace
w par r-~ — ^ et qu'on multiplie par (X4 iv^ + ^L^y ; c'est
ce qui résulte aussitôt d'un calcul tout élémentaire. Il suit de là qu'on peut toujours supposer que Q est du quatrième degré en w. Deux cas sont alors à distinguer suivant que toutes les racines deQ = o'sont simples ou non.
Premier cas» — Les quatre racines de Q = o sont simples. On peut se servir de la transformation (8) pour faire en sorte que trois de ces racines coïncident avec trois constantes arbitrairement choisies, par exemple 0, 1,2. L'équation (5) s'écrit alors
(5) -j = cLw^-h^iv -hy-ho^vp{w — i){w — 2)(iv — a),
a, p, Y? 2? ^ étant des fonctions de z; (v = o, iv = i, w = 2 sont des intégrales singulières de (5y et annulent par suite a(v^-+- ^fvH- y» ce qui n'est possible que si ce polynôme est identiquement nul; on a donc
(9) -^ = S(«) /(v(iv — i)(iv — 2)(w — a),
etiv = a{z) est une intégrale singulière de cette ëqua-
lion, ce qui exige que --r- soit nul, c'est-à-dire que a soit
une constante.
Appelons ^{u) la fonction uniforme et doublement périodique de u définie par l'inversion de l'intégrale
l'équation (9) donne
J(z) désignant l'intégrale / Z(z)dz, Les seuls points
critiques possibles de iv(z) sont les points critiques de J{z). c'est-à-dire les points singuliers de ^{z), points qui sfnt /Ixes,
Second cas, — Une racine de Q((ï', -3)= o est racine double ou triple. Considérons les deux racines de
qui sont de multiplicité impaire et servons-nous de la transformation (8), de façon que ces racines deviennent o et 00. On a, dans ce cas,
(11) —r-=OLW^-h^W'^^-\-(gw-hh)\/wj
iv = o étant intégrale singulière, y est nul, et en changeant fv en — > on voit de même que a doit être nul. Posons alors fv = W-, l'équation (11) devient
dW • étjuation de Riccati, dont les points critiques sont fixes.
524 QUATRIÈME PlETIE.
En définitive, pour quUine équation (i) ait ses points critiques fixes, il faut et il suffit : i° que Véquation soit de la forme
(E) — ssafv'-hpw-f-Y-h /a w* -4- 6 w> -h c w' -+- dw -h e ;
2^ que toutes les racines çi^ = g(z) (de multiplicité im- . paire) de la quantité placée sous le radical soient des solutions singulières de Véquation (E).
Quand ces conditions sont remplies, l'équation (E) se ramène algébriquement soit à une quadrature de la forme
k étant une constante numérique, soit à une équation de Rrccali.
En particulier, quand z ne figure pas explicitement dans l'équation (i), ou bien l'équation (i) est de la forme
dw j
= az
y a w* -h bw^-^ cw*-+- dw -h e
(a, 6, . . ., e étant des constantes) et définit une fonction elliptique v^{z)j ou bien l'intégrale sv est une fonction rationnelle du second degré en z ou en e'"^, m désignant une constante numérique.
